UNIDADE 5

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Óptica Física 
e Geométrica
Responsável pelo Conteúdo:
Prof.ª M.ª Cláudia Adriana de Sousa
Revisão Textual:
Maria Cecília Andreo
Lentes Esféricas
Lentes Esféricas
 
• Identificar os tipos de lentes esféricas;
• Localizar os elementos geométricos das lentes;
• Traçar os raios principais;
• Interpretar diagramas de raios;
• Aplicar as equações das lentes em diferentes diagramas;
• Descrever e calcular a vergência de uma lente.
OBJETIVOS DE APRENDIZADO 
• Classificação das Lentes;
• Elementos Geométricos das Lentes;
• Raios Principais;
• Formação de Imagens;
• Equações das Lentes;
• Vergência de uma Lente.
UNIDADE Lentes Esféricas
Classificação das Lentes
As lentes estão presentes em vários objetos do nosso dia a dia, desde os óculos que 
você usa até modernos telescópios e microscópios, e também nos nossos olhos. As lentes 
podem formar imagens de tamanhos variados; direitas ou invertidas; reais ou virtuais, 
dependendo da distância do objeto até a lente e do tipo de lente. As lentes que vamos 
estudar nesta unidade são as lentes esféricas. Elas são compostas de dois dioptros, sendo 
que pelo menos um deles tem de ser esférico. O outro pode ser plano ou esférico.
Figura 1 – Formação de imagens em lentes
Fonte: Getty Images
As lentes esféricas são classificadas em convergentes ou divergentes, de acordo com 
o seu formato. No ar, as lentes que possuem as bordas mais espessas que o centro são 
divergentes, e as que possuem as bordas mais finas que o centro são convergentes. 
Quando um raio de luz, propagando-se no ar, penetra em uma lente ele sofre refração, 
e o mesmo ocorre quando ele sai da lente. As duas refrações podem mudar a direção 
desse raio de luz.
Lentes convergentes
Lente
biconvexa
Lente
plano-convexa
Côncavo-
convexa
Lentes divergentes
Lente
bicôncava
Lente
plano-côncava
Convexo-
côncava
Figura 2 – Lentes convergentes e divergentes
8
9
As lentes que vamos estudar nesta unidade têm uma espessura desprezível em com-
paração com os raios de curvatura e são chamadas de lentes delgadas.
Representamos as lentes convergentes, que têm as bordas mais finas que o centro, 
usando setas nas extremidades; e nas lentes divergentes a representação mostra que as 
bordas são mais espessas que o centro.
Lente convergente Lente divergente
E.p E.p0 0
Figura 3 – Representação das lentes convergente e divergente
Elementos Geométricos das Lentes
Focos das lentes esféricas (F)
Quando um feixe de raios paralelos incide em uma lente convergente, esses raios 
sofrem refração e desviam-se da sua trajetória, concentrando-se em um ponto. Esse 
ponto é chamado de ponto focal ou foco da lente. Nessas lentes, esse é um foco real e 
deve ter sinal positivo nas equações.
F
Figura 4 – Raios de luz paralelos convergem para o foco
Quando um feixe de raios paralelos incide em uma lente divergente, esses raios 
sofrem refração, divergindo de um ponto anterior à lente. Esse ponto, chamado de foco 
da lente, é um foco virtual, pois não são os raios de luz que se encontram nesse ponto, 
e sim o prolongamento deles. Esse foco é virtual e, nas equações das lentes, deve ter o 
sinal negativo.
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UNIDADE Lentes Esféricas
Figura 5 – Os prolongamentos dos raios de luz paralelos convergem para o foco
Fonte: efisica.if.usp.br
As lentes têm dois focos, pois a luz pode incidir por qualquer um dos lados da lente.
Centro óptico das lentes esféricas (O)
O centro óptico de uma lente esférica fica sobre o eixo principal, e quando um raio 
de luz passa por ele não sofre desvio.
Ponto antiprincipal (A) 
O ponto antiprincipal fica sobre o eixo principal e a uma distância do centro óptico 
correspondente a 2f.
A' F' F A
R
f
C.O.
 
Figura 6 – Elementos geométricos de uma lente
Distância focal (f)
A distância do foco, F, até o centro óptico, o, da lente é a distância focal dessa lente 
e seu valor corresponde à metade do raio de curvatura:
 
2
Rf =
10
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Raios Principais
Para que você possa construir a imagem de um objeto formada por uma lente es-
férica, é necessário que aprenda a direção de alguns raios luminosos. Esses raios, de 
simples traçado, são chamados de raios notáveis. São eles:
• Todo raio de luz que incide na lente passando pelo centro óptico não sofre desvio;
0 0
Figura 7 – Raios de luz passando pelo centro não sofrem desvio
• Todo raio de luz incidente que se propaga paralelo ao eixo principal refrata passando 
pelo foco (ou o seu prolongamento);
F F
Figura 8 – Raios paralelos ao eixo principal refratam na direção do foco
• Todo raio de luz (ou o seu prolongamento) que incide passando pelo foco refrata 
paralelo ao eixo principal.
F F
Figura 9 – Raios que incidem na direção do foco refratam paralelo ao eixo principal
Importante!
Para obter a imagem de um objeto, precisamos usar apenas dois desses raios luminosos, 
pois todos eles se encontram no mesmo ponto.
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UNIDADE Lentes Esféricas
Formação de Imagens
Agora você aprenderá a traçar os diagramas de imagens das lentes esféricas. A ima-
gem é formada no encontro dos raios refratados, ou dos prolongamentos deles, e pode 
ser classificada de acordo com as suas características em: real ou virtual, direita ou in-
vertida, maior, menor ou igual.
Começaremos pelos diagramas de imagens das lentes convergentes. As características 
da imagem dependem da posição do objeto em relação à lente, como veremos a seguir.
Formação de imagem na lente convergente
Primeiro caso – Objeto além do ponto antiprincipal
i
F'A' F A
o
Figura 10 – Objeto, o, à direita da lente e imagem, i, à esquerda
Características da imagem i: real, invertida e menor. A fotografia no link seguir re-
gistra essa situação:
Imagem real de uma vela colocada além do ponto antiprincipal. 
Disponível em: https://bit.ly/2QK54wz
Segundo caso – Objeto sobre o ponto antiprincipal
i
F'A' F
A
o
 
Figura 11 – Objeto, o, sobre o ponto antiprincipal A
12
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Características da imagem i: real, invertida e de mesmo tamanho que o objeto.
Terceiro caso – Objeto entre o ponto antiprincipal e o foco
i
F'A' F
A
o
Figura 12 – Objeto, o, entre o ponto antiprincipal e o foco
Características da imagem i: real, invertida e maior.
Quarto caso – Objeto sobre o foco principal
F'A' F
o
A
Figura 13 – Objeto sobre o foco
Quando o objeto é colocado no foco da lente convergente, os raios refratados são 
paralelos e a imagem é chamada de imprópria, pois será formada em um ponto muito 
distante. Dizemos que essa imagem está no infinito.
Quinto caso – Objeto entre o foco e o centro óptico
F'A' Fo
A
i
Figura 14 – Objeto, o, entre o foco e o centro óptico
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UNIDADE Lentes Esféricas
Características da imagem i: Virtual, direita e maior.
Você pode observar que a lente convergente pode formar imagens reais ou virtuais, 
maiores, menores ou do mesmo tamanho que o objeto e direitas ou invertidas, depen-
dendo da posição em que o objeto se encontra.
Formação de imagem na lente divergente
A lente divergente forma somente um tipo de imagem independentemente da posi-
ção em que o objeto se encontra. Essa imagem é sempre virtual, direita e menor, como 
podemos observar no diagrama:
A' F' o
o
F
i
A
Figura 15 – Nas lentes divergentes a imagem é sempre virtual, direita e menor
Equações das Lentes
A equação de Gauss ou dos pontos conjugados, que vimos anteriormente, também é 
aplicada às lentes esféricas e é válida tanto para as lentes convergentes quanto para as 
divergentes. Vamos rever essa equação:
,
1 1 1 
f p p
= +
Nessa equação, devemos usar a convenção de sinais:
• f: A distância focal tem sinal positivo para a lente convergente (foco real) e negativo 
para a lente divergente (foco virtual);
• p: A distância do objeto tem sempre sinal positivo, pois o objeto é sempre real:
• p’: A distância da imagem tem sinal positivo quando a imagem é real e sinal nega-
tivo quando a imagem é virtual.
Para descrevermos o tamanho da imagem, usamos a equação do aumento linear 
transversal, que nos dá a ampliação da imagem.
, piA
p o
= − =
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Nessa equação, o representa o tamanho do objeto, e i, o tamanho da imagem. A am-
pliação A é uma grandeza adimensional, ou seja, não tem unidade.
Importante!
Muitas vezes a distância da imagem é representada por di, e a distância do objeto, por do.
Analisamos os resultados da seguinte forma:
• Se o módulo (valor) de A for maior que 1, o tamanho da imagem será maior que 
o do objeto;
• Se o módulo de A for menor que 1, o tamanho da imagem será menor que o 
do objeto;
• Se o módulo de A for igual a 1, o tamanho da imagem será igual ao tamanho 
do objeto;
» Se A for positivo, a imagem será direita;
» Se A for negativo, a imagem será invertida.
Quando calculamos a ampliação, dividimos a distância da imagem, em centímetros, 
pela distância do objeto, também em centímetros. Essas unidades se cancelam e, 
por isso, a ampliação não tem unidade, ou seja, é uma grandeza adimensional.
A lupa é um instrumento óptico formado por apenas uma lente convergente, e para 
observarmos imagens ampliadas e direitas dos objetos devemos colocá-los entre o centro 
óptico e o foco dessa lente.
Figura 16 – A lupa
Fonte: Getty Images
Vamos considerar que a lente da figura anterior tenha 20 cm de distância focal, e o 
inseto está posicionado a 10 cm dessa lente. Nessas condições, qual será a ampliação 
da imagem do inseto?
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UNIDADE Lentes Esféricas
Para resolver os exercícios que envolvem cálculos, primeiro você deve anotar os dados:
• 20 f cm= 
• 10 od cm=
Substituindo na equação: 
1 1 1 
o if d d
= +
Teremos:
1 1 1 
20 10 id
= +
1 1 1 
20 10 id
− =
Tirando o mínimo múltiplo comum, MMC:
1 2 1 
20 id
−
=
1 1 
20 id
−
=
Multiplicando cruzado:
 20id− =
 20 id cm=−
Como obtemos id negativo, a imagem é virtual.
Calculando a ampliação:
 i
o
dA
d
=−
( ) 20 
 
10
A
−
=−
 2,0A =
O módulo da ampliação é igual a 2,0. Isso significa que a imagem é duas vezes maior 
que o objeto. O inseto observado através da lente tem o dobro do tamanho.
O sinal de A é positivo, a imagem é, então, direita.
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Pelas equações, chegamos às mesmas características da imagem: virtual, direita e maior.
Figura 17 – O olho mágico
Fonte: Getty Images
O olho mágico é um dispositivo de segurança instalado nas portas residenciais. Trata-se 
de uma lente divergente que possibilita ampliar o campo de visão, já que a imagem for-
mada é virtual, direita e menor que o objeto. Suponha que uma pessoa esteja a 60 cm de 
distância dessa lente que tem uma distância focal de 40 cm, calcule, nessas condições, 
a ampliação.
Anotando os dados:
• 40 f cm= − (essa distância focal tem sinal negativo, pois a lente é divergente).
• 60 p cm=
Substituindo na equação: 
,
1 1 1 
f p p
= +
Teremos:
,
1 1 1 
40 60 p
= +
−
,
1 1 1
40 60 p
− =
−
Tirando o mínimo múltiplo comum, MMC:
,
3 2 1
120 p
− −
=
,
5 1
120 p
−
=
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UNIDADE Lentes Esféricas
Multiplicando cruzado:
, 5 120p− =
, 120 
5
p = −
, 24 p cm= −
Como obtemos , p negativo, a imagem é virtual.
Calculando a ampliação:
, pA
p
=−
( )24 
 
60
A
−
=−
2 0,4
5
A = =
O módulo da ampliação é igual a 0,4; isso significa que a imagem é menor que o objeto. 
O sinal de A é positivo, a imagem é, então, direita.
Pelas equações, chegamos às mesmas características da imagem: virtual, direita e menor.
Vergência de uma Lente
Quando falamos das lentes que usamos em nossos óculos, usamos o “grau” como 
unidade de medida de uma grandeza física, chamada de vergência. A vergência de uma 
lente é dada pelo inverso da distância focal.
Definimos a vergência, V , como sendo:
1 V
f
=
Observando a definição de vergência, vemos que a sua unidade é o inverso do metro, 
ou seja, 
1
m
, que é chamada de dioptria. Então, quando popularmente dissermos que a lente 
tem 4 graus, devemos especificar a vergência dessa lente como 4 dioptrias, ou 4,0 di+ .
Importante!
Fique atento! A unidade de vergência, dioptria, é representada por di e, em algumas si-
tuações, a distância da imagem também pode aparecer com essa mesma representação. 
Não confunda!
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No exemplo anterior, 4,0 V di= + , podemos calcular a distância focal dessa lente 
usando a relação: 
1V
f
=
14,0 
f
=
4,0 1f =
1
4
f =
0,25 25 f m cm= =
Importante!
Calculamos a convergência de uma lente usando a distância focal em metros.
A vergência de uma lente também é chamada de convergência. Quando a lente é 
convergente tem sinal positivo; quando a lente é divergente tem sinal negativo.
Em síntese
As lentes esféricas são classificadas em convergentes ou divergentes, de acordo com 
o seu formato. No ar, as lentes que possuem as bordas mais espessas que o centro são 
divergentes, e as que possuem as bordas mais finas que o centro são convergentes.
Os principais elementos geométricos das lentes esféricas são o eixo principal, o centro 
óptico, o foco, a distância focal e o ponto antiprincipal.
Para que você possa construir a imagem de um objeto formada por uma lente esférica, 
é necessário que aprenda a direção de alguns raios luminosos. Esses raios, de simples 
traçado, são chamados de raios notáveis.
As características das imagens formadas por uma lente convergente dependem da posi-
ção do objeto em relação à lente.
A lente divergente forma somente um tipo de imagem independentemente da posição 
em que o objeto se encontra. Essa imagem é sempre virtual, direita e menor.
A equação de Gauss, ou dos pontos conjugados, também é aplicada a lentes esféricas e é 
válida tanto para as lentes convergentes quanto para as divergentes.
A vergência de uma lente é dada pelo inverso da distância focal e a sua unidade é cha-
mada de dioptria.
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UNIDADE Lentes Esféricas
Material complementar 
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Vídeos
Física em 3D – Lentes Convexas e Convergentes
https://youtu.be/CqoVwkqg8Sk
3D classroom: As lentes mais fáceis de aprender com as 3 dimensões
https://youtu.be/MARemj8nCcM
Lentes convergentes e divergentes
https://youtu.be/QONtGu9qIaQ
 Leitura
Com a possibilidade de ver o átomo, conheça os microscópios modernos
https://glo.bo/3fnvRJb
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Referências
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: Óptica e Física 
Moderna. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. v. 4. 
Sites Visitados
BRASIL ESCOLA. O Maior portal de Educação do Brasil. 2020. Disponível em: 
. Acesso em: 10/09/2020.
E-FÍSICA. Ensino de física on-line – USP. 2020. Disponível em: . Acesso em: 03/09/2020.
GLOBO.COM. 2020. Disponível em: . Acesso em: 13/09/2020.
JANDSON LEMOS. Vídeo (2 min). 2017. Disponível em: . Acesso em: 13/09/2020.
MUNDO EDUCAÇÃO. 2020. Disponível em: . Acesso em: 10/09/2020.
OS FUNDAMENTOS DA FÍSICA BLOGSPOT. 2020. Disponível em: . Acesso em: 10/09/2020.
PREPARA ENEM. 2020. Disponível em: . Acesso em: 10/092020.
TEIXEIRA, M. M. Lentes; Brasil Escola. Disponível em: . Acesso em: 03/09/2020.
XD EDUCATION. Vídeo (6 min). Física em 3D – Lentes convexas e convergentes. 
2017. Disponível em: . Acesso em: 13/09/2020.
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