Ava 2-Cálculo diferencial e integral II

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UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA 
Bacharelado em Engenharia de Produção - EAD 
 
 
 
 
 
CATARINA DE SOUSA MIRANDA 
Matrícula 1220200758 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II 
Prof.(a) Artur Luiz Santana Moreira 
 
 
 
 
 
 
TRABALHO DE AVALIAÇÃO 2 
Integrais triplas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rio de Janeiro 
2024 
Integrais Triplas: 
1ª questão 
Calcular a integral tripla ∭(y+x2)zdV sobre a região de integração definida pelo 
paralelepípedo 1≤x≤2,0≤y≤1,-3≤z≤5. 
Também podemos representar o ∫ ∫ ∫ 𝑓𝑑𝑉
 
 
 
 
 
 
 como ∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑥,  𝑦,  𝑧)
 
 
 
 
 
 
 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 
. 
Logo a integral tripla ∫ ∫ ∫(𝑦 + 𝑥2)𝑧𝑑𝑉
 
 
 
 
 
 
 pode ser escrita como ∫ ∫ ∫ (𝑦 +
 5
 −3
 1
0 
2 
 1
𝑥2)𝑧  𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥. 
É necessário calcular as integrais em relação a cada variável, sendo elas x, y e z. 
1. Integral em relação a z: 
 ∫ (𝑦 + 𝑥2)𝑧
 5
 −3
 𝑑𝑧 = (𝑦 + 𝑥2) ∫ 𝑧
 5
 −3
 𝑑𝑧 = ∫ 𝑧
 5
 −3
 𝑑𝑧  = [
𝑧2
2
]
−3
5
 
• 𝑧2 =5 
(5)2
2
→
25
2
 
• 𝑧1 = -3 
(−3)2
2
→
9
2
 
• 𝑧2 − 𝑧1 =  
25
2
−
9
2
 →  
16
2
= 8 
Obs.: Lembrando que para calcular a integral, deve-se levar em conta que a integral de z é  
𝑧2
2
. 
Além disso a integral definida de z é  ∫ 𝑧
 
 
 𝑑𝑧  =
𝑧2
2
+  𝐶, em que C é tratado como constante de 
integração, porém nessa questão não será usada, pois a integral é definida. 
 2. Integral em relação a y: 
   ∫ (𝑦 + 𝑥2)
1
0
 𝑧 𝑑𝑦 →   ∫ 8
1
0
. (𝑦 + 𝑥2) 𝑑𝑦 →   ∫ 8𝑦𝑑𝑦
1
0
+ ∫
1
0
 8𝑥2𝑑𝑦 
• ∫ 8𝑦𝑑𝑦
1
0
  =  8 ∫
1
0
 𝑦 𝑑𝑦  →  8.  
𝑦2
2
→   ∫
1
0
 8𝑦 𝑑𝑦  =  
8𝑦2
2
= 4𝑦2. 
• ∫ 8𝑥2
1
0
𝑑𝑦  =  8𝑥2∫ 𝑑𝑦
1
0   →   ∫ 8𝑥2
1
0
 𝑑𝑦  = 8𝑥2.1 = 8𝑥2. 
• Integral de 8y: 
𝑦2 = 1  →  4𝑦2 = 4(12) = 4.   
𝑦1 = 0  →  4𝑦2 = 4(02) = 0.   
𝑦2 − 𝑦1 = 4 − 0 = 4 
• 8𝑥2 é tratado como constante em relação a y, então seu resultado não se altera. 
dy é igual a y, portanto, seu resultado será 1. 
Logo chegamos ao resultado de 
Obs.: ∫ 8𝑥2
1
0
𝑑𝑦 = 8𝑥2.1 = 8𝑥2. 
∫ 𝑧
1
0
. (𝑦  +  𝑥2).  𝑑𝑦  →  ∫ 8
1
0
. (𝑦 + 𝑥2). 𝑑𝑦 = 4 + 8𝑥2 
Obs.2:   ∫ 8𝑦𝑑𝑦
1
0
+ ∫
1
0
 8𝑥2𝑑𝑦 podem ser calculadas separadamente tendo 
como base a propriedade da integral tripla vista no e-book disponível no conteúdo 
programático. 
 3. Integral em relação a x: 
∫ 𝑧
2
1
. (𝑦  +  𝑥2).  𝑑𝑥  →  ∫ 8
2
1
. (𝑦 + 𝑥2). 𝑑𝑥 → ∫ (4 + 8𝑥2)
2
1
. 𝑑𝑥 → ∫ 4
2
1
 𝑑𝑥 + ∫ 8𝑥2
2
1
 𝑑𝑥 
• ∫ 4
2
1
 𝑑𝑥 = 4[𝑥]1
2 →  𝐶. (𝑏 − 𝑎) → ∫ 4
2
1
 𝑑𝑥 = 4. (2 − 1) = 4 
• ∫ 8𝑥2 
2
1
𝑑𝑥  →  8  ∫ 𝑥2 
2
1
𝑑𝑥  →  8 ∫ [
𝑥𝑛+1
𝑛+1
]
2
1
→ 8∫ [
𝑥2+1
2+1
]
2
1
= ∫ 8
2
1
. [
𝑥3
3
] =
8𝑥3
3
 
• Resolvendo substituindo os limites que são iguais a 2 e 1, temos: 
[
8𝑥3
3
]
1
2
→
8.𝑥2
3
3
−
8𝑥1
3
3
→
8.23
3
−
8.13
3
→
64
3
−
8
3
=
56
3
, ou seja, pode 
afirmar que ∫ 8𝑥2 
2
1
𝑑𝑥  =
56
3
 
Obs.: ∫ 4
2
1
 𝑑𝑥 = 4[𝑥]1
2 →  𝐶. (𝑏 − 𝑎)foi escrito desta forma, pois 4 é uma constante na 
função, logo a integral da constante C em um intervalo de [a, b] é escrita como C. (b -
a). 
 4. Resultado da Integral tripla sobre a região de integração definida pelo paralelepípedo: 
∫ ∫ ∫(𝑦 + 𝑥2)𝑧𝑑𝑉
 
 
 
 
 
 
  =   ∫ (𝑦 + 𝑥2)𝑑𝑥
 2
 1
→ ∫ 8
 2
 1
. (𝑦 + 𝑥2)𝑑𝑥 → ∫ (4 + 8𝑥2)𝑑𝑥
 2
 1
= 4 +
56
3
=
68
3
 
2ª questão 
Calcular a integral ∭(x2+y2)dV, em que T é a região de integração interior ao cilindro 
x2+y2=1 e à esfera x2+y2+z2=4 (fazer a transformação para o sistema de coordenadas que 
mais simplifica a resolução). 
1. Transformando par as coordenadas que simplifiquem a resolução: 
x = r.cos𝜃 
y = r.sen𝜃 
z = z 
 
2. A integral relacionada a questão é: 
∫ ∫ ∫ (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑉
 
 𝑇
 
 
 
 
→ ∫ ∫ ∫
 
 𝑇
 
 
 
 
 𝑟2.  𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧  = ∫ ∫ ∫
 
 𝑇
 
 
 
 
 𝑟3𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧 
3. Tratando as equações do cilindro e da esfera, temos: 
*Cilindro: 
(𝑥2 + 𝑦2) = 1 → (𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜃)2 + (𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃)2
= 1(𝑥2 + 𝑦2) = 1
→ 𝑟2(cos2 𝜃 + (𝑠𝑒𝑛2𝜃))
= 1 
(𝑥2 + 𝑦2) = 𝑟2(1) 
(𝑥2 + 𝑦2) = 𝑟2 →  𝑟 = √1
2
= 1 
Obs.: Regra de trigonometria: 
cos2 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 1 
*Esfera: 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 → (𝑟2) + 𝑧2 = 4 
𝑟2 + 𝑧2 = 4 → 𝑧2 = 4 − 𝑟2 
𝑧  = ±√4− 𝑟2
2
→ 𝑧1 = √4− 𝑟2
2
 
→ 𝑧2 = −√4 − 𝑟2
2
 
Obs.: Por ser 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2, fiz a 
substituição na equação para 
simplificar. 
Observações: 
• 𝜃 → Varia de 0 a 2𝜋 
• 𝑟 → Varia de 0 a 1 
• Portanto, 0 ≤ 𝑟 ≤ 1 e 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 
• −√4− 𝑟2 ≤ 𝑧 ≤ √4 − 𝑟2 
 
4. Achados os limites, agora devemos calcular a seguinte integral: 
∫ ∫ ∫ 𝑟3
√4−𝑟2
−√4−𝑟2
1
0
2𝜋
0
𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃 
 
Iniciamos calculando as integrais separadamente, logo: 
*Integral em z: 
∫ 𝑟3
√4−𝑟2
−√4−𝑟2
𝑑𝑧  = 𝑟3[𝑧]
−√4−𝑟2
√4−𝑟2 
∫ 𝑟3
√4−𝑟2
−√4−𝑟2
𝑑𝑧  = 𝑟3 (√4 − 𝑟2 − (−√4 − 𝑟2)) =
𝑟3.  2√4 − 𝑟2. 
 
*Integral em r: 
∫ 2𝑟3
1
0
 √4 − 𝑟2𝑑𝑟 
Obs.: Como u = 4-𝑟2, então du = -2rdr ou dr = 
−𝑑𝑢
2𝑟
, com isso, quando r = 0, então u será u = 
4. E quando r = 1, então u será u = 3. 
∫ 2𝑟3 
1
0
 √4 − 𝑟2𝑑𝑟  →  ∫ 2𝑟3
4
3
 √𝑢  (
−𝑑𝑢
2𝑟
) →  ∫ 𝑟2
4
3
 √𝑢𝑑𝑢  = ∫ (4 − 𝑢)
4
3
.  √𝑢𝑑𝑢 
∫ 4√𝑢
4
3
𝑑𝑢  − ∫ 𝑢√𝑢
4
3
𝑑𝑢 
As integrais acima podem ser resolvidas separadamente para facilitar o entendimento, 
portanto: 
∫ 4√𝑢
4
3
𝑑𝑢  = 4. ∫
4
3
 𝑢
1
2 𝑑𝑢  =  4.   [
2
3
𝑢
3
2]
3
4
=
8
3
[4
3
2 − 3
3
2] =
8
3
[8 − 3√3] =
64−24√3
3
. 
 
∫ 𝑢√𝑢
4
3
𝑑𝑢  = ∫
4
3
 𝑢
3
2 𝑑𝑢  = [
2
5
𝑢
5
2]
3
4
=
2
5
[4
5
2 − 3
5
2] =
2
5
[32 − 9√3] =
64 − 18√3
5
 
 
Agora é possível subtraí-las para chegar ao resultado da integral em r: 
64 − 24√3
35
  −
64 − 18√3
53
=
5(64 − 24√3) − 3(64 − 18√3)
15
=
320 − 120√3 − 192 + 54√3
15
 
128 − 66√3
15
 
 
 
*Integral em 𝜃 : 
∫
128− 66√3
15
2𝜋
0
. 𝑑𝜃  →  ∫
128 − 66√3
15
2𝜋
0
.  2𝜋  = ∫
256𝜋 − 132𝜋√3
15
2𝜋
0
 
 
256𝜋−132𝜋 .(1,73)
15
=
256𝜋−228𝜋 
15
=
28𝜋 
15
 ou 
28.(3,14) 
15
=
88
15
= 5,8. 
 
 
 
 
 
 
3ª questão 
Calcular o volume do tetraedro mostrado na figura abaixo. 
 
 
Levando em consideração as coordenadas fornecidas, devemos achar a equação do plano que 
passa pelos pontos: 
• (2,0,0); (0,1,0) ;(0,0,3) 
• Equação do plano: f (x, y) = z = ax + by+ c 
1. (2,0,0): 
z = ax + by + c 
(0) = a. (2) + b. (0) + c 
2a = -c 
a = 
−𝑐
2
 
 
2. (0,1,0): 
z = ax + by + c 
(0) = a. (0) + b (1) + c 
b = -c 
3. (0,0,3): 
z = ax + by + c 
(3) = a. (0) + b. (0) + c 
c = 3 
 
 
 
• Fazendo a substituição dos valores na equação do plano, temos: 
z = ax + by + c 
z = 
−𝑐𝑥
2
− 𝑐𝑦  +  𝑐 
z = 
−3𝑥
2
− 3𝑦  +  3 
 
• Agora é necessário acharmos a equação das retas, usando as coordenadas (2,0) e 
(0,1), para que possamos achar os limites da integral: 
y = ax + b 
1. (2,0): 
y = ax + b 
(0) = a. (2) + b 
 2a = -b 
a = 
−𝑏
2
 
2. (0,1): 
y = ax + b 
(1) = a. (0) + b 
b = 1 
 
• Fazendo a substituição dos valores na equação das retas, temos: 
y = ax + b 
y = 
−𝑏𝑥
2
+ 𝑏  
y = 
−𝑥
2
+ 1  
 
• Após o cálculo dos limites será possível resolver a integral e achar o volume do 
tetraedro: 
𝑉 = ∫ ∫ ∫
 
 
 
 
 
 
 𝑑𝑉  → ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑧
−3𝑥
2 −3𝑦 +3
0
−𝑥
2 +1
0
2
0
 𝑑𝑦 𝑑𝑥 
𝑉 = ∫ ∫ (
−3𝑥
2
− 3𝑦  + 3)
−𝑥
2 +1
0
2
0
 𝑑𝑦 𝑑𝑥 
𝑉 = ∫ [(
−3𝑥
2
. (𝑑𝑦) − 3𝑦. (
𝑦1+1
1 + 1
)   + 3.  (𝑑𝑦))∫
−𝑥
2 +1
0
]
2
0
 
𝑉 = ∫ [(
−3𝑥𝑦
2
−
3𝑦2
2
  + 3𝑦)∫
−𝑥
2
+1
0
] 𝑑𝑥
2
0
 
𝑉 = ∫ [(
−3𝑥
2
. (
−𝑥
2
+ 1) −
3
2
. (
−𝑥
2
+ 1)
2
+ 3 (
−𝑥
2
+ 1)]𝑑𝑥]
2
0
 
𝑉 = ∫ [(
3𝑥2
4
−
3𝑥
2
−
3
2
(
𝑥2
4
− 𝑥 + 1) + 3(
−3𝑥
2
+ 3)]𝑑𝑥]
2
0
 
[𝑉 = ∫ (
3𝑥2
8
−
3𝑥
8
+
3
2
)𝑑𝑥
2
0
→ 𝑉 = (
𝑥3
8
−
3𝑥2
4
+
3𝑥
2
)]
0
2
 
𝑉=
(2)3
8
−
3(2)2
4
+
3(2)
2
→ 𝑉 =
8
8
−
12
4
+
6
2
→ 𝑉 = 1 𝑢. 𝑣 (Unidade de volume). 
 
Referências bibliográficas: 
 
RIOS, Luciana. Cálculo Diferencial e Integral II [Livro eletrônico] / Luciana Antunes Rios – 
Rio de Janeiro: UVA, 2019. 
 
VALLE, Marcos Eduardo. Aula 13 Integrais Triplas MA211 - Cálculo II. Disponível em: 
https://www.ime.unicamp.br/~valle/Teaching/MA211/Aula13.pdf Acesso em: 09 de setembro 
de 2024. 
Midiateca- Unidade 4 (Plataforma virtual Canvas) - Cálculo III – Aula 02 - Integral tripla - 
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=M_Ymd5sApXE 
 
Midiateca-Unidade 4 (Plataforma virtual Canvas) - Mudança de variáveis- coordenadas 
cilíndricas e aplicações. Disponível em https://www.youtube.com/watch?v=LmKuPTNyAbk