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Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de Matema´tica - A´rea II
7a Lista de Exerc´ıcios de A´lgebra Linear 17/02/2005
2o semestre de 2004
1. Considere a seguinte matriz:
A =
 1 1 01 3 −1
0 −1 1

(a) Mostre que a aplicac¸a˜o 〈 , 〉 : R3 → R3, dada por:
〈v, w〉 := vTAw,
onde v, w ∈ R3 sa˜o vetores coluna, define um produto interno.
(b) Utilize o produto interno do item (a) para aplicar o processo de Gram-Schmidt
aos vetores v1 = (1, 0,−1)T , v2 = (0,−1, 1)T e v3 = (2,−1, 3)T .
2. Seja W ⊂ R3 o subespac¸o gerado pelo vetor v = (1, 2,−1). Seja P : R3 → R3
a projec¸a˜o ortogonal sobre W . Considerando o produto interno canoˆnico de R3,
determine:
(a) P em termos de coordenadas (isto e´, a expressa˜o de P (x, y, z) em termos de x,
y e z).
(b) Uma base para W⊥.
(c) A matriz A de P em relac¸a˜o a`s bases de sua prefereˆncia.
(d) Uma base ortonormal de R3, na qual a matriz A seja
A =
 1 0 00 0 0
0 0 0

3. No plano R2, considere as retas F1 e F2, definidas respectivamente pelas equac¸o˜es
y = ax e y = bx, com a 6= b. Em seguida:
(a) Exprima cada vetor v = (x, y) ∈ R2 como soma de um vetor em F1 e um vetor
em F2.
(b) Obtenha a matriz (em relac¸a˜o a` base canoˆnica) da projec¸a˜o P : R2 → R2, que
tem F1 como nu´cleo e F2 como imagem.
(c) Acha a matriz da reflexa˜o S : R2 → R2, em torno da reta F2 paralelamente a F1
Dica: Fac¸a uma figura!
4. Seja T : V → V um operador, cuja matriz em relac¸a˜o a` base canoˆnica e´ anti-sime´trica.
Prove que todo vetor v ∈ V e´ ortogonal a` sua imagem Tv. Se V = R2, prove que T e´
um mu´ltiplo αR da rotac¸a˜o de 90◦ R : R2 → R2.
1
5. Para quaisquer duas bases ortonormais α = {v1, v2, ..., vn} ⊂ V e β = {u1, u2, ..., un} ⊂
V , prove que existe um operador ortogonal T : V → V tal que Tvi = ui, i = 1, ..., n.
Se as duas bases sa˜o formadas pelos vetores
v1 =
1
3
(1, 2, 2), v2 =
1
3
(2, 1,−2), v3 = 1
3
(2,−2, 1) e
u1 =
1
7
(2, 3, 6), u2 =
1
7
(6, 2,−3), u3 = 1
7
(3,−6, 2) em R3,
determine a matriz de T na base canoˆnica de R3.
6. Seja V = R4 e W = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x + y − 2z + w = 0 e 2x − y − z − w = 0}.
Encontre a projec¸a˜o P : V → V de V sobre W . Encontre a reflexa˜o em torno de W .
7. (a) Seja P : R3 → R3 dada por:
P (x, y, z) :=
1
6
(5x+ y − 2z, x+ 5y + 2z,−2x+ 2y + 2z).
Mostre que P e´ uma projec¸a˜o e determine o subespac¸o de R3 sobre o qual ocorre
tal projec¸a˜o. Determine a reflexa˜o em torno de tal subespac¸o.
(b) Repita o item anterior para P : R4 → R4, dada por
P (x, y, z, t) :=
1
3
(x+ y − t, x+ 2y + z, y + z + t,−x+ z + 2t).
8. Sejam R1 e R2 operadores lineares representados pelas seguintes matrizes (em relac¸a˜o
a` base canoˆnica de R3):
[R1]
ε
ε =
1
3
 2 2 −1−1 2 2
2 −1 2
 e [R2]εε =
 1 0 00 35 −45
0 4
5
3
5

(a) Mostre que R1 e R2 sa˜o rotac¸o˜es (use argumentos teo´ricos, se preferir).
(b) Encontre o eixo e o aˆngulo de rotac¸a˜o de rotac¸a˜o de R1.
(c) Defina R = R1 ◦R2. Mostre que R e´ uma rotac¸a˜o e determine seu eixo e aˆngulo
de rotac¸a˜o.
(d) Repita o item anterior para R′ = R2 ◦R1.
(e) Sera´ que podemos sempre representar uma rotac¸a˜o em R3 atrave´s de com-
posic¸a˜o(o˜es) de certas rotac¸o˜es padro˜es? Dica: aˆngulos de Euler
9. Sejam P,R : R4 → R4 operadores lineares, dados pelas matrizes (em relac¸a˜o a` base
canoˆnica de R4):
[P ]εε =
1
7

6 −2 1 1
−2 3 2 2
1 2 6 −1
1 2 −1 6
 e [R]εε = 17

5 −4 2 2
−4 −1 4 4
2 4 5 −2
2 4 −2 5

Mostre que P e´ uma projec¸a˜o e determine o subespac¸o de R4 sobre o qual ocorre tal
projec¸a˜o. Mostre que R e´ a reflexa˜o em torno do mesmo subespac¸o.
2