Para que os vetores \( \mathbf{u} = (2, 2, -1) \), \( \mathbf{v} = (3, 4, 2) \) e \( \mathbf{w} = (a, 2, 3) \) sejam coplanares, o determinante da matriz formada por esses vetores deve ser igual a zero. A matriz é: \[ \begin{vmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 3 & 4 & 2 \\ a & 2 & 3 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante, temos: \[ D = 2 \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ a & 3 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ a & 2 \end{vmatrix} \] Calculando os determinantes menores: 1. \( \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = (4 \cdot 3) - (2 \cdot 2) = 12 - 4 = 8 \) 2. \( \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ a & 3 \end{vmatrix} = (3 \cdot 3) - (2 \cdot a) = 9 - 2a \) 3. \( \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ a & 2 \end{vmatrix} = (3 \cdot 2) - (4 \cdot a) = 6 - 4a \) Substituindo na expressão do determinante: \[ D = 2(8) - 2(9 - 2a) - (6 - 4a) \] Simplificando: \[ D = 16 - 18 + 4a - 6 + 4a = 8a - 8 \] Para que os vetores sejam coplanares, devemos ter \( D = 0 \): \[ 8a - 8 = 0 \] Resolvendo para \( a \): \[ 8a = 8 \\ a = 1 \] Portanto, o valor de \( a \) para que os vetores sejam coplanares é \( a = 1 \).