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Funções de Várias Variáveis - Derivadas Parciais Derivadas Parciais Seja f: D C R2 →R uma função de duas variáveis e (x0,y0) um ponto do domínio de f. Fixado y0 temos que f(x, y0) é uma função de uma variável. Exemplo: f(x,y)= 7x2+3y3+5xy. Fixemos y=2. Logo g(x)=f(x,2)= 7x2+24+10x Da mesma forma, fixado x0 temos que h(y)= f(x0,y) é uma função de uma variável onde Pela definição de derivada temos E assim, a equação 1 se torna: DEFINIÇÃO NOTAÇÕES PARA DERIVADAS PARCIAIS REGRA PARA DETERMINAR AS DERIVADAS PARCIAIS DE z= f(x,y) INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS Lembremo-nos que a equação z=f(x,y) representa uma superfície S. Se f(a,b)=c então o ponto (a,b,c) pertence a superfície S. Fixando y=b, restringimos nossa atenção a curva C1, na qual o plano vertical y=b intercepta S. Da mesma forma, o plano vertical x=a intercepta S na curva C2. As curvas C1 e C2 passam pelo ponto P. Observe que a curva C1 é o gráfico da função g(x)=f(x,b), de modo que a inclinação da tangente T1 em P é g’(a)=fx(a,b). A curva C2 é o gráfico da função h(y)=f(a,y), de modo que a inclinação da tangente T1 em P é h’(a)=fy(a,b). Então as derivadas parciais fx(a,b) e fy(a,b) podem ser interpretadas geometricamente como as inclinações das retas tangentes em P(a,b,c) aos cortes C1 e C2 de S nos planos y=b e x=a. Exemplo 8: OBSERVAÇÃO 9 FUNÇÕES DE MAIS DE DUAS VARIÁVEIS Derivadas Parciais de Ordem Superior TEOREMA: TEOREMA DE CLAIRAUT (ou TEOREMA DE SCHWARZ) 15 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS Planos Tangentes e Aproximações Lineares em que A, B e C são as coordenadas do vetor normal ao plano Plano Tangente Exemplo 1: APROXIMAÇÃO LINEAR TAREFA DIFERENCIABILIDADE Já discutimos o incremento de uma função de uma única variável. Lembremos que se f for uma função derivável de x e y=f(x) Se f é diferenciável em a: Isso quer dizer TEOREMA TEOREMA TEOREMA Do Cálculo de uma variável sabemos que: "Se uma função f:R→R é diferenciável em um ponto x0 do seu domínio então f é contínua no ponto x0." No Cálculo de Várias Variáveis isso nem sempre é verdade "Se uma função f:DR2→R tem derivadas parciais em (x0,y0) não implica que f é contínua em (x0,y0)." OBS 2: Observe que para uma função de uma variávável a existência da derivada e a diferenciabilidade são equivalentes, o que NÃO acontece para funções de DUAS OU MAIS VARIÁVEIS. Por esse motivo, não é rigorosamente correto usar o termo “diferenciar” no lugar de “derivar”, embora isso seja comum. OBS 1: Uma função f:DR2→R é de classe C1 se as derivadas parciais fx e fy existem e são contínuas em D. Ou seja, se f é de classe C1 então f é diferenciável. DIFERENCIAIS [Compare com a equação do diferencial das funções de uma variável (slide anterior).] Algumas vezes a notação df é usada no lugar de dz. (*) (*) dz TAREFA: FUNÇÕES DE TRÊS OU MAIS VARIÁVEIS Regra da Cadeia Para as funções de várias variáveis, a Regra da Cadeia tem muitas versões, cada uma delas fornecendo uma regra de derivação de uma função composta.Estamos admitindo que f seja diferenciável, isto é que fx e fy sejam contínuas. REGRA DA CADEIA (CASO I) TEOREMA 1: de diferenciabilidade temos 38 OBS: dado acima é chamado de derivada total de z em relação a t. anterior obtemos: REGRA DA CADEIA (CASO II) TEOREMA 2: (ou diagrama de árvore). TEOREMA 3: REGRA DA CADEIA (VERSÃO GERAL) Funções Implícitas - Derivação Suponhamos que a equação da forma F(x,y) = 0 defina y implicitamente como uma função diferenciável de x, ou seja, y=f(x), onde F(x,y(x))=0. f(x) 4 y2 - 2yx + x2 - 1=0 a seguir A funcao f(x,y) = sen x – sen y não define y como função de x nem vice-versa. Vamos assumir . Vamos ver como encontrar a derivada dessa função y=f(x) dada implicitamente. Considere novamente a equação da forma F(x,y)=0 que define y implicitamente como uma função diferenciável de x, isto é F(x,f(x))=0. Se Fé diferenciável, podemos aplicar o Caso I da Regra da Cadeia para derivar ambos os lados da equação F(x,y)=0 com relação a x. Como x e y são ambas funções de x, obtemos: Mas e Portanto essa equação de torna abaixo acima. Por exemplo, agora os exercícios 45-47 da pag. 846 podem ser resolvidos por essas fórmulas. Derivada Direcional A Figura ao lado mostra uma mapa de contorno da função temperatura para os estados da Califórnia e Nevada às 15hs em um dia de Outubro. A derivada parcial Tx em um local como Reno, é a taxa de variação da temperatura com relação à distância se nos movemos para o leste a partir de Reno. Ty é a taxa de variação da temperatura com relação à distância se nos movemos para o norte. E se quisermos saber a taxa de variação da temperatura quando viajamos para sudoeste ou para alguma outra direção?? Veremos agora a DERIVADA DIRECIONAL que nos permite encontrar a taxa de variação de uma função de duas ou mais variáveis em qualquer direção. O plano vertical que passa por P na direção de u intercepta S em uma curva C. A inclinação da reta tangente T em C é a taxa de variação de z na direção de u. DEFINIÇÃO TEOREMA EXEMPLO 1: VETOR GRADIENTE O primeiro vetor no produto escalar ocorre não somente em derivadas direcionais, mas também em muitas outras situações e por isso ele recebe um nome especial: “o vetor gradiente de f”. Com a notação de gradiente podemos reescrever a expressão para derivada direcional dada no TEOREMA como: EXEMPLO 3: FUNÇÕES DE TRÊS OU MAIS VARIÁVEIS ou MAXIMIZANDO A DERIVADA DIRECIONAL Este é um dos resultados mais importantes dessa teoria!! TEOREMA: Ou seja, a maior variação de f ocorre na direção do vetor gradiente, isto é, o maior crescimento de f ocorre na direção do gradiente. Logo a taxa máxima de variação ocorre no gradiente de f aplicado no ponto de partida. “ESTANDO EM UM PONTO P(x0,y0) A DIREÇÃO E O SENTIDO EM QUE F CRESCE MAIS RAPIDAMENTE É A DO VETOR GRADIENTE. Dem: Temos EXEMPLO 5: FUNÇÕES VETORIAIS E CURVAS ESPACIAIS (SEÇÃO 13.1 – STEWART) Essas equações PLANOS TANGENTES ÀS SUPERFÍCIES DE NÍVEL (*) (*) (**) (**) (***) Assim OBS: Note que o vetor gradiente é perpendicular à superfície de nível. suas equações simétricas são Logo a equação do plano tangente para superfícies de funções de três variáveis, se torna: que é a equação do plano tangente já vista por nós. EXEMPLO: IMPORTÂNCIA DO VETOR GRADIENTE Parabolóide Hiperbólico Valores Máximo e Mínimo Olhe os picos e os vales do gráfico da f mostrado na figura. Existem dois pontos da forma (a,b) nos quais f tem um máximo local, ou seja, onde f(a,b) é maior que os valores próximos de f(x,y). O maior destes valores é o máximo absoluto. Existem dois pontos da forma (a,b) nos quais f tem um mínimo local, ou seja, onde f(a,b) é menor que os valores próximos de f(x,y). O menor destes valores é o máximo absoluto. máximo absoluto máximo local mínimo local mínimo absoluto 79 DEFINIÇÃO 1) 2) Uma função de duas variáveis tem um mínimo local em (a,b) se quando (x,y) está próximo de (a,b). O número f(a,b) é chamado valor mínimo local. 3) das definições dadas em 1) e 2) OBS: TEOREMA: OBSERVAÇÕES: 1) 2) EXEMPLO 1: Parabolóide Elíptico EXEMPLO 2: Perto da origem o gráfico tem o formato de uma sela e por isso (0,0) é chamado ponto de sela. Teste da Derivada Segunda OBS 1: OBS 2: OBS 3: EXEMPLO 3: Valores Máximo e Mínimo Absolutos Conjuntos Fechados Conjuntos que não são fechados Teorema do Valor Extremo para as Funções de Duas Variáveis Para achar os pontos extremos, cuja existência é dada pelo Teorema acima observamos que se f tem um valor extremo em (x1,y1), então (x1,y1) ou é um ponto crítico de f ou um ponto de fronteira de D. Portanto temos a seguinte extensão do Método dos Intervalos Fechados. EXEMPLO 6: EXEMPLO 7: TAREFA Multiplicadores de Lagrange Em um exemplo feito anteriormente maximizamos a função volume V=xyz sujeita à restrição 2xz+2yz+xy=12. Será apresentado agora o método de Lagrange para maximizar uma função genérica f(x,y,z) sujeita a uma restrição (ou vínculo) da forma g(x,y,z). Problemas dessa forma são chamados de problema com extremos com restrições (ou condicionados ou vinculados). Um problema de encontrar os extremos de uma função que não apresenta restrições é chamado de problema com extremos livres. Vamos tentar determinar os valores extremos de f(x,y) sujeita a uma restrição da forma g(x,y)=k. Em outras palavras, queremos achar os valores extremos de f(x,y) quando o ponto (x,y) pertence a curva de nível g(x,y)=k. Maximizar f(x,y) sujeita a g(x,y)=k é achar qual o valor de c tal que a curva de nível f(x,y)=c intercepte g(x,y)=k. Isso acontece quando essas duas curvas se tocam, ou seja, quando essas curvas tem uma reta tangente em comum, caso contrário poderíamos aumentar o valor de c. Isso significa que as retas normais ao ponto (x0,y0) onde as duas curvas se tocam devem ser as mesmas. Logo, os vetores gradientes são paralelos, ou seja, para algum escalar EXEMPLO 2: EXEMPLO 3: DUAS RESTRIÇÕES vínculos essa EXEMPLO 5: Obtenção de uma função a partir de seu gradiente e diferencial exata (Leithold – Vol 2 – Seção 17.6) O primeiro objetivo desta seção é encontrar a função f se for conhecido seu gradiente. Isto é, temos e queremos encontrar f(x,y). . Vejamos a seguir uma condição para que um vetor defina um vetor gradiente de uma função f. TEOREMA 1: DEFINIÇÃO 1: TEOREMA 2: Este Teorema pode ser estendido para funções de três variáveis. TEOREMA 3: TEOREMA 4:
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