lista8_2005_1

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Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de Matema´tica - CCEN - A´rea II
8a lista de exerc´ıcios A´lgebra Linear
Operadores Especiais 01/07/2005
Prof. Cla´udio Tadeu Cristino
1. Seja T : R3 → R3 um operador linear. Sejam W1 = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x− y− z = 0}
e W2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x− 2y + z = 0}.
(a) Determine T um operador injetivo tal que Im(T )|W1 =W2, ou seja, a imagem
de W1 por T e´ igual a W2.
(b) Determine a matriz de T na base canoˆnica. Encontre os autovalores e respec-
tivos autoespac¸os.
(c) Repita os item (a) e (b) exigindo agora que a transformac¸a˜o na˜o seja injetiva.
2. Sejam T1 e T2 operadores auto-adjuntos sobre o mesmo espac¸o vetorial. Se T2 ◦ T1
e´ diagonaliza´vel, prove que T1 ◦ T2 tambe´m e´ diagonaliza´vel.
3. (a) Encontre os autovalores e autovetores de
A =
 1 0 10 1 2
1 2 5

e verifique que os autovetores l.i. sa˜o ortogonais.
(b) Construa uma matriz P tal que P TAP e´ matriz diagonal.
(c) Prove que os autovetores associados a autovalores distintos de uma matriz
sime´trica sa˜o ortogonais.
4. Para quaisquer duas bases ortonormais B = {u1, ..., un} ⊂ V e C = {v1, ..., vn}, prove
que existe um operador ortogonal T : V → V tal que Tui = vi, para i = 1, ..., n. Se
V = R3 e as bases dadas sa˜o formadas pelos vetores
u1 =
1
3
(1, 2, 2), u2 =
1
3
(2, 1,−2), u3 = 13(2,−2, 1),
v1 =
1
7
(2, 3, 6), v2 =
1
7
(6, 2,−3), v3 = 17(3,−6, 2),
determine a matriz de T na base canoˆnica de R3
5. Classifique as transformac¸o˜es abaixo como auto-adjuntas, ortogonais ou nenhuma
das duas. Deˆ dois exemplos concretos de cada transformac¸a˜o.
(a) S : R3 → R3, reflexa˜o em torno de um subespac¸o W ⊂ R3 de dimensa˜o 2.
(b) R : R3 → R4, rotac¸a˜o em torno de um eixo gerado por um vetor v ∈ R3.
(c) P : R3 → R3, projec¸a˜o sobre o subespac¸o W gerado por v e w vetores l.i. de
R3.
Decida tambe´m para os seguintes operadores:
1
(d) D : P2 → P2, o operador derivada.
(e) I : P2 → P3, a transformac¸a˜o integral.
(f) T :M2×2 →M2×2, o operador que toma a transposta de uma matriz, ou seja,
T (A) = AT .
Os exerc´ıcios a seguir correspondem aos treˆs testes aplicados.
6. Seja T : R3 → R3, um operador linear, tal que Im(T ) = [(1, 1, 0), (0, 1, 1)]. Pede-se:
(a) Lei da transformac¸a˜o T .
(b) Matriz de T em relac¸a˜o a` base canoˆnica.
(c) Base e dimensa˜o do nu´cleo da transformac¸a˜o T .
(d) Base e dimensa˜o da imagem da transformac¸a˜o T .
(e) T e´ injetiva?
(f) T e´ sobrejetiva?
(g) Determine o polinoˆmio caracter´ıstico de T .
(h) Determine os autovalores de T .
(i) Determine os autovetores associados.
7. Sejam T1 : R3 → R4 e T2 : R4 → R3, tais que
T1(x,w, z) = (3x− 2y + z, x− y + 2z,−y + z, y + z),
e
T2(a, b, c, d) = (3a+ b,−2a− b− c+ d, a+ 2b+ c+ d).
Mostre que:
(i) Ker(T2) =
(
Im(T1)
)⊥
(ii) Im(T2) =
(
Ker(T1)
)⊥
(iii) Ker(T1) =
(
Im(T2)
)⊥
e
(iv) Im(T1) =
(
Ker(T2)
)⊥
8. Considere os vetores v1 = (1, 2, 2), v2 = (−2,−1, 2) e v3 = (2,−2, 1) de R3, munido
com o produto interno canoˆnico. Seja T : R3 → R3 o operador linear tal que
Tv1 = v2, Tv2 = −v1 e Tv3 = v3. Pede-se:
(a) A lei da transformac¸a˜o T .
(b) A matriz da transformac¸a˜o em relac¸a˜o a` base canoˆnica.
(c) As matrizes de mudanc¸a de base da canoˆnica para a base B = {v1, v2, v3}.
(d) Polinoˆmio caracter´ıstico de T .
(e) Autovalores e respectivos autoespac¸os de T .
(f) T e´ auto-adjunto? E´ ortogonal? Justifique.
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