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BVI – Resolução Numérica de equações diferenciais 
ordinárias 
 
BVI.1 – Introdução 
 
 As equações diferenciais aparecem, frequentemente, em modelos que descrevem 
quantitativamente fenômenos em diversas áreas. 
 Uma equação diferencial é simplesmente uma equação que envolve uma função 
desconhecida e algumas de suas derivadas. 
 Se a equação diferencial tem apenas uma variável independente, então ela é uma 
equação diferencial ordinária ou EDO. Exemplos: 
 
yx
dx
dy
+= 
22' yxy += 
0')1(" 2 =+−+ yyyy 
 
 Se uma equação diferencial envolve mais de uma variável independente, então 
ela é do tipo parcial. Exemplo: 
 
02
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
yx
μμ , com µ = µ(x, y) 
 
 Uma equação diferencial é dita linear quando for do 1º grau em relação à função 
e suas derivadas. Exemplos: 
 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
+=
+=
−=
32'
'
'
2
xy
xyy
yxxy
lineares ⎪⎭
⎪⎬⎫
=−+
=+++
− )("
0')1(" 2
xfee
yyyy
μμμ
não lineares 
 
 A ordem de uma equação diferencial é definida como a mais alta ordem de 
derivação que aparecer na equação. Exemplo. 
 
yxxy −=' → 1ª ordem 
0')1(" 2 =+++ yyyy → 2ª ordem 
 
 Uma equação diferencial não possui solução única, e sim, uma família de 
soluções. Exemplo: 
 
cxxyxy ++=⇒+= 332' 2 
 
 
69 
 Neste caso, para se individualizar uma solução, tem-se que impor condições 
suplementares. Em geral, uma EDO de ordem m requer m condições a fim de ser ter 
uma única solução. 
 Se, dada uma equação diferencial de ordem m, a função, assim como suas 
derivadas de ordem m – 1 são especificadas em um mesmo ponto, então tem-se um 
problema de valor inicial (PVI). Exemplo: 
 
a) ⎩⎨
⎧
=
=
1)0(
)('
y
yxy
 b) ⎪⎩
⎪⎨⎧
===
++=−−+++
3,3)0(";2,2)0(';1,1)0(
)()1('cos")1(''' 222
yyy
yxsenyxyxxyyxy
 
 
 Portanto, um PVI de ordem m é descrito como: 
 
m
m
mm
nay
nay
nay
yyyxfxy
=
=
=
=
+
+
)(
)('
)(
),,",',()(
)1(
2
1
)1()(
M
L
 (6.1) 
 
 Nem sempre é possível obter uma solução analítica de uma EDO. Nestes casos, 
os métodos numéricos são uma saída para se encontrar uma solução aproximada. 
 A solução numérica de um PVI de 1ª ordem se baseia em, dado o PVI: 
 
⎩⎨
⎧
=
=
00 )(
),('
yxy
yxfy
, 
 
toma-se m sub-intervalos de [a, b], (m ≥ 1) e faz-se xj = x0 + j·h, onde m
abh −= , j = 0, 
1, 2, ..., m, xj [a, b]. 
 A solução numérica ym(x) é uma função linear por partes, cujo gráfico é uma 
poligonal com vértices nos pontos (xj, yj) onde yj foi calculado usando-se alguns 
métodos numéricos que serão dados a seguir: 
 
 
Figura 6.1 – Visualização do método. 
70 
 Convenciona-se utilizar a notação y(xj), j = 0, 1, 2, ..., m, para indicar a solução 
exata do PVI nos pontos xj Ih (Toma-se y1 como aproximação para y(x1), por 
exemplo). 
 
BVI.2 – Método de Euler 
 
 Seja o PVI, 
 
⎩⎨
⎧
==
=
η00 )(
),('
yxy
yxfy
, dado. 
 
 Deseja-se aproximações y1, y2, y3, ..., ym para as soluções exatas y(x1), y(x2), 
y(x3), ..., y(xm). Com o auxílio do gráfico abaixo, é preciso encontrar, incialmente, o 
valor de y1. 
 
 
Figura 6.2 – Visualização do método de Euler. 
 
 Como se desconhece o valor de y(x1), toma-se y1 como aproximação para y(x1). 
Para isso, traça-se a tangente T à curva y(x) no ponto (x0, y(x0)), cuja equação é: 
 
)(')()()( 000 xyxxxyxy −=− 
 
 Fazendo-se x = x1 e y1 = y(x1), tem-se: 
 
))(,( 0001 xyxhfyy += 
)( 111 xyyE −= → erro comentido 
 
 Para o cálculo de y2, avança-se uma unidade nos índices, continuando o processo 
até ym. Portanto, 
 
)(
))(,(
111
1
+++
+
−=
+=
jjj
jjjj
xyyE
xyxhfyy
, j = 0, 1, 2, ..., m (6.2) 
 
 Assim, o método de Euler consiste em calcular recursivamente a seqüência {yj} 
através das expressões: 
71 
 
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
+=
=
+
)("
!2
),(
)(
2
1
0
εy
h
E
yxhfyy
ayy
j
jjjj , j = 0, 1, 2, ..., m, xj – 1 ≤ ε ≤ xj (6.3) 
 
Exemplo: 
 
Achar aproximações para a solução do PVI abaixo na malha de [0, 1] com h = 0,1. 
 
⎩⎨
⎧
=
+−=
2)0(
2'
y
yxy
 
72 
Como pode se observar, o erro cresce à medida que se obtém um novo valor. 
Isso se deve à propagação do erro. Na prática, não se dispõe da solução exata do PVI. 
Daí, a necessidade de uma expressão matemática para a estimativa do erro. Essa 
expressão é obtida a partir da série de Taylor mostrada a seguir: 
Expandindo uma série de Taylor para y(x) em torno de x0 teríamos: 
 
L+−+−+−+= )('''
!3
)()("
!2
)()('
!1
)()( 0
3
0
0
2
0
0
0
0 xy
xxxyxxxyxxxyxy (6.4) 
 
 Os dois primeiros termos corresponde a equação do método de Euler, pois 
considerando que x1 – x0 = h, y’(x0) = f(x0, y(x0)) e y(x1) = y1, teríamos: 
 
)('
!1
)()( 000 xy
xxxyxy −+= , y1 = y0 + hf(x0, y0). (6.5) 
 
 O próximo termo de ordem superior, que é o erro da fórmula de Euler, 
corresponde ao erro cometido. Assim. 
 
)("
!2
)( 201 εyxx − , x0 < ε < x1 (6.6) 
 
 Como (x1 – x0) = h, usa-se a seguinte notação 
 
)("
2
2
1 εy
hE = (6.7) 
 
 Generalizando, teríamos: 
 
)("
2
2
εyhE j = , xj – 1 < ε < xj, (6.8) 
 
onde Ej é o erro local de um truncamento ou ELT. 
 
BVI.3 – Métodos de Runge-Kutta 
 
 Pode-se dizer que os métodos de Runge-Kutta se caracterizam por 3 
propriedades: 
 
1) são de passo simples (para se calcular yj+1 utiliza-se apenas yj); 
2) concordam com a série de Taylor até os termos de ordem hp, onde p é ordem do 
método; 
3) não exigem o cálculo de qualquer derivada de f(x, y). No entanto, f(x, y) é 
calculada em vários pontos. 
 
BVI.3.1 – Métodos de Runge-Kutta de 1ª ordem 
 
73 
 O método de Runge-Kutta de 1ª ordem nada mais é do que o método de Euler 
que corresponde a expansão da série de Taylor até 1ª ordem, ou seja, 
 
))(,(1 jjjj xyxhfyy +=+ , j = 0, 1, 2, ..., n – 1 (6.9) 
 
Exemplo: 
Dado o PVI abaixo, estimar y(2,1) pelo método de Euler com com h = 0,1, 0,05 e 0,025 
 
⎩⎨
⎧
=
−=
2)2(
'
y
yxxy
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
74 
BVI.3.2 – Métodos de Runge-Kutta de 2ª ordem 
 
Os métodos de Runge-Kutta de certa ordem podem ter vária formas, ou seja, 
uma família de métodos de Runge-Kutta de 2ª ordem, por exemplo. 
Foi visto que o método de Euler usa somente a inclinação no ponto (xj, yj) no 
cálculo de yj+1. Uma das maneiras de se melhorar esse método é, em vez de usar só a 
inclinação em (xj, yj), usar a média das inclinações em (xj, yj) e (xj+1, yj+1), onde 
xj+1 = xj + h e yj+1 = yj + hf(xj, yj). 
Todos os métodos de passo simples podem ser escritos na forma: 
 
);,(1 hyxhyy jjjj φ+=+ , j = 0, 1, 2, ..., n – 1 (6.10) 
 
onde (xj, yj; h) é denominada “função incremento”, e h, o comprimento do passo. No 
método de Runge-Kutta de 2ª ordem, é dada por: 
 
21 KK βαφ += , (6.11) 
 
onde ),(1 jj yxfK = e )],(,[2 jjjj yxqhfyphxfK ++= 
 
 Dessa forma, obtém-se: 
 
yj+1 = yj + hf( K1 + K2) (6.12) 
 
 As constantes , , p e q são determinadas por meio da expansão da série de 
Taylor de K2, da solução teórica de y(x) até o termo de 2ª ordem de onde obtém-se o 
seguinte sistema: 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=+
2/1
2/1
1
q
p
β
β
βα
 (6.13) 
 
 Observa-se que o sistema possui 3 equações e 4 incógnitas. Isso significa que 
uma das incógnitas terá que ser tomada arbitrariamente para que se determine as 
demais. 
 
Exemplos: 
1) para a escolha p = 1, determine as equações do método de Runge-Kutta de ordem 2. 
 
75 
2) para a escolha = 1, determine as equações do método de Runge-Kutta de ordem 2. 
 
 
 
 
 
 
 
O método do exercício 1 é denominado “Método de Euler Melhorado” e o do 
exercício 2 é denominado “Método de Euler Modificado”. Observa-se, então, que é 
possível a obtenção de uma infinidade de métodos através do sistema linear e todos 
esses métodos terão o mesmo erro local de truncamento, ou seja, 
 
)('''
!3
3
εyhE j = , xj – 1 < ε < xj (6.14) 
 
Exemplo: 
Achar as aproximações da solução do PVI abaixo na malha [0, 1] com h = 0,1 usando o 
método de Euler modificado e o método de Euler melhorado. 
 
⎩⎨
⎧
=
+−=
2)0(
2'
y
yxy
 
 
 
76 
Exemplo: 
Dado o PVI abaixo, estimar y(1) pelos 3 métodos de Eulerpara h = 1, 0,5 e 0,25. 
 
⎩⎨
⎧
=
=
1000)0(
04,0'
y
yy
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BVI.3.3 – Métodos de Runge-Kutta de 3ª e 4ª ordens 
 
 Os métodos de Runge-Kutta de terceira e quarta ordens são obtidos de maneira 
análoga aos de segunda ordem. Especificamente para o método de terceira ordem, 
temos: 
 
321);,( KKKhyx jj γβαφ ++= 
),(1 jj yxfK = 
),( 12 qhKyphxfK jj ++= 
))(,( 123 hKsushKyuhxfK jj −+++= 
 
 As constantes , , , p, q, s e u são determinadas por meio da expansão da série 
de Taylor de K2 e K3 até 3ª ordem, de onde obtém-se os seguintes coeficiente: 
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=+
=+
=+++
6/1
3/1
2/1
1
22
cps
cubq
ucqb
δγβα
 
 O sistema apresenta 4 equações e 6 incógnitas. Portanto, duas incógnitas devem 
ser escolhidas de modo a se determinar as demais. Dentre as famílias de métodos de 
Runge-Kutta de 3ª, os mais utilizados são dados abaixo: 
77 
 
)4(
6 3211
KKKhyy jj +++=+ , j = 0, 1, 2, ..., n – 1 
),(1 jj yxfK = 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
++= 12 2
,
2
KhyhxfK jj 
( )123 2, hKhKyhxfK jj −++= 
)(
!4
)(
4
εIVj y
hE = xj – 1 < ε < xj, 
 
 
3211 9
4
3
1
9
2 KKKyy jj +++=+ , j = 0, 1, 2, ..., n – 1 
),(1 jj yxhfK = 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
++=
2
,
2
1
2
KyhxhfK jj 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
++= 23 4
3,
4
3 KyhxhfK jj 
)(
!4
)(
4
εIVj y
hE = xj – 1 < ε < xj, 
 
 Dentre os métodos de Runge-Kutta de 4ª ordem, o mais utilizado é dado por: 
 
 
)22(
6 43211
KKKKhyy jj ++++=+ , j = 0, 1, 2, ..., n – 1 
),(1 jj yxfK = 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
++= 12 2
,
2
KhyhxfK jj 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
++= 23 2
,
2
KhyhxfK jj 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
++= 34 ,2
hKyhxfK jj 
)(
!5
)(
5
εVj y
hE = xj – 1 < ε < xj 
 
 
Exemplo: 
Dado o PVI abaixo, estimar y(1) pelo método de Runge-Kutta de 3ª ordem com h = 1 
 
⎩⎨
⎧
=
=
1000)0(
04,0'
y
yy
 
 
78 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BVI.4 – Outros métodos de resolução numérica de EDO 
 
 Os métodos de Runge-Kutta são denominados de passo simples pois utilizam 
apenas o valor anterior para calcular o valor atual. Em métodos de passo múltiplo, se a 
aproximação yj+1 depende de k valores anteriores, diz-se que k é o passo do método. 
Entre os métodos de passo múltiplo estão os métodos de Adams, onde a função f(x, y(x)) 
que é desconhecida é substituída por um polinômio interpolador, que assume valores 
fj = f(x, y(x)) numa seqüência de pontos xj, yj. 
 
BVI.4.1 – Método de Adams-Bashforth de passo dois 
 
 A fórmula geral do método de Adams-Bashforth de passo dois é dada por: 
 
)3(
2 11 −+
−+= jjjj ff
hyy , j = 1, 2, ..., m – 1 (6.15) 
)('''
12
5 3 εyhE j = , xj – 1 < ε < xj 
 
BVI.4.2 – Método de Adams-Bashforth de passo quatro 
 
 A fórmula geral do método de Adams-Bashforth de passo quatro é dada por: 
 
79 
)9375955(
24 3211 −−−+
−+−+= jjjjjj ffff
hyy , j = 3, 4, ..., m – 1 (6.16) 
)(
720
251 )(5 εVj yhE = , xj – 1 < ε < xj 
 
Exemplo: 
Dado o PVI abaixo, estimar y(1) pelo método de Adams-Bashforth de passo 4 com 
h = 0,2 
 
⎩⎨
⎧
=
=
1000)0(
04,0'
y
yy
 
 
xj yj 
0,0 1000 
0,2 1008,0321 
0,4 1016,1287 
0,6 1024,2903 
 
	I – Erros
	I.1 – Tipos de erros
	I.2 – Exatidão ( precisão
	I.3 – Erros durante a descrição dos problemas
	I.3.1 – Erros na fase de modelagem
	I.3.2 – Erros na fase de resolução
	I.4 – Propagação de erros
	I.5 – Aritmética de ponto flutuante
	II – Resolução Numérica de Sistemas Lineares
	II.1 – Definições
	II.2 – Métodos diretos
	II.2.1 – Método de Eliminação de Gauss
	II.2.1.1 – Estratégia de pivoteamento parcial
	II.2.1.2 – Estratégia de pivoteamento completo
	II.2.2 – Método de Jordam
	II.3 – Métodos Iterativos
	II.3.1 – Introdução
	II.3.2 – Testes de parada
	II.3.3 – Método de Jacobi
	II.3.4 – Método de Gauss-Seidel
	II.3.5 – Convergência dos métodos iterativos
	II.3.5.1 – Critério das linhas
	II.3.5.2 – Critério das colunas
	II.3.5.3 – Critério de Sassenfeld
	III – Cálculo Numérico de Raízes de Equações
	III.1 – Introdução
	III.2 – Isolamento de raízes
	III.3 – Refinamento
	III.3.1 – Critérios de parada
	III.3.2 – Método da bissecção
	III.3.3 – Método da posição falsa
	III.3.4 – Método da posição falsa modificado
	III.3.5 – Método iterativo linear (MIL)
	III.3.6 – Método de Newton-Raphson (N-R)
	III.3.7 – Método da secante
	IV – Interpolação
	IV.1 – Introdução
	IV.2 – Interpolação polinomial
	IV.3 – Formas de obtenção do polinômio interpolador
	IV.3.1 – Resolução do sistema linear
	IV.3.2 – Forma de Lagrange
	IV.3.3 – Forma de Newton
	IV.3.4 – Forma de Newton-Gregory
	IV.3.5 – Erro na interpolação
	V – Integração Numérica
	V.1 – Introdução
	V.2 – Fórmulas de Newton-Cotes
	V.2.1 – Regra dos retângulos
	V.2.2 – Regra dos trapézios
	V.2.2.1 – Fórmula simples
	V.2.2.2 – Erro de trucamento da fórmula simples
	V.2.2.3 – Fórmula composta
	V.2.2.4 – Erro de truncamento da forma composta
	V.2.3 – Primeira regra de Simpson
	V.2.3.1 – Fórmula simples
	V.2.3.2 – Erro de truncamento da fórmula simples
	V.2.3.3 – Fórmula composta
	V.2.3.4 – Erro de trucamento da formula composta
	V.2.4 – Segunda regra de Simpson
	V.2.4.1 – Fórmula simples
	V.2.4.2 – Erro de truncamento da fórmula simples
	V.2.4.3 – Fórmula composta
	V.2.4.4 – Erro de truncamento da fórmula composta
	V.2.5 – Extrapolação de Richardson
	V.2.5.1 – Extrapolação de Richardson para a regra dos trapézios
	V.2.5.2 – Extrapolação de Richardson para as regras de Simpson
	V.3 – Fórmulas de Quadratura Gaussiana
	VI – Resolução Numérica de equações diferenciais ordinárias
	VI.1 – Introdução
	VI.2 – Método de Euler
	VI.3 – Métodos de Runge-Kutta
	VI.3.1 – Métodos de Runge-Kutta de 1ª ordem
	VI.3.2 – Métodos de Runge-Kutta de 2ª ordem
	VI.3.3 – Métodos de Runge-Kutta de 3ª e 4ª ordens
	VI.4 – Outros métodos de resolução numérica de EDO
	VI.4.1 – Método de Adams-Bashforth de passo dois
	VI.4.2 – Método de Adams-Bashforth de passo quatro