Cônicas: Hipérbole

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8ºAula
Cônicas: Hipérbole 
Objetivos de aprendizagem
Ao término desta aula, vocês serão capazes de: 
• identificar uma cônica; 
• definir a equação reduzida e as equações paramétricas;
• encontrar a expressão do foco e o valor da excentricidade;
• compreender as informações descritas no gráfico.
Bem-vindos(as) à nossa oitava e última aula!
Nesta aula, estudaremos sobre cônicas e as suas relações 
com definições objetivas e exemplos seguidos de suas resoluções. 
Vejamos os objetivos de aprendizagem e as seções de 
estudo que pretendemos desenvolver com esta aula.
Bons estudos!
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1. Hipérbole 
Seções de estudo
2. Equações reduzidas
1 - Hipérbole 
Podemos definir a hipérbole como sendo um conjunto 
de todos pontos de um plano, sendo que a diferença das 
distâncias, em valor absoluto, entre dois pontos fixos desse 
plano é constante. 
Vamos exemplificar com uma situação em que tomemos 
um plano qualquer e nela dois pontos distintos, , sendo que a 
distancia e um número real qualquer, definido como sendo 
a, tal que .
Para que P pertença a hipérbole, 
Observe a figura:
Podemos perceber que a hipérbole são duas curvas, logo, 
o ponto p estará na hipérbole se, e somente se,
Para tentar esclarecer, observe a figura a seguir.
Considere um plano qualquer e nesse plano, indique dois 
pontos F1 e F2 com . Observe que o segmento 
F1F2 possui o ponto médio definido como C e raio c. Assuma 
um valor para a, sendo que , marque no segmento 
F1F2, a partir do centro C, outros dois pontos A1 e A2 sendo 
que . Logo, depois de traçar os 
pontos, vamos ligar por meio de uma corda de forma que 
fique perpendicular ao diâmetro F1F2, as extremidades das 
cordas representam os vértices de um retângulo denominado 
MNPQ que está inscrito na circunferência. Logo em seguida, 
foi indicada no retângulo as duas diagonais, NQ e MP. 
Formando, assim, a hipérbole.
1.2 - Elementos 
Existe alguns elementos importantes a saber para que 
possa compreender a hipérbole. 
• Foco: são os pontos definidos como F1 e F2;
• Distância focal: é a distância determinada por 2c;
• Centro: é o ponto médio C dos segmentos F1 e F2;
• Vértices: são os pontos A1 e A2;
• Eixo real ou transverso: é a distância entre os pontos 
A1 e A2 denominado de 2a;
• Eixo imaginário ou não transverso: é o comprimento 
entre os pontos B1 e B2 denominado 2b, sendo que 
ele forma um ângulo de 90º com o segmento A1A2, 
em C.
• Assíntotas: são as diagonais r e s; 
• Excentricidade: é a abertura da hipérbole. 
Quando admitimos um valor c fixo e um valor cada vez 
menor para a, teremos um e cada vez maior, isso significa que 
a hipérbole terá seus ramos/abertura cada vez maior. 
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Existem dois casos que iremos estudar. Ambos terão 
centro C(0,0).
1º caso: o eixo real está sobre o eixo x
Vamos admitir dois pontos quaisquer na hipérbole, P(x, 
y) e foco . Pela definição, temos: 
Logo, podemos representar de outra maneira:
De forma análoga ao procedimento que foi utilizado para 
encontrar a equação reduzida da elipse, chegamos a equação:
Logo, temos a equação reduzida da hipérbole.
2º caso: o eixo real está sobre o eixo dos y
 Vamos admitir dois pontos quaisquer na hipérbole, P(x, 
y) e foco . De forma análoga ao anterior, 
encontramos a expressão, ou seja, a equação reduzida da 
hipérbole. 
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Observe na figura onde estão localizados os focos e as 
distancias a e c. 
Exemplo 1: Considere uma hipérbole contida no eixo 
x e centro em C. Encontre a equação reduzida da hipérbole. 
Resolução: Para encontrar a equação reduzida da 
hipérbole, devemos encontrar e compreender as informações 
descritas na figura anterior.
Logo, 
foco: 
Vértices: 
Eixos: 
Assim, 
Logo, temos a equação reduzida da hipérbole.
Exemplo 2: encontre as informações pedidas da 
hipérbole .
a. A medida do semieixo.
Resolução: 
Para encontra a medida do semieixo, basta encontrar a 
equação reduzida, logo:
Esse tipo de hipérbole está no eixo real sobre Oy.
Assim, temos que: 
b. Gráfico
c. Vértices
Resolução: 
Os vértice são 
d. Foco
Resolução:
Para encontrar o foco, vamos utilizar o teorema de 
Pitágoras e encontrar o valor de c.
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Logo, os focos serão, 
e. Excentricidade 
Resolução:
Basta substituir os valores na expressão,
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Vamos considerar uma hipérbole de equação: 
Também podemos representá-la de outra forma:
Quando representamos dessa maneira, fica claro 
compreender que, estamos trabalhando com a diferença de 
quadrados que resulta em 1. Existem outras relações em se 
trabalha com a diferença de quadrados, tais como,
Vamos trabalhar com essa expressão para fazer um 
paralelo com a equação da hipérbole. Assim, vamos dividir 
ambos os termos por .
Logo, pela identidade trigonométrica, temos:
Dessa forma, confrontando esta equação com a da 
hipérbole, concluímos que: 
Sendo que , assim, o sistema fica:
Então, encontramos a equação paramétrica da hipérbole. 
Exemplo: obtenha a equação paramétrica da hipérbole.
Resolução: 
Primeiro devemos encontrar a equação reduzida da 
hipérbole.
 
Portanto, 
a = 3 e b = 2
logo, 
Essas são as equações paramétricas de uma hipérbole.
Retomando a aula
1 - Hipérbole 
Nesta seção, buscamos apresentar de forma simples 
e objetiva o estudo sobre a hipérbole. Ainda abordamos a 
definição e os elementos de uma hipérbole. 
2 - Equações reduzidas
Abordamos a definição, a estrutura e suas relações 
de maneiras simples para encontrar equações que possa 
representar uma hipérbole. 
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