Integral por Substituição Trigonométrica

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UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
LINCENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II
Professora: Isolda Giani de Lima
PRÁTICA PEDAGÓGICA 3
Método de Integração por
Substituição Trigonométrica
BRUNA TIZATTO
ELAINE TONIETTO
Caxias do Sul
2008
1
Método de Integração por Substituição Trigonométrica
Este método pode ser utilizado no cálculo de integrais que contêm radicais, realizado
através de substituições envolvendo funções trigonométricas. Como exemplo, podemos citar a
fórmula do disco da prática 1 que era: ∫ a2 − x2 . Para resolvê-la tivemos que recorrer a uma
fórmula do livro.
Iremos nos ocupar com integrais que contêm as expressões da forma
∫ a2 − x2 ∫ a2 + x2 ∫ x2 − a2
constante - parte variável constante + parte variável parte variável - constante
nas quais a é uma constante positiva. A idéia básica de tais integrais é fazer uma
substituição para x que elimine o radical. Para isto iremos utilizar as relações trigonométricas.
Relação Fundamental da Trigonometria
sin2θ + cos2θ = 1 − − >
1 − sin2θ = cos2θ
1 − cos2θ = sin2θ
Relação Secundária
1 + tan2θ = sec2θ
sec2θ − 1 = tan2θ
Idéia do método
A idéia desse método é fazer as seguintes subtituições:
∫ a2 − x2 substituir por 1 − sin
2θ = cos2θ
1 − cos2θ = sin2θ
∫ a2 + x2 substituir por 1 + tan2θ = sec2θ
∫ x2 − a2 sustituir por sec2θ − 1 = tan2θ
Por exemplo, para eliminar o radical da expressão a2 − x2 podemos fazer a substituição
x = a sinθ .
Então,
a2 − x2 = a2 − a sinθ2 = a2 − a2 sin2θ = a21 − sin2θ = a cos2θ = a. cosθ
2
Exemplos:
Exemplo 1: ∫
−3
3 9 − x2 dx
Primeiro vamos calcular a integral indefinida.
Podemos observar que esta integral é do tipo: ∫ a2 − x2 , ou seja, constante menos parte
variável. Sendo assim, devemos escolher entre as duas relações:
1 − sin2θ = cos2θ
ou
1 − cos2θ = sin2θ
Vamos escolher a primeira. Tomando x = 3sinθ e dx = 3cosθdθ ∗
Com isso temos:
∫ 9 − x2 dx =∗ ∫ 9 − 3sinθ2 ⋅ 3cosθdθ
= ∫ 9 − 9sin2θ ⋅ 3cosθdθ (Dica: Colocar o 9 em evidência)
= ∫ 91 − sin2θ ⋅ 3cosθdθ (Dica: Abre-se esta raiz em duas)
= ∫ 9 ⋅ 1 − sin2θ ⋅ 3cosθdθ (Dica: Passam-se as constantes para fora da integral e
substitui-se 1 − sin2θ por cos2θ)
= 9 ⋅ 3 ∫ cos2θ ⋅ cosθdθ(Dica: simplifica-se o quadrado do cosseno com a raiz)
= 9 ∫ cosθ ⋅ cosθdθ
= 9 ∫ cos2θdθ
Agora, para resolver a integral definida, temos duas maneiras:
1) Integrando em função de θ, escrevendo assim os intervalos em função de θ
2) Retornando para a variável x
Vamos mostrar as duas.
Primeira maneira: Integrando em função de θ
∫ 9 − x2 dx = 9 ∫ cos2θdθ
Aqui mudamos os limites de integração da integral definida ∫
−3
3 9 − x2 dx:
Tínhamos que: x = 3sinθ.Então:
se x = 3 se x = −3
3 = 3sinθ −3 = 3sinθ
sinθ = 1 sinθ = −1
θ = π2 θ = −
π
2
3
Aplicando esses intervalos na nossa integral:
∫
−3
3 9 − x2 dx
= 9 ∫
− π2
π
2 cos2θdθ (Dica: utilizando a tabela de integrais da contracapa do Anton,
fórmula 27: ∫ cos2udu = 12 u +
1
4 sin2u + C)
= 9 ⋅ 12 θ +
1
4 sin2θ − π2
π
2
= 92 θ +
9
4 sin2θ − π2
π
2 (Dica: Aplicando os limites de integração)
= 92 ⋅
π
2 +
9
4 sin2 ⋅
π
2 −
9
2 ⋅ −
π
2 +
9
4 sin2 −
π
2
= 9π4 +
9
4 sinπ − −
9π
4 +
9
4 sin−π
= 9π4 +
9
4 ⋅ 0 − −
9π
4 +
9
4 ⋅ 0
= 9π4 +
9π
4
= 18π4
= 9π2
Logo: ∫
−3
3 9 − x2 dx = 9 ∫
− π2
π
2 cos2θdθ = 92 θ +
9
4 sin2θ − π2
π
2
= 9π2
Segunda maneira: retornando para a variável x.
∫ 9 − x2 dx
= 9 ∫ cos2θdθ (Dica :utilizando a tabela de integrais da contracapa do Anton,
fórmula27: ∫ cos2udu = 12 u +
1
4 sin2u + C)
= 9 12 θ +
1
4 sin2θ + C
= 92 θ +
9
4 sin2θ + C (Dica: fórmula do arco duplo, AntonA-47 sin2θ = 2sinθcosθ)
= 92 θ +
9
4 2sinθcosθ + C
Tinhamos que: x = 3sinθ. Então sinθ = x3 ∴ θ = arcsin
x
3 .
Usando o triângulo retângulo para descobrir cosθ. (Aqui utilizamos a relação que já temos:
sinθ = x3 , para montar no triângulo retângulo.)
4
Pelo Teorema de Pitágoras conseguimos descobrir a medida do cateto Y:
9 = x2 + y2
y = 9 − x2
Logo :
cosθ =
Cat.Adj.
Hip =
9 − x2
3
sinθ = x3
θ = arcsin x3
∫ 9 − x2 dx = 92 θ +
9
4 2sinθcosθ + C (fazendo as substituições)
= 92 arcsin
x
3 +
9
4 ⋅ 2 ⋅
x
3 ⋅
9 − x2
3 + C
= 92 arcsin
x
3 +
x
2 ⋅ 9 − x
2 + C
Calculando a integral definida:
∫
−3
3 9 − x2 dx = 92 arcsin
x
3 +
x
2 ⋅ 9 − x
2
−3
3
= 92 arcsin
3
3 +
3
2 ⋅ 9 − 3
2 − 92 arcsin
−3
3 +
−3
2 ⋅ 9 − −3
2
= 92 arcsin1 +
3
2 ⋅ 0 −
9
2 arcsin−1 −
3
2 ⋅ 0
= 92 ⋅
π
2 −
9
2 ⋅ −
π
2
= 9π4 +
9π
4
= 9π2
Logo: ∫
−3
3 9 − x2 dx = 9 ∫
−3
3
cos2θdθ = 92 arcsin
x
3 +
x
2 ⋅ 9 − x
2
−3
3
= 9π2
Exemplo 2: ∫
2
2 2x2 − 4
x dx (Livro Anton página 535, no 24)
Primeiro vamos calcular a integral indefinida.
Podemos observar que esta integral é do tipo: ∫ x2 − a2 , ou seja, parte variável menos
constante. Sendo assim, devemos escolher a seguinte relação:
sec2θ − 1 = tan2θ
5
Tomando x = 2 secθ e dx = 2 secθ ⋅ tanθdθ ∗
∫ 2x
2 − 4
x dx =
∗ ∫
2 2 secθ 2 − 4
2 secθ
⋅ 2 secθ ⋅ tanθdθ
= ∫ 2 ⋅ 2sec
2θ − 4
2 secθ
⋅ 2 secθ ⋅ tanθdθ
= ∫ 4sec
2θ − 4
2 secθ
⋅ 2 secθ ⋅ tanθdθ (Dica: Colocar o 4 em evidência)
= ∫
4sec2θ − 1
2 secθ
⋅ 2 secθ ⋅ tanθdθ (Dica: Abre-se esta raiz em duas,
e substitui-se sec2θ − 1 = tan2θ)
= ∫ 4 tan
2θ
2 secθ
⋅ 2 secθ ⋅ tanθdθ (Dica: simplifica-se 2 secθ
= ∫2 tan2θ ⋅ tanθdθ (Dica: simplifica-se o quadrado da tangente com a raiz)
= 2 ∫ tan2θdθ
Agora, para resolver a integral definida, temos duas maneiras:
Primeira maneira: Integrando em função de θ
∫ 2x
2 − 4
x dx = 2 ∫ tan2θdθ
Aqui mudamos os limites de integração da definida ∫
2
2 2x2 − 4
x dx.
Tínhamos que: x = 2 secθ.Então:
se x = 2 se x = 2
2 = 2 secθ 2 = 2 secθ
1 = secθ 2
2
= secθ
secθ = 1 secθ = 2
θ = arcsec 1 θ = arcsec 2
θ = 0 θ = π4
Aplicando esses intervalos na nossa integral:
6
∫
2
2 2x2 − 4
x dx = 2 ∫0
π
4 tan2θdθ
(Dica: utilizando a tabela de integrais da contracapa do Anton
fórmula 28: ∫ tan2udu = tanu − u + C)
= 2tanθ − θ|0
π
4
= 2 tan π4 −
π
4 − tan0 − 0
= 2 1 − π4 − 0
= 2 − π2
Logo: ∫
2
2 2x2 − 4
x dx = 2 ∫0
π
4 tan2θdθ = 2tanθ − θ|0
π
4 = 2 − π2
Segunda maneira: retornando para a variável x.
∫ 2x
2 − 4
x dx
= 2 ∫ tan2θdθ (Dica :utilizando a tabela de integrais da contracapa do Anton,
fórmula28: ∫ tan2udu = tan u − u + C)
= 2tanθ − θ + C
Tinhamos que: x = 2 secθ . Então secθ = 2 x2 ∴ θ = arcsec
2 x
2
Usando o triângulo retângulo para descobrir tanθ. (Aqui utilizamos a relação que já temos:
secθ =
2 x
2 , para montar no triângulo retângulo.)
secθ = 1
cosθ
2 x
2 =
1
cosθ
cosθ = 2
2 x
cosθ =
2
x
Pelo Teorema de Pitágoras conseguimos descobrir a medida do cateto Y:
x2 = 2 2 + y2
y = x2 − 2
Logo:
tanθ = Cat.Opost.Cat.Adj. =
x2 − 2
2
=
2x2 − 2
2
θ = arcsec
2 x
2
7
∫
2
2 2x2 − 4
x dx = 2tanθ − θ| 22 (Dica: fazendo as substituições)
= 2
2x2 − 2
2 − arcsec
2 x
2
2
2
= 2
222 − 2
2 − arcsec
2 ⋅ 2
2 − 2
2 2 2 − 2
2 − arcsec
2 2
2
= 2 1 − π4 − 20 − 0
= 2 − π2
Exemplo 3: ∫
0
1 1 + x2 dx (Livro Anton página 533, exemplo 4)
Primeiro vamos calcular a integral indefinida.
Podemos observar que esta integral é do tipo: ∫ x2 + a2 , ou seja, parte variável mais
constante. Sendo assim, devemos escolher a seguinte relação:
tan2θ + 1 = sec2θ
Tomando x = tanθ e dx = sec2θdθ ∗
∫ 1 + x2 dx =∗ ∫ 1 + tan2θ ⋅ sec2θdθ (Dica: Substitui-se 1 + tan2θ por sec2θ)
= ∫ sec2θ ⋅ sec2θdθ (Dica: simplifica-se o quadrado da secante com a raiz)
= ∫ sec3θdθ
Agora, para resolver a integral definida, temos duas maneiras:
Primeira maneira: Integrando em função de θ
∫ 1 + x2 dx = ∫ sec3θdθ
Aqui mudamos os limites de integração da definida ∫
0
1 1 + x2 dx
Tínhamos que: x = tanθ .Então:
se x = 1 se x = 0
1 = tanθ 0 = tanθ
θ = π4 θ = 0
Aplicando esses intervalos na nossa integral:
8
∫
0
1 1 + x2 dx = ∫
0
π
4 sec3θdθ
(Dica: Livro Anton p. 526 fórmula 26.
∫ sec3udu = 12 sec u ⋅ tanu +
1
2 ln|sec u + tanu| + C)
= 12 secθ ⋅ tanθ +
1
2 ln|secθ + tanθ| 0
π
4
= 12 sec
π
4 ⋅ tan
π
4 +
1
2 ln sec
π4 + tan
π
4 −
1
2 sec 0 ⋅ tan0 +
1
2 ln|sec 0 + tan0|
= 12 ⋅ 2 ⋅ 1 +
1
2 ln 2 + 1 −
1
2 ⋅ 1 ⋅ 0 +
1
2 ln|1 + 0| (Dica: ln1=0)
= 12 2 + ln 2 + 1
Logo:
∫
0
1 1 + x2 dx = ∫
0
π
4 sec3θdθ = 12 secθ ⋅ tanθ +
1
2 ln|secθ + tanθ| 0
π
4 = 12 2 + ln 2 + 1
Segunda maneira: retornando para a variável x.
∫ 1 + x2 dx
= ∫ sec3θdθ (Dica :Livro Anton p. 526 fórmula 26.
∫ sec3udu = 12 sec u ⋅ tanu +
1
2 ln|sec u + tanu| + C)
= 12 secθ ⋅ tanθ +
1
2 ln|secθ + tanθ|
Tinhamos que:x = tanθ . Então tanθ = x1 ∴ θ =. arctan
x
1
Usando o triângulo retângulo para descobrir secθ. (Aqui utilizamos a relação que já temos:
tanθ = x1 , para montar no triângulo retângulo.)
Pelo Teorema de Pitágoras conseguimos descobrir a medida do cateto Y:
y2 = 12 + x2
y = 1 + x2
Logo:
tanθ = Cat.Opost.Cat.Adj. = x
secθ = 1
cosθ
= 11
y
= y = 1 + x2
θ =. arctanx
9
∫
0
1 1 + x2 dx = 12 secθ ⋅ tanθ +
1
2 ln|secθ + tanθ| 0
1 (fazendo as substituições)
= 12 ⋅ 1 + x
2 ⋅ x + 12 ln 1 + x
2 + x
0
1
= 12 ⋅ 1 + 1
2 ⋅ 1 + 12 ln 1 + 1
2 + 1 − 12 ⋅ 1 + 0
2 ⋅ 0 + 12 ln 1 + 0
2 + 0
=
2
2 +
1
2 ln 2 + 1 −
1
2 ln1
= 12 2 + ln 2 + 1
10