Conjuntos - Intervalos numericos

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Tópico 2 - Conjuntos e Intervalos Numéricos
1 Conjuntos Numéricos
1.1 Conjunto N dos Números Naturais
O conjunto dos números naturais é representado pela letra N:
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Observações:
• Alguns livros e autores de Matemática de�nem o conjunto dos números naturais iniciando
com o zero (0).
• Os números naturais formam uma sequência que "não tem �m", ou seja, existem in�nitos
números naturais. Usamos reticências para indicar esse fato.
1.2 Conjunto Z Números Inteiros
Z = {...,−2,−1, 0,+1,+2,+3, ...}
1.2.1 Subconjuntos de Z
• Números inteiros diferentes de zero
Z− {0} = Z∗ = {...,−2,−1,+1,+2,+3, ...}
• Números inteiros não negativos
Z+ = {0,+1,+2,+3, ...}
• Números inteiros não positivos
Z− = {0,−1,−2,−3, ...}
• Números inteiros positivos
Z∗+ = {+1,+2,+3, ...}
• Números inteiros negativos
Z∗− = {−1,−2,−3, ...}
1.3 Conjunto Q dos Números Racionais
Número racional é todo número que pode ser escrito na forma
a
b
, onde:
• a e b são números inteiros;
• b 6= 0
1.3.1 Números Racionais Positivos e Negativos
Então, são números racionais:
Os números inteiros
positivos:
Os números inteiros
negativos:
Os números fra-
cionários positivos:
Os números fra-
cionários negativos:
Exemplos: Exemplos: Exemplos: Exemplos:
1 =
1
1
e 2 =
2
1
−1 = −1
1
e −2 = −2
1
1
2
e
3
4
−1
2
e −3
4
1
Observação: O número 0 também é racional pois 0 =
0
1
.
Os números 1, 2, 3, 4,
1
2
,
3
4
,
2
5
,
10
3
, ... são chamados números racionais positivos.
Os números −1, − 2, − 3, − 4, − 1
2
, − 3
4
, − 2
5
, − 10
3
, ... são chamados números racionais
negativos.
1.3.2 Números Decimais
Um número racional também pode ser representado por um número decimal exato ou periódico.
Exemplos:
a)
7
2
= 3, 5 99K divide-se o numerador pelo denominador da fração e obtém-se o número na forma decimal.
b) −4
5
= −0, 8
c)
1
3
= 0, 333...
d)
4
9
= 0, 444...
e)
23
99
= 0232323...
Os itens c, d e e são chamados de dízimas periódicas e podem ser representados ainda por:
0, 3; 0, 4 e 0, 23 respectivamente.
1.3.3 Representação Geométrica dos Números Racionais
Observe que os números inteiros e racionais podem ser representados por pontos de uma reta.
• Os pontos que estão à direita do zero chamam-se positivos.
Os pontos negativos estão à esquerda do zero.
• Dados dois números quaisquer, o que está mais à direita é o maior deles, e o que está mais à
esquerda, o menor deles.
Exemplos:
a) +2 > −3 99K (+2 está à direita de −3).
b) −2 −5
2
99K (
5
3
está à direita de −5
2
).
1.4 Conjunto I dos Números Irracionais
Assim como existem números decimais que podem ser escritos como fraçóes com numerador e de-
nominador inteiro - os números racionais que acabamos de estudar -, há os que não admitem tal
representação. Trata-se dos números decimais que possuem representação in�nita não periódica.
Vejamos alguns exemplos
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• O número 0,21211211121111... não é dízima periódica, pois os algarismos apósa virgula não
repetem periodicamente.
• O número 1,203040... também não comporta representação fracionária, pois não é dizima
periódica.
• Os números
√
2 = 1, 4142135...,
√
3 = 1, 7320508... e π = 3, 141592..., por não apresentarem
representação in�nita periódica, tamém não são números racionais. Lembre-se de que o
número π representa o quociente entre a medida do comprimento de uma circunferência e
a medida do seu diâmetro.
Um número cuja representação decimal in�nita é não periodica é chamado número irracional,e o
conjunto desses números é representado por I. A representação decimal do número
√
2, apresentada
anteriormente, não garante, aparentemante, que
√
2 seja irracional.
1.5 Conjunto R dos Números Reais
O conjunto formado pela reunião do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números
irracionais é chamado conjunto dos númeors reais e é representado por R.
Assim, temos:
R = Q ∪ I, sendo Q ∩ I = ∅
Temos: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R e I ⊂ R
Observe: I = R−Q
Além desses (N,Z,Q e I), o conjunto dos números reais apresenta outros subconjuntos importantes:
• O conjunto dos números reais não nulos:
R∗ = {x ∈ R|x 6= 0} = R− {0}
• O conjunto dos números reais não negativos:
R+ = {x ∈ R|x > 0}
• O conjuto dos números reais positivos:
R∗+ = {x ∈ R|x > 0}
• O conjunto dos números reais não positivos:
R− = {x ∈ R|x 6 0}
• O conjunto dos números reais negativos:
R∗− = {x ∈ R|x a} ]a,+∞[ ou ]a,+∞)
{x ∈ R/x > a} [a,+∞[ ou [a,+∞)
{x ∈ R/xatribuímos um valor a
variável independente.
Exemplo: Dada a função f : R→ R de�nida por f(x) = x3 − x, determine:
• f(2) = 23 − (2) = 6
• f(−2) = (−2)3 − (−2) = −6
• f(1) + f(−1) = 13 − 1 + (−1)3 − (−1) = 0 + 0 = 0
3.3 Domínio, Imagem e Contradomínio de uma Função
Seja a função f : A→ B.
a) Chamamos de domínio da função f(D(f)) o conjunto formado pelos primeiros elementos dos
pares ordenados (x, y) pertencentes a f . Assim, pela de�nição, D(f) = A.
b) Chamamos de imagem da função f(Im(f)) o conjunto formado pelos segundos elementos
dos pares ordenados (x, y) pertencentes a f .
c) Chamamos de contradomínio da função f(CD(f)) o conjunto B: CD(f) = B.
Vejamos um exemplo, Dados os conjuntos A = {−2,−1, 0, 1} e B = {−2,−1, 0, 1, 2, 3} e a função
f : A→ B de�nida por f(x) = x+ 1, temos:
x f(x) = x+ 1 f(x)
−2 f(−2) = −2 + 1 −1
−1 f(−1) = −1 + 1 0
0 f(0) = 0 + 1 1
1 f(1) = 1 + 1 2
f = {(−2,−1), (−1, 0), (0, 1), (1, 2)}
D(f) = A = {−2,−1, 0, 1}
Im(f) = {−1, 0, 1, 2}
CD(f) = B = {−2,−1, 0, 1, 2, 3}
Observação: Decorre da de�nição que Im(f) ⊂ CD(f) ou Im(f) ⊂ B.
Exercícios Resolvidos
1. Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {−1, 0, 1, 2} e a função f : A → B de�nida por
f(x) = x2 − 3x+ 1, determine:
a) Im(f)
b) diagrama de setas da função
c) D(f) e CD(f)
Solução:
x y = x2 − 3x+ 1 y
0 y = 02 − 3 · 0 + 1 1
1 y = 12 − 3 · 1 + 1 −1
2 y = 22 − 3 · 2 + 1 −1
3 y = 32 − 3 · 3 + 1 1
a) Im(f) = {−1, 1}, pois são valores de y.
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b) Diagrama de setas da função:
c) D(f) = A = {0, 1, 2, 3} e CD(f) = B = {−1, 0, 1, 2}
Os exercícios 2, 3, 4 e 5 são importantes no estudo de Cálculo.
2. Determine o domínio da função real f(x) = 3
x−2
Solução:
A restrição refere-se ao denominador, pois ele deve ser diferente de 0, ou seja:
x− 2 6= 0 ⇒ x 6= 2
Então, D(f) = {x ∈ R|x 6= 2} = R− {2}.
3. Determine o domínio da função real f(x) =
√
3− x.
Solução:√
3− x só existe em R se:
3− x ≥ 0 ⇒ −x ≥ −3 ⇒ x ≤ 3
Logo, D(f) = {x ∈ R|x ≤ 3}.
4. Qual o domínio da função real f(x) = 1
x−3 + 3x√
x−1 +
√
x− 2 ?
Solução:
Devemos ter simultaneamente:
x− 3 6= 0 ⇒ x 6= 3
x− 1 > 0 ⇒ x > 1
x− 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2
Efetuando a intersecção das condições, temos:
Logo, D(f) = {x ∈ R|x ≥ 2 e x 6= 3}
5. Qual o domínio da função real f(x) = x2 + 5x
Solução:
Como a expressão da função aceita qualquer valor para variável x, ela não tem nenhuma
restrição, logo o domínio será o maior conjunto possível, isto é: f : R→ R, D(f) = R
3.4 Função Crescente e Função Decrescente
Uma função y = f(x), de A em B, é crescente em um intervalo [a, b] ⊂ A se, e somente se, para
quaisquer x1 e x2 pertencentes ao intervalo [a, b] temos:
x2 > x1 ⇒ f(x2) > f(x1)
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Uma função y = f(x), de A em B, é decrescente em um intervalo [a, b] ⊂ A se, e somente se, para
quaisquer x1 e x2 pertencentes esse intervalo temos:
x2 > x1 ⇒ f(x2) x1 pertencentes a esse intervalo,
f(x2) > f(x1) e decrescente em [0, 1] porque, para quaisquer x2 > x1 pertencentes a esse
intervalo, f(x2) x1 ⇒ g(x2) > g(x1);
g(x) é crescente em [2, 4], pois nesse intervalo quaisquer x2 > x1 ⇒ g(x2) > g(x1);
g(x) é decrescente em [−4,−2], pois nesse intervalo quaisquer x2 > x1 ⇒ g(x2) x1 ⇒ g(x2)