Portfólio_01_Introdução a teoria dos números

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
CURSO DE LICENCIATURA-MATEMÁTICA 
DISCIPLINA: INTRODUÇÃO A TEORIA DOS NÚMEROS 
PROFESSOR (A): JOSÉ VALTER LOPES NUNES 
TUTOR (A): ESDRAS MUNIS MOTA 
ALUNO (A): JOSÉ FILIPE RAMOS DE ARAÚJO 
MATRICULA: 0427325 
 
 
 
 
 
 
 
 
PORTFÓLIO 01 
 
 
 
 
 
 
 
QUITERIANÓPOLIS-CE 
2019 
 
 
 
Exercício 2: Use indução sobre n para mostrar que: 
𝟏
𝟏 ∗ 𝟐
+
𝟏
𝟐 ∗ 𝟑
+ ⋯ +
𝟏
(𝑵 − 𝟏)𝑵
=
𝑵 − 𝟏
𝑵
, 𝑵 ≥ 𝟐 
Base: n = 2, 𝑃(2): 
1
(2−1)∗2
=
2−1
2
→
1
2
=
1
2
, é verdadeira 
Hipótese: n = k, tal que, 𝑃(𝑘): 
1
1∗2
+
1
2∗3
+ ⋯ +
1
(𝑘−1)∗𝑘
=
𝑘−1
𝑘
 
Tese: 𝑛 = (𝑘 + 1), 
 𝑃(𝑘 + 1): 
1
1∗2
+
1
2∗3
+ ⋯ +
1
(𝑘−1)∗𝑘
+
1
𝑘(𝑘+1)
=
𝑘
𝑘+1
 
 
𝑘−1
𝑘
+
1
𝑘(𝑘+1)
=
𝑘
𝑘+1
 
 
(𝑘−1)(𝑘+1)+1
𝑘(𝑘+1)
=
𝑘
𝑘+1
 
 
𝑘2
𝑘(𝑘+1)
=
𝑘
𝑘+1
 
 
𝑘
𝑘+1
=
𝑘
𝑘+1
 
Portanto, pelo princípio de indução finita, concluímos que 
1
1∗2
+
1
2∗3
+ ⋯ +
1
(𝑁−1)𝑁
=
𝑁−1
𝑁
, ∀ 𝑁 ≥ 2. 
Exercício 3: Use indução sobre n para mostrar que: 
𝟏 + 𝟑 + 𝟓 +. . . + (𝟐𝒏 − 𝟏) = 𝒏𝟐 
Base: 𝑛 = 1, (2𝑛 − 1) = 𝑛2 → (2 ∗ 1 − 1) = 12 → 1 = 1, é verdadeira. 
Hipótese: 𝑛 = 𝑘, tal que, 1 + 3 + 5 +. . . + (2𝑘 − 1) = 𝑘2 
Tese: 𝑛 = (𝑘 + 1), 
 1 + 3 + 5 +. . . + (2𝑘 − 1) + (2𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)2 
 𝑘2 + 2𝑘 + 1 = (𝑘 + 1)2 
Logo, pelo princípio de indução finita satisfazemos a hipótese. 
Exercício 5: Use indução sobre n para mostrar que 𝒂𝒎 . 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏 , 𝒂 ∈ 𝑹. 
Observe que 𝒂𝟏 = 𝒂 , 𝒂𝒏 + 𝟏 = 𝒂𝒏 . 𝒂 
Base: n = 1: 𝑎𝑚 ∗ 𝑎1 = 𝑎𝑚 ∗ 𝑎 = 𝑎𝑚+1, é verdadeira 
Hipótese: Para n = k: 𝑎𝑚 ∗ 𝑎𝑘 = 𝑎𝑚+𝑘 
Tese: 𝑛 = (𝑘 + 1), 
 𝑎𝑚 ∗ 𝑎𝑘+1 = 𝑎𝑚 ∗ 𝑎𝑘 ∗ 𝑎1 = 𝑎𝑚+𝑘+1 
Logo, pelo princípio de indução finita satisfazemos a hipótese. 
Exercício 8: Use indução para provar que: 
𝟏 + 𝟑 + ⋯
𝒏(𝒏+𝟏)
𝟐
=
𝒏(𝒏+𝟏)(𝒏+𝟐)
𝟔
, para 𝒏 > 𝟎 
 
Base: 𝑛 = 1, 
1(1+1)
2
=
1(1+1)(1+2)
6
→ 1 = 1, logo a base é verdadeira. 
Hipótese: 𝑛 = 𝑘, 1 + 3 + ⋯
𝑘(𝑘+1)
2
=
𝑘(𝑘+1)(𝑘+2)
6
 
Tese: 𝑛 = (𝑘 + 1) 
𝑘(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
6
+
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
2
=
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(𝑘 + 3)
6
 
MMC = 6 
𝑘(𝑘 + 1)(𝑘 + 2) + 3(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
6
=
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(𝑘 + 3)
6
 
Colocando o (𝑘 + 1)(𝑘 + 2) em evidência no lado esquerdo: 
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(𝑘 + 3)
6
=
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(𝑘 + 3)
6
 
Portanto, pelo princípio de indução finita 1 + 3 + ⋯
𝑛(𝑛+1)
2
=
𝑛(𝑛+1)(𝑛+2)
6
, vale para todo 
𝑛 > 0. 
Exercício 9: Prove por indução sobre n que: 𝒏! > 𝟐𝒏, para todo 𝒏 ≥ 𝟒. 
Se 𝑛 ≥ 4, para 𝑛 = 4 
4! > 24 = 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 > 24 = 24 > 16, a primeira condição está satisfeita. 
Admitindo que 2𝑘 = 𝑘!, para um k maior que 4. 
2𝑘+1 = 2 ∗ 2𝑘 
(𝑘 + 1)! = (𝑘 + 1)𝑘! 
(𝑘 + 1) > 2, se 𝑘 > 4 
Assim, 2𝑘+1 = 2 ∗ 2𝑘 2𝑛, ∀ 𝑛 ≥ 4. 
Exercício 11: No texto aludido na observação acima, resuma o que a autora diz 
no título: A formação de Professores e os saberes Específicos. 
Ela descreve a importância dos conhecimentos específicos para os 
professores. Os cursos de licenciatura em matemática ou qualquer outra área 
trabalha conteúdo muito complexos, esses que para a autora é muitas vezes 
desnecessário, pois não é usado no ensino fundamental e nem no médio. Também 
aborda que muitos cursos não trabalham a bases teórica nos docentes e sim apenas 
a didática-pedagógica. Ela descreve a importância dos conhecimentos específicos 
para os professores seja da educação básica, fundamental ou médio. Salienta que 
esse conhecimento especifico é crucial para a formação do futuro docente. 
Percebendo que a uma problemática na formação, precisando assim de uma 
investigação a respeito.