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68 BVI – Resolução Numérica de equações diferenciais ordinárias BVI.1 – Introdução As equações diferenciais aparecem, frequentemente, em modelos que descrevem quantitativamente fenômenos em diversas áreas. Uma equação diferencial é simplesmente uma equação que envolve uma função desconhecida e algumas de suas derivadas. Se a equação diferencial tem apenas uma variável independente, então ela é uma equação diferencial ordinária ou EDO. Exemplos: yx dx dy += 22' yxy += 0')1(" 2 =+−+ yyyy Se uma equação diferencial envolve mais de uma variável independente, então ela é do tipo parcial. Exemplo: 02 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ yx μμ , com µ = µ(x, y) Uma equação diferencial é dita linear quando for do 1º grau em relação à função e suas derivadas. Exemplos: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ += += −= 32' ' ' 2 xy xyy yxxy lineares ⎪⎭ ⎪⎬⎫ =−+ =+++ − )(" 0')1(" 2 xfee yyyy μμμ não lineares A ordem de uma equação diferencial é definida como a mais alta ordem de derivação que aparecer na equação. Exemplo. yxxy −=' → 1ª ordem 0')1(" 2 =+++ yyyy → 2ª ordem Uma equação diferencial não possui solução única, e sim, uma família de soluções. Exemplo: cxxyxy ++=⇒+= 332' 2 69 Neste caso, para se individualizar uma solução, tem-se que impor condições suplementares. Em geral, uma EDO de ordem m requer m condições a fim de ser ter uma única solução. Se, dada uma equação diferencial de ordem m, a função, assim como suas derivadas de ordem m – 1 são especificadas em um mesmo ponto, então tem-se um problema de valor inicial (PVI). Exemplo: a) ⎩⎨ ⎧ = = 1)0( )(' y yxy b) ⎪⎩ ⎪⎨⎧ === ++=−−+++ 3,3)0(";2,2)0(';1,1)0( )()1('cos")1(''' 222 yyy yxsenyxyxxyyxy Portanto, um PVI de ordem m é descrito como: m m mm nay nay nay yyyxfxy = = = = + + )( )(' )( ),,",',()( )1( 2 1 )1()( M L (6.1) Nem sempre é possível obter uma solução analítica de uma EDO. Nestes casos, os métodos numéricos são uma saída para se encontrar uma solução aproximada. A solução numérica de um PVI de 1ª ordem se baseia em, dado o PVI: ⎩⎨ ⎧ = = 00 )( ),(' yxy yxfy , toma-se m sub-intervalos de [a, b], (m ≥ 1) e faz-se xj = x0 + j·h, onde m abh −= , j = 0, 1, 2, ..., m, xj [a, b]. A solução numérica ym(x) é uma função linear por partes, cujo gráfico é uma poligonal com vértices nos pontos (xj, yj) onde yj foi calculado usando-se alguns métodos numéricos que serão dados a seguir: Figura 6.1 – Visualização do método. 70 Convenciona-se utilizar a notação y(xj), j = 0, 1, 2, ..., m, para indicar a solução exata do PVI nos pontos xj Ih (Toma-se y1 como aproximação para y(x1), por exemplo). BVI.2 – Método de Euler Seja o PVI, ⎩⎨ ⎧ == = η00 )( ),(' yxy yxfy , dado. Deseja-se aproximações y1, y2, y3, ..., ym para as soluções exatas y(x1), y(x2), y(x3), ..., y(xm). Com o auxílio do gráfico abaixo, é preciso encontrar, incialmente, o valor de y1. Figura 6.2 – Visualização do método de Euler. Como se desconhece o valor de y(x1), toma-se y1 como aproximação para y(x1). Para isso, traça-se a tangente T à curva y(x) no ponto (x0, y(x0)), cuja equação é: )(')()()( 000 xyxxxyxy −=− Fazendo-se x = x1 e y1 = y(x1), tem-se: ))(,( 0001 xyxhfyy += )( 111 xyyE −= → erro comentido Para o cálculo de y2, avança-se uma unidade nos índices, continuando o processo até ym. Portanto, )( ))(,( 111 1 +++ + −= += jjj jjjj xyyE xyxhfyy , j = 0, 1, 2, ..., m (6.2) Assim, o método de Euler consiste em calcular recursivamente a seqüência {yj} através das expressões: 71 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = += = + )(" !2 ),( )( 2 1 0 εy h E yxhfyy ayy j jjjj , j = 0, 1, 2, ..., m, xj – 1 ≤ ε ≤ xj (6.3) Exemplo: Achar aproximações para a solução do PVI abaixo na malha de [0, 1] com h = 0,1. ⎩⎨ ⎧ = +−= 2)0( 2' y yxy 72 Como pode se observar, o erro cresce à medida que se obtém um novo valor. Isso se deve à propagação do erro. Na prática, não se dispõe da solução exata do PVI. Daí, a necessidade de uma expressão matemática para a estimativa do erro. Essa expressão é obtida a partir da série de Taylor mostrada a seguir: Expandindo uma série de Taylor para y(x) em torno de x0 teríamos: L+−+−+−+= )(''' !3 )()(" !2 )()(' !1 )()( 0 3 0 0 2 0 0 0 0 xy xxxyxxxyxxxyxy (6.4) Os dois primeiros termos corresponde a equação do método de Euler, pois considerando que x1 – x0 = h, y’(x0) = f(x0, y(x0)) e y(x1) = y1, teríamos: )(' !1 )()( 000 xy xxxyxy −+= , y1 = y0 + hf(x0, y0). (6.5) O próximo termo de ordem superior, que é o erro da fórmula de Euler, corresponde ao erro cometido. Assim. )(" !2 )( 201 εyxx − , x0 < ε < x1 (6.6) Como (x1 – x0) = h, usa-se a seguinte notação )(" 2 2 1 εy hE = (6.7) Generalizando, teríamos: )(" 2 2 εyhE j = , xj – 1 < ε < xj, (6.8) onde Ej é o erro local de um truncamento ou ELT. BVI.3 – Métodos de Runge-Kutta Pode-se dizer que os métodos de Runge-Kutta se caracterizam por 3 propriedades: 1) são de passo simples (para se calcular yj+1 utiliza-se apenas yj); 2) concordam com a série de Taylor até os termos de ordem hp, onde p é ordem do método; 3) não exigem o cálculo de qualquer derivada de f(x, y). No entanto, f(x, y) é calculada em vários pontos. BVI.3.1 – Métodos de Runge-Kutta de 1ª ordem 73 O método de Runge-Kutta de 1ª ordem nada mais é do que o método de Euler que corresponde a expansão da série de Taylor até 1ª ordem, ou seja, ))(,(1 jjjj xyxhfyy +=+ , j = 0, 1, 2, ..., n – 1 (6.9) Exemplo: Dado o PVI abaixo, estimar y(2,1) pelo método de Euler com com h = 0,1, 0,05 e 0,025 ⎩⎨ ⎧ = −= 2)2( ' y yxxy 74 BVI.3.2 – Métodos de Runge-Kutta de 2ª ordem Os métodos de Runge-Kutta de certa ordem podem ter vária formas, ou seja, uma família de métodos de Runge-Kutta de 2ª ordem, por exemplo. Foi visto que o método de Euler usa somente a inclinação no ponto (xj, yj) no cálculo de yj+1. Uma das maneiras de se melhorar esse método é, em vez de usar só a inclinação em (xj, yj), usar a média das inclinações em (xj, yj) e (xj+1, yj+1), onde xj+1 = xj + h e yj+1 = yj + hf(xj, yj). Todos os métodos de passo simples podem ser escritos na forma: );,(1 hyxhyy jjjj φ+=+ , j = 0, 1, 2, ..., n – 1 (6.10) onde (xj, yj; h) é denominada “função incremento”, e h, o comprimento do passo. No método de Runge-Kutta de 2ª ordem, é dada por: 21 KK βαφ += , (6.11) onde ),(1 jj yxfK = e )],(,[2 jjjj yxqhfyphxfK ++= Dessa forma, obtém-se: yj+1 = yj + hf( K1 + K2) (6.12) As constantes , , p e q são determinadas por meio da expansão da série de Taylor de K2, da solução teórica de y(x) até o termo de 2ª ordem de onde obtém-se o seguinte sistema: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = =+ 2/1 2/1 1 q p β β βα (6.13) Observa-se que o sistema possui 3 equações e 4 incógnitas. Isso significa que uma das incógnitas terá que ser tomada arbitrariamente para que se determine as demais. Exemplos: 1) para a escolha p = 1, determine as equações do método de Runge-Kutta de ordem 2. 75 2) para a escolha = 1, determine as equações do método de Runge-Kutta de ordem 2. O método do exercício 1 é denominado “Método de Euler Melhorado” e o do exercício 2 é denominado “Método de Euler Modificado”. Observa-se, então, que é possível a obtenção de uma infinidade de métodos através do sistema linear e todos esses métodos terão o mesmo erro local de truncamento, ou seja, )(''' !3 3 εyhE j = , xj – 1 < ε < xj (6.14) Exemplo: Achar as aproximações da solução do PVI abaixo na malha [0, 1] com h = 0,1 usando o método de Euler modificado e o método de Euler melhorado. ⎩⎨ ⎧ = +−= 2)0( 2' y yxy 76 Exemplo: Dado o PVI abaixo, estimar y(1) pelos 3 métodos de Eulerpara h = 1, 0,5 e 0,25. ⎩⎨ ⎧ = = 1000)0( 04,0' y yy BVI.3.3 – Métodos de Runge-Kutta de 3ª e 4ª ordens Os métodos de Runge-Kutta de terceira e quarta ordens são obtidos de maneira análoga aos de segunda ordem. Especificamente para o método de terceira ordem, temos: 321);,( KKKhyx jj γβαφ ++= ),(1 jj yxfK = ),( 12 qhKyphxfK jj ++= ))(,( 123 hKsushKyuhxfK jj −+++= As constantes , , , p, q, s e u são determinadas por meio da expansão da série de Taylor de K2 e K3 até 3ª ordem, de onde obtém-se os seguintes coeficiente: ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = =+ =+ =+++ 6/1 3/1 2/1 1 22 cps cubq ucqb δγβα O sistema apresenta 4 equações e 6 incógnitas. Portanto, duas incógnitas devem ser escolhidas de modo a se determinar as demais. Dentre as famílias de métodos de Runge-Kutta de 3ª, os mais utilizados são dados abaixo: 77 )4( 6 3211 KKKhyy jj +++=+ , j = 0, 1, 2, ..., n – 1 ),(1 jj yxfK = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++= 12 2 , 2 KhyhxfK jj ( )123 2, hKhKyhxfK jj −++= )( !4 )( 4 εIVj y hE = xj – 1 < ε < xj, 3211 9 4 3 1 9 2 KKKyy jj +++=+ , j = 0, 1, 2, ..., n – 1 ),(1 jj yxhfK = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++= 2 , 2 1 2 KyhxhfK jj ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++= 23 4 3, 4 3 KyhxhfK jj )( !4 )( 4 εIVj y hE = xj – 1 < ε < xj, Dentre os métodos de Runge-Kutta de 4ª ordem, o mais utilizado é dado por: )22( 6 43211 KKKKhyy jj ++++=+ , j = 0, 1, 2, ..., n – 1 ),(1 jj yxfK = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++= 12 2 , 2 KhyhxfK jj ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++= 23 2 , 2 KhyhxfK jj ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++= 34 ,2 hKyhxfK jj )( !5 )( 5 εVj y hE = xj – 1 < ε < xj Exemplo: Dado o PVI abaixo, estimar y(1) pelo método de Runge-Kutta de 3ª ordem com h = 1 ⎩⎨ ⎧ = = 1000)0( 04,0' y yy 78 BVI.4 – Outros métodos de resolução numérica de EDO Os métodos de Runge-Kutta são denominados de passo simples pois utilizam apenas o valor anterior para calcular o valor atual. Em métodos de passo múltiplo, se a aproximação yj+1 depende de k valores anteriores, diz-se que k é o passo do método. Entre os métodos de passo múltiplo estão os métodos de Adams, onde a função f(x, y(x)) que é desconhecida é substituída por um polinômio interpolador, que assume valores fj = f(x, y(x)) numa seqüência de pontos xj, yj. BVI.4.1 – Método de Adams-Bashforth de passo dois A fórmula geral do método de Adams-Bashforth de passo dois é dada por: )3( 2 11 −+ −+= jjjj ff hyy , j = 1, 2, ..., m – 1 (6.15) )(''' 12 5 3 εyhE j = , xj – 1 < ε < xj BVI.4.2 – Método de Adams-Bashforth de passo quatro A fórmula geral do método de Adams-Bashforth de passo quatro é dada por: 79 )9375955( 24 3211 −−−+ −+−+= jjjjjj ffff hyy , j = 3, 4, ..., m – 1 (6.16) )( 720 251 )(5 εVj yhE = , xj – 1 < ε < xj Exemplo: Dado o PVI abaixo, estimar y(1) pelo método de Adams-Bashforth de passo 4 com h = 0,2 ⎩⎨ ⎧ = = 1000)0( 04,0' y yy xj yj 0,0 1000 0,2 1008,0321 0,4 1016,1287 0,6 1024,2903 I – Erros I.1 – Tipos de erros I.2 – Exatidão ( precisão I.3 – Erros durante a descrição dos problemas I.3.1 – Erros na fase de modelagem I.3.2 – Erros na fase de resolução I.4 – Propagação de erros I.5 – Aritmética de ponto flutuante II – Resolução Numérica de Sistemas Lineares II.1 – Definições II.2 – Métodos diretos II.2.1 – Método de Eliminação de Gauss II.2.1.1 – Estratégia de pivoteamento parcial II.2.1.2 – Estratégia de pivoteamento completo II.2.2 – Método de Jordam II.3 – Métodos Iterativos II.3.1 – Introdução II.3.2 – Testes de parada II.3.3 – Método de Jacobi II.3.4 – Método de Gauss-Seidel II.3.5 – Convergência dos métodos iterativos II.3.5.1 – Critério das linhas II.3.5.2 – Critério das colunas II.3.5.3 – Critério de Sassenfeld III – Cálculo Numérico de Raízes de Equações III.1 – Introdução III.2 – Isolamento de raízes III.3 – Refinamento III.3.1 – Critérios de parada III.3.2 – Método da bissecção III.3.3 – Método da posição falsa III.3.4 – Método da posição falsa modificado III.3.5 – Método iterativo linear (MIL) III.3.6 – Método de Newton-Raphson (N-R) III.3.7 – Método da secante IV – Interpolação IV.1 – Introdução IV.2 – Interpolação polinomial IV.3 – Formas de obtenção do polinômio interpolador IV.3.1 – Resolução do sistema linear IV.3.2 – Forma de Lagrange IV.3.3 – Forma de Newton IV.3.4 – Forma de Newton-Gregory IV.3.5 – Erro na interpolação V – Integração Numérica V.1 – Introdução V.2 – Fórmulas de Newton-Cotes V.2.1 – Regra dos retângulos V.2.2 – Regra dos trapézios V.2.2.1 – Fórmula simples V.2.2.2 – Erro de trucamento da fórmula simples V.2.2.3 – Fórmula composta V.2.2.4 – Erro de truncamento da forma composta V.2.3 – Primeira regra de Simpson V.2.3.1 – Fórmula simples V.2.3.2 – Erro de truncamento da fórmula simples V.2.3.3 – Fórmula composta V.2.3.4 – Erro de trucamento da formula composta V.2.4 – Segunda regra de Simpson V.2.4.1 – Fórmula simples V.2.4.2 – Erro de truncamento da fórmula simples V.2.4.3 – Fórmula composta V.2.4.4 – Erro de truncamento da fórmula composta V.2.5 – Extrapolação de Richardson V.2.5.1 – Extrapolação de Richardson para a regra dos trapézios V.2.5.2 – Extrapolação de Richardson para as regras de Simpson V.3 – Fórmulas de Quadratura Gaussiana VI – Resolução Numérica de equações diferenciais ordinárias VI.1 – Introdução VI.2 – Método de Euler VI.3 – Métodos de Runge-Kutta VI.3.1 – Métodos de Runge-Kutta de 1ª ordem VI.3.2 – Métodos de Runge-Kutta de 2ª ordem VI.3.3 – Métodos de Runge-Kutta de 3ª e 4ª ordens VI.4 – Outros métodos de resolução numérica de EDO VI.4.1 – Método de Adams-Bashforth de passo dois VI.4.2 – Método de Adams-Bashforth de passo quatro
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