Integração numérica em Python

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Integração numérica em Python
Prof. David Fernandes Cruz Moura
Descrição
Emprego de modelos matemáticos para resolução de problemas
clássicos em Engenharia por meio de integração numérica.
Propósito
A aplicação de modelos matemáticos para resolução de integrais é uma
ferramenta fundamental para a compreensão de situações clássicas em
Engenharia, como a análise de ondas de choque em explosões, a análise
de resistência e tenacidade de materiais, taxas de geração de gás
carbônico e de consumo de oxigênio, entre outras situações-problema
da Engenharia.
Preparação
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A aplicação de modelos matemáticos para resolução de integrais é uma
ferramenta fundamental para a compreensão de situações clássicas em
Engenharia, como a análise de ondas de choque em explosões, a análise
de resistência e tenacidade de materiais, taxas de geração de gás
carbônico e de consumo de oxigênio, entre outras situações-problema
da Engenharia.
Objetivos
Módulo 1
Métodos de interpolação (Newton-Cotes:
retângulos)
Aplicar o método de interpolação de Newton-Cotes, Método dos
Retângulos, por meio da implementação computacional em Python.
Módulo 2
Métodos de interpolação (Newton-Cotes:
trapézios)
Aplicar o método de interpolação de Newton-Cotes, Método dos
Trapézios, por meio da implementação computacional em Python.
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Módulo 3
Métodos de interpolação (Newton-Cotes:
Regras de Simpson)
Aplicar o método de interpolação de Newton-Cotes, Método de
Simpson, por meio da implementação computacional em Python.
Módulo 4
Métodos de extrapolação (Romberg)
Aplicar o método de extrapolação de Romberg, por meio da
implementação computacional em Python.
Neste conteúdo, veremos formas de emprego de modelos
matemáticos para solucionar um problema clássico em Engenharia
– a resolução numérica de integrais definidas.
São modelos matemáticos para resolução de integrais definidas.
Ondas de choque em explosões, análise de resistência e
tenacidade de materiais, taxas de geração de gás carbônico e de
consumo de oxigênio são alguns problemas do contexto da
Engenharia, nos quais podem ser aplicados tais modelos.
Dessa maneira, conheceremos os métodos mais tradicionais de
Introdução
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1 - Métodos de interpolação (Newton-Cotes: retângulos)
Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar o método de interpolação de Newton-Cotes,
Método dos Retângulos, por meio da implementação computacional em Python.
Dessa maneira, conheceremos os métodos mais tradicionais de
resolução de integrais definidas com o emprego de técnicas
numéricas. Inicialmente, estudaremos os métodos de interpolação
numérica para integração, empregando diversas variantes do
método de Newton-Cotes (retângulos, trapézios e de Simpson). Em
seguida, estudaremos o método de extrapolação numérica, como
foco na técnica de Romberg. Em ambos os casos, aplicaremos os
métodos estudados, por meio da implementação computacional de
programas em Python.
Vamos lá?
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Introdução ao Método dos Retângulos
Segundo Moura (2017), a integral definida apresenta a seguinte notação:
Assim, temos que o resultado da expressão indicada é equivalente à
área definida sob a curva f(x) no plano cartesiano, entre os pontos a e b.
Veja a região hachurada da imagem:
Gráfico: Integral Definida de f(x) no intervalo entre a e b.
Extraído de: Moura, 2017.
Para prosseguirmos, vamos relembrar o conceito de
integral?
Pois bem: a integral definida e sua aplicação são muito úteis em
diversas áreas, como Física, Engenharia e Economia, entre outras.
No entanto, o cálculo matemático da integral definida nem sempre é
fácil. Por vezes, a função é difícil de integrar ou de impossível
∫
b
a
f(x)dx
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fácil. Por vezes, a função é difícil de integrar ou de impossível
integração. Mesmo quando o resultado é conhecido, há situações em
que o cálculo somente pode ser obtido de modo aproximado.
Resumindo
Existem diversas situações que mostram que nem sempre é possível
calcular a integral de uma função f(x) em um intervalo [a,b]. Nesses
casos, aplicam-se métodos numéricos de integração – os denominados
métodos de integração numérica.
Qual é o princípio fundamental para esses métodos de
integração numérica?
A resposta é simples: a lembrança de que a integral de uma função
equivale a uma área. Com base nesse princípio, foram criados diversos
métodos que dividem a área a ser calculada em vários elementos, de
pequena dimensão.
Comentário
Conforme exposto em Moura (2017), a soma das pequenas partes
resulta na área total equivalente à integral que se deseja calcular – a
menos de erros de aproximação inerentes ao modelo utilizado. Quanto
menor for o intervalo de integração de cada uma dessas partes, menor o
erro; no entanto, isso implica em aumento da quantidade necessária de
operações – ou seja, um aumento da ordem de complexidade do
algoritmo.
Logo, temos um dilema: complexidade ou precisão? Para resolver a
integral e permitir que você chegue a uma conclusão, temos diversos
métodos em que a função f(x) passa a ser aproximada por funções
polinomiais de grau cada vez maior: 0 (função constante), 1 (função
linear), 2 (função quadrática) e assim por diante.
De acordo com Moura (2017), o método básico envolvido nessa
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aproximação é a denominada quadratura numérica. Esse método
consiste em aproximar a integral definida por uma expressão do tipo:
,
Em que os valores são reais (peso da função) e
.
Atenção!
É importante sabermos desde já que o emprego de funções de maior
grau acaba promovendo melhor captura do comportamento da função a
ser integrada. Dessa maneira, conseguimos reduzir a quantidade de
operações matemáticas requeridas, bem como os erros de aproximação
já citados.
Método dos Retângulos
O método que veremos neste módulo é o Método dos Retângulos.
Nesse método, o princípio básico para fazer a aproximação da integral
definida por é dividir o intervalo de integração [a,b] em h
partes iguais.
Dessa maneira, a integral é calculada de acordo com a expressão
apresentada a seguir:
Método dos Retângulos
∑
n
i=1
α
i
f (x
i
)
α
i
∀x
i
∈ R ⇒ x
i
∈ [a, b]
∫
b
a
f(x)dx
n
∑
i=1
α
i
f (x
i
) = h
n
∑
i=1
f (
x
i
+ x
i+1
2
)
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Veja só como funciona essa técnica, analisando a imagem apresentada
a seguir:
Gráfico: Integral como soma de 5 subáreas (retângulos azuis) – Método dos Retângulos.
Extraído de: Moura, 2017.
Nesse exemplo, nosso objetivo é calcular a integral dada por
 (em que f(x) é a linha indicada em
vermelho).
Para fazer essa operação, dividimos o intervalo de integração [2,3] em 5
intervalos iguais, indicados na cor azul. Naturalmente, como o intervalo
de integração tem tamanho 1, cada intervalo apresenta dimensão h,
dada por:
Em cada um dos 5 intervalos, adota-se como referência o valor da
função no ponto médio de cada intervalo, em que o dito ponto médio é
dado por .
Atenção!
∫
3
2
f(x)dx = ∫
3
2
x
2
+ cos(x)dx
h =
3 − 2
5
= 0, 2
x
i
+x
i+1
2
=
x
i
+(x
i
+h)
2
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Repare que cada ponto corresponde ao valor de seu antecessor
, adicionado do tamanho de cada intervalo (h).
Dessa maneira, percebemos que os cálculos ficam como está exposto
na tabela a seguir:
Intervalo Limite inferior Limite superior
1 2 2.2
2 2,2 2,4
3 2,4 2,6
4 2,6 2,8
5 2,8 3,0
Feitos esses cálculos, conseguimos chegar a uma aproximação para a
integral de , dada por:
Comentário
Como já era esperado, o resultado obtido apresenta uma diferença em
relação ao valor exato da integral proposta que conseguimos ao realizar
(x
i+1
)
(x
i
)
f(x) = x
2
+ cos(x)
n
∑
i=1
α
i
f (x
i
) = h
n
∑
i=1
f (
x
i
+ x
i+1
2
) = 0, 2
5
∑
i=1
f (
(2 + i ∗ 0, 2) + [2 + (i − 1) ∗
2
→ 0, 2 ∗ 3, 91 + 0, 2 ∗ 4, 62 + 0, 2 ∗ 5, 45 + 0, 2 ∗ 6, 39 + 0, 2 ∗ 7, 44
= 0, 2 ∗ (3, 91 + 4, 62 + 5, 45 + 6, 39 + 7, 44) = 5, 562
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relação ao valor exato da integral proposta que conseguimos ao realizar
a operação dita analítica (5,5652).
Continuando nosso estudo, aplicaremos os conhecimentos obtidos na
resolução de algumas integrais, de acordo com os métodos aprendidos.
Vamos lá?
Para tal, vamos calcular a integral de , no intervalo de 0 a 1,
empregando o método dos retângulos. Como já vimos, a resolução do
problema de integração numérica em um intervalo definido requer que o
enunciado forneça alguns elementos importantes, como:
• A função a ser integrada;
• O valor inicial do intervalo de integração;
• O valor final do intervalo de integração;
• A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo).
Neste exemplo, temos que:
• A função a ser integrada é ;
• O valor inicial do intervalo de integração é 0;
• O valor final do intervalo de integração é 1.
Quanto ao intervalo de integração, vamos fazer de algumas maneiras
diferentes, para que você veja o comportamento de cada método, com
5, 10 e 20 intervalos, considerando 2 casas decimais.
Assim, aplicando o Método dos Retângulos com 5 intervalos, temos:
X x2 – x + 2 f(x).Δx
0 2 0,4
0,2 1,84 0,37
x
2
− x + 2
f(x) = x
2
− x + 2
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0,4 1,76 0,35
0,6 1,76 0,35
0,8 1,84 0,37
Desse modo, fazendo a soma dos elementos na coluna da direita, temos
0,4 + 0,37 + 0,35 + 0,35 + 0,37 = 1,84.
Já para o mesmo método, mas com 10 intervalos, temos os valores
intermediários apresentados a seguir:
X x2 – x + 2 f(x).Δx
0 2 0,2
0,1 1,91 0,19
0,2 1,84 0,18
0,3 1,79 0,18
0,4 1,76 0,18
0,5 1,75 0,17
0,6 1,76 0,18
0,7 1,79 0,18
0,8 1,84 0,18
0,9 1,91 0,19
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Agora, fazendo a soma dos elementos na coluna da direita, temos: 0,2 +
0,19 + 0,18 + 0,18 + 0,18 + 0,17 + 0,18 + 0,18 + 0,18 + 0,19 = 1,83.
Por fim, ainda com o Método dos Retângulos, mas com 20 intervalos,
temos os valores intermediários apresentados a seguir:
X x2 – x + 2 f(x).Δx
0 2 0,10
0,05 1,95 0,10
0,1 1,91 0,10
0,15 1,87 0,09
0,2 1,84 0,09
0,25 1,81 0,09
0,3 1,79 0,09
0,35 1,79 0,09
0,4 1,76 0,09
0,45 1,75 0,09
0,5 1,75 0,09
0,55 1,75 0,09
0,6 1,76 0,09
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0,6 1,76 0,09
0,65 1,77 0,09
0,7 1,79 0,09
0,75 1,81 0,09
0,8 1,84 0,09
0,85 1,87 0,09
0,9 1,91 0,10
0,95 1,95 0,10
Com essa configuração, fazendo a soma dos elementos na coluna da
direita, temos: 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,09 + 0,09 + 0,09 + 0,09 + 0,09 + 0,09 +
0,09 + 0,09 + 0,09 + 0,09 + 0,09 + 0,09 + 0,09 + 0,09 + 0,09 + 0,1 + 0,1 +
0,1 = 1,83.
Prosseguindo na aplicação dos conhecimentos obtidos para resolução
numérica de integrais definidas, vamos calcular a integral de
 no intervalo de 0 a 1, empregando o Método dos
Retângulos.
Como já vimos, a resolução do problema de integração numérica em um
intervalo definido requer que o enunciado forneça alguns elementos
importantes, como:
1. A função a ser integrada;
2. O valor inicial do intervalo de integração;
3. O valor final do intervalo de integração;
4. A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo).
Neste exemplo, temos que:
cos(x) − 3. sen(x)
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Neste exemplo, temos que:
1. A função a ser integrada é ;
2. O valor inicial do intervalo de integração é 0;
3. O valor final do intervalo de integração é 1.
Quanto ao intervalo de integração, vamos fazer de algumas maneiras
diferentes, para que você veja o comportamento de cada método, com
5, 10 e 20 intervalos, considerando 2 casas decimais.
Assim, aplicando o Método dos Retângulos com 5 intervalos, temos:
X cos(x) – 3.sen(x) f(x).Δx
0 1 0,2
0,2 0,38 0,08
0,4 -0,25 -0,05
0,6 -0,87 -0,17
0,8 -1,46 -0,29
Desse modo, fazendo a soma dos elementos na coluna da direita, temos
0,2 + 0,08 + (-0,05) + (-0,17) + (-0,29) = -0,24.
Já para o mesmo método, mas com 10 intervalos, temos os valores
intermediários apresentados a seguir:
X cos(x) – 3.sen(x) f(x).Δx
0 1 0,1
f(x) = cos(x) − 3. sen(x)
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0,1 0,70 0,07
0,2 0,38 0,04
0,3 0,07 0,01
0,4 -0,25 -0,02
0,5 -0,56 -0,06
0,6 -0,87 -0,09
0,7 -1,17 -0,12
0,8 -1,46 -0,15
0,9 -1,73 -0,17
Agora, fazendo a soma dos elementos na coluna da direita, temos: 0,1 +
0,07 + 0,04 + 0,01 + (-0,02) + (-0,06) + (-0,09) + (-0,12) + (-0,15) + (-0,17) =
-0,39.
Por fim, ainda com o Método dos Retângulos, mas com 20 intervalos,
temos os valores intermediários apresentados a seguir:
X cos(x) – 3.sen(x) f(x).Δx
0 1 0,05
0,05 0,85 0,04
0,1 0,70 0,03
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0,15 0,54 0,03
0,2 0,38 0,02
0,25 0,23 0,01
0,3 0,07 0,00
0,35 -0,09 -0,00
0,4 -0,25 -0,01
0,45 -0,40 -0,02
0,5 -0,56 -0,03
0,55 -0,72 -0,04
0,6 -0,87 -0,04
0,65 -1,02 -0,05
0,7 -1,17 -0,06
0,75 -1,31 -0,07
0,8 -1,46 -0,07
0,85 -1,53 -0,08
0,9 -1,73 -0,09
0,95 -1,86 -0,09
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Com essa configuração, fazendo a soma dos elementos na coluna da
direita, temos: 0,05 + 0,04 + 0,03 + 0,03 + 0,02 + 0,01 + 0,00 + (-0,00) +
(-0,01) + (-0,02) + (-0,03) + (-0,04) + (-0,04) + (-0,05) + (-0,06) + (-0,07) +
(-0,07) + (-0,08) + (-0,09) + (-0,09) = -0,46.
Implementação do Método dos
Retângulos em Python
Vamos ver um exemplo de integração em Python? Agora, nós
calcularemos a integral da função no intervalo [2, 3]. Em Python,
podemos implementar o Método dos Retângulos para efetuar essa
aproximação da seguinte maneira:
Python 
x
2
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Resolução de exercícios com o
Python
Neste bate-papo, serão resolvidos exercícios com o método de
interpolação (Retângulos) utilizando o Python.

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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Calcule o valor de . Para tal, utilize o Método dos
Retângulos, dividindo o intervalo de integração em 4 partes:
∫
2
0
sen(x)dx
A 1,43101
B 1,53101
C 1,63101
D 1,73101
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Parabéns! A alternativa A está correta.
Comoestudamos, a resolução de uma integral definida requer que
o enunciado forneça alguns elementos importantes, como: a função
propriamente dita a ser integrada; o limite inferior de integração; o
limite superior de integração; a quantidade de intervalos (ou o
tamanho de cada intervalo); e o método a ser utilizado.
Neste exemplo, temos que:
- A função propriamente dita a ser integrada é ;
- O limite inferior de integração é 0;
- O limite superior de integração é 2;
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo) é
4; e
- O método a ser utilizado é de Interpolação Numérica dos
Retângulos.
Aplicando os conceitos ensinados acerca desse método, temos:
N x Y
0 ¼ sen(¼) = 0,24740
1 ¾ sen(¾) = 0,68164
2 5/4 sen (5/4) = 0,94898
D 1,73101
E 1,83101
f(x) = sen(x)
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3 7/4 sen (7/4) = 0,98398
Para obter o valor de I, basta somar os valores indicados na coluna
da direita (Y) e multiplicar por 1/2. Fazendo isso, obtemos I =
1,43101.
Questão 2
Calcule o valor de . Para tal, utilize o Método dos
Retângulos, dividindo o intervalo de integração em 4 partes:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Estudamos que a resolução de uma integral definida requer alguns
∫
2
0
2. sen(x)dx
A 2,86202
B 2,76202
C 2,66202
D 2,56202
E 2,46202
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Estudamos que a resolução de uma integral definida requer alguns
elementos importantes fornecidos pelo enunciado, como: a função
propriamente dita a ser integrada; o limite inferior de integração; o
limite superior de integração; a quantidade de intervalos (ou o
tamanho de cada intervalo); e o método a ser utilizado.
Neste exemplo, temos que:
- A função propriamente dita a ser integrada é
- O limite inferior de integração é 0;
- O limite superior de integração é 2;
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo) é
4; e
- O método a ser utilizado é de Interpolação Numérica dos
Retângulos.
Aplicando os conceitos ensinados acerca desse método, temos:
N x Y
0 ¼ 2.sen (¼) = 0,49480
1 ¾ 2.sen (¾) = 1,36328
2 5/4
2. sen (5/4) =
1,89796
3 7/4
2. sen (7/4) =
1,96796
Para obter o valor de I, basta somar os valores indicados na coluna
da direita (Y) e multiplicar por 1/2. Fazendo isso, obtemos I =
f(x) = 2 ⋅ sen(x)
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2,86202.
2 - Métodos de interpolação (Newton-Cotes: trapézios)
Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar o método de interpolação de Newton-Cotes,
Método dos Trapézios, por meio da implementação computacional em Python.
Método dos Trapézios
Você pode se perguntar: tem como fazer melhor? Podemos fazer, pelo
menos, de duas formas diferentes: reduzindo o tamanho do intervalo h
ou aprimorando a função de aproximação – o que veremos a seguir,
com a apresentação do Método dos Trapézios.
Nesse método, a estratégia para fazer o cálculo da aproximação da
integral definida por também consiste em dividir do intervalo∫
b
f(x)dx
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integral definida por também consiste em dividir do intervalo
de integração [a,b] em h partes iguais. Só que a expressão de cálculo
dentro de cada intervalo é diferente daquela que vimos para o método
anterior. Nesse caso, a integral é calculada de acordo com a expressão
apresentada a seguir:
Método dos Trapézios
Para entender melhor como isso é feito, veja a imagem apresentada a
seguir:
Gráfico: Integral da função f(x) (em vermelho) como soma de 4 subáreas (trapézios hachurados
em azul) – Método dos Trapézios.
Extraído de: Moura, 2017.
Para ajudar, vamos utilizar o mesmo exemplo que vimos no Método dos
Retângulos, calculando . Como
mencionado há pouco, vamos dividir o intervalo de integração [2,3] em 5
intervalos iguais de tamanho:
∫
a
f(x)dx
n
∑
i=1
α
i
f (x
i
) = h
n
∑
i=1
f (x
i
) + f (x
i+1
)
2
∫
3
2
f(x)dx = ∫
3
2
x
2
+ cos(x)dx
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Aqui, vem a diferença: em cada um desses 5 intervalos, adota-se como
função de referência a média entre os valores da função nos pontos-
limite de cada intervalo, ou seja
.
Mais uma vez, note que cada ponto corresponde ao valor de seu
antecessor , adicionado do tamanho de cada intervalo (h).
Dessa maneira, neste segundo exemplo, temos a situação exposta na
tabela apresentada a seguir:
Intervalo Limite inferior Limite superior
1 2 2.2
2 2,2 2,4
3 2,4 2,6
4 2,6 2,8
5 2,8 3,0
Com isso, tem-se a seguinte aproximação para a integral de
, dada por:
h =
3 − 2
5
= 0, 2
f(x
i
)+f(x
i
+h)
2
(x
i+1
)
(x
i
)
f(x) = x
2
+ cos(x)
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Agora, vamos calcular novamente a integral de no intervalo
de 0 a 1, empregando o Método dos Trapézios. Como vimos, a
resolução do problema de integração numérica em um intervalo definido
requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como:
• A função a ser integrada;
• O valor inicial do intervalo de integração;
• O valor final do intervalo de integração;
• A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo).
Neste exemplo, temos que:
• A função a ser integrada é ;
• O valor inicial do intervalo de integração é 0;
• O valor final do intervalo de integração é 1.
Quanto ao intervalo de integração, vamos fazer de algumas maneiras
diferentes, para que você veja o comportamento de cada método, com
5, 10 e 20 intervalos, considerando 2 casas decimais.
Será que o comportamento observado no módulo anterior se mantém
com outras técnicas? Vamos agora aplicar o Método dos Trapézios com
5 intervalos:
X x2 – x + 2 f(x).Δx
n
∑
i=1
α
i
f (x
i
) =h
n
∑
i=1
f (x
i
) + f (x
i+1
)
2
= 0, 2
5
∑
i=1
f(2 + (i − 1) ∗ 0, 2) + f[2 + i ∗ 0, 2]
2
→ 0, 2 ∗ (3, 9177 + 4, 6371 + 5, 4629 + 6, 4004 + 7, 4539) = 5, 5744
x
2
− x + 2
f(x) = x
2
− x + 2
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0 2 0,40
0,2 1,84 0,37
0,4 1,76 0,35
0,6 1,76 0,35
0,8 1,84 0,37
Desse modo, fazendo a soma dos elementos na coluna da direita,
temos: 0,40 + 0,37 + 0,35 + 0,35 + 0,37 = 1,84.
Já para o mesmo método, mas com 10 intervalos, temos os valores
intermediários apresentados a seguir:
X x2 – x + 2 f(x).Δx
0 2 0,2
0,1 1,91 0,19
0,2 1,84 0,18
0,3 1,79 0,18
0,4 1,76 0,18
0,5 1,75 0,18
0,6 1,76 0,18
0,7 1,79 0,18
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0,7 1,79 0,18
0,8 1,84 0,19
0,9 1,91 0,20
Agora, fazendo a soma dos elementos na coluna da direita, temos: 0,2 +
0,19 + 0,18 + 0,18 + 0,18 + 0,18 + 0,18 + 0,18 + 0,19 + 0,20 = 1,83.
Por fim, ainda com o Método dos Trapézios, mas com 20 intervalos,
temos os valores intermediários apresentados a seguir:
X x2 – x + 2 f(x).Δx
0 2 0,10
0,05 1,95 0,10
0,1 1,91 0,09
0,15 1,87 0,09
0,2 1,84 0,09
0,3 1,79 0,09
0,35 1,77 0,09
0,4 1,76 0,09
0,45 1,75 0,09
0,5 1,75 0,09
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0,55 1,75 0,09
0,6 1,76 0,09
0,65 1,77 0,09
0,7 1,79 0,09
0,75 1,81 0,09
0,8 1,84 0,09
0,85 1,87 0,09
0,9 1,91 0,10
0,95 1,95 0,10
Com essa configuração, fazendo a soma dos elementos na coluna da
direita, temos: 0,1 + 0,1 + 0,09 + 0,09 + 0,09 + 0,09 + 0,09 + 0,09 + 0,09 +
0,09 +0,09 + 0,09 + 0,09 + 0,09 + 0,09 + 0,09 + 0,09 + 0,09 + 0,1 + 0,1 =
1,83.
Prosseguindo na aplicação dos conhecimentos obtidos
para resolução numérica de integrais definidas, vamos
calcular a integral de no intervalo
de 0 a 1, empregando o Método dos Trapézios.
Como vimos neste tema, a resolução do problema de integração
numérica em um intervalo definido requer que o enunciado forneça
alguns elementos importantes, como:
• A função a ser integrada;
cos(x) − 3. sen(x)
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• O valor inicial do intervalo de integração;
• O valor final do intervalo de integração;
• A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo).
Neste exemplo, temos que:
• A função a ser integrada é ;
• O valor inicial do intervalo de integração é 0;
• O valor final do intervalo de integração é 1.
Quanto ao intervalo de integração, vamos fazer de algumas maneiras
diferentes, para que você veja o comportamento de cada método, com
5, 10 e 20 intervalos, considerando 2 casas decimais. Será que o
comportamento obtido no módulo anterior se mantém com outras
técnicas?
Vamos aplicar o Método dos Trapézios com 5 intervalos:
X cos(x) – 3.sen(x) f(x).Δx
0 1 0,14
0,2 0,38 0,01
0,4 -0,25 -0,11
0,6 -0,87 -0,23
0,8 -1,46 -0,34
Desse modo, fazendo a soma dos elementos na coluna da direita, temos
0,14 + 0,01 + (-0,11) + (-0,23) + (-0,34) = -0,54.
Já para o mesmo método, mas com 10 intervalos, temos os valores
f(x) = cos(x) − 3. sen(x)
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Já para o mesmo método, mas com 10 intervalos, temos os valores
intermediários apresentados a seguir:
X cos(x) – 3.sen(x) f(x).Δx
0 1 0,08
0,1 0,70 0,05
0,2 0,38 0,02
0,3 0,07 -0,01
0,4 -0,25 -0,04
0,5 -0,56 -0,07
0,6 -0,87 -0,10
0,7 -1,17 -0,13
0,8 -1,46 -0,16
0,9 -1,73 -0,19
Agora, fazendo a soma dos elementos na coluna da direita, temos: 0,08
+ 0,05 + 0,02 + (-0,01) + (-0,04) + (-0,07) + (-0,10) + (-0,13) + (-0,16) +
(-0,19) = -0,54.
Por fim, ainda com o Método dos Trapézios, mas com 20 intervalos,
temos os valores intermediários apresentados a seguir:
X cos(x) – 3.sen(x) f(x).Δx
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0 1 0,05
0,05 0,85 0,04
0,1 0,70 0,03
0,15 0,54 0,02
0,2 0,38 0,02
0,25 0,23 0,01
0,3 0,07 -0,00
0,35 -0,09 -0,01
0,4 -0,25 -0,02
0,45 -0,40 -0,02
0,5 -0,56 -0,03
0,55 -0,72 -0,04
0,6 -0,87 -0,05
0,65 -1,02 -0,05
0,7 -1,17 -0,06
0,75 -1,31 -0,07
0,8 -1,46 -0,08
0,85 -1,53 -0,08
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0,85 -1,53 -0,08
0,9 -1,73 -0,09
0,95 -1,86 -0,10
Com essa configuração, fazendo a soma dos elementos na coluna da
direita, temos 0,05 + 0,04 + 0,03 + 0,02 + 0,02 + 0,01 + (-0,00) + (-0,01) +
(-0,02) + (-0,02) + (-0,03) + (-0,04) + (-0,05) + (-0,05) + (-0,06) + (-0,07) +
(-0,08) + (-0,08) + (-0,09) + (-0,10) = -0,54.
Implementação do Método dos
Trapézios em Python
Vamos ver um exemplo de integração em Python? Calcularemos a
integral da função no intervalo [2, 3]. Em Python, podemos
implementar o Método dos Trapézios para efetuar essa aproximação, de
modo que o cálculo pode ser feito da seguinte maneira:
Python 
x
2
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Resolução de exercícios com o
Python
Neste bate-papo, serão resolvidos exercícios com o método de
interpolação (Trapézios) utilizando o Python.

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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Calcule o valor de . Para tal, utilize o Método dos
Trapézios, dividindo o intervalo de integração em 8 partes:
∫
2
1
cos(x)dx
A 0,0677
B 0,0777
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Parabéns! A alternativa A está correta.
Como vimos, a resolução de uma integral definida requer que o
enunciado forneça alguns elementos importantes, como: a função
propriamente dita a ser integrada; o limite inferior de integração; o
limite superior de integração; a quantidade de intervalos (ou o
tamanho de cada intervalo); e o método a ser utilizado.
Neste exemplo, temos que:
- A função propriamente dita a ser integrada é ;
- O limite inferior de integração é 1;
- O limite superior de integração é 2;
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo) é
8; e
- O método a ser utilizado é de Interpolação Numérica dos
Trapézios.
Aplicando os conceitos ensinados acerca desse método, temos:
n X Y
B 0,0777
C 0,0877
D 0,09771
E 0,0577
f(x) = cos(x)
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n X Y
0 1 cos (1) = 0,54030
1 9/8
2. cos (9/8) =
0,86235
2 5/4
2. cos (5/4) =
0,63064
3 11/8
2. cos (11/8) =
0,38910
4 3/2
2. cos (3/2) =
0,14147
5 13/8
2. cos (13/8) = -
0,10835
6 7/4
2. cos (7/4) = -
0,35649
7 15/8
2. cos (15/8) = -
0,59907
8 2 cos (2) = - 0,41615
Para obter o valor de I, basta somar os valores indicados na coluna
da direita (Y) e multiplicar por 1/16. Fazendo isso, obtemos I =
0,06774.
Questão 2
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Calcule o valor de . Para tal, utilize o Método dos
Trapézios, dividindo o intervalo de integração em 8 partes:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Como estudamos, a resolução de uma integral definida requer que
o enunciado forneça alguns elementos importantes, como: a função
propriamente dita a ser integrada; o limite inferior de integração; o
limite superior de integração; a quantidade de intervalos (ou o
tamanho de cada intervalo); e o método a ser utilizado.
Neste exemplo, temos que:
- A função propriamente dita a ser integrada é
;
- O limite inferior de integração é 1;
- O limite superior de integração é 2;
∫
2
1
2. cos(x)dx
A 0,13547
B 0,15547
C 0,11547
D 0,17547
E 0,19547
f(x) = 2. cos(x)
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O limite superior de integração é 2;
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo) é
8; e
- O método a ser utilizado é de Interpolação Numérica dos
Trapézios.
Aplicando os conceitos ensinados acerca desse método, temos:
n X Y
0 1 [2. cos (1)] = 1,0806
1 9/8
2. [2. cos (9/8)] =
1,7247
2 5/4
2. [2. cos (5/4)] =
1,26128
3 11/8
2. [2. cos (11/8)] =
0,7782
4 3/2
2. [2. cos (3/2)] =
0,28294
5 13/8
2. [2. cos (13/8)] = -
0,2167
6 7/4
2. [2. cos (7/4)] = -
0,72198
7 15/8
2. [2. cos (15/8)] = -
1,19814
8 2
[2. cos (2)] = -
0,8323
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0,8323
Para obter o valor de I, basta somar os valores indicados na coluna
da direita (Y) e multiplicar por 1/16. Fazendo isso, obtemos I =
0,13547.
3 - Métodos de interpolação (Newton-Cotes: regras de
Simpson)
Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar o método de interpolação de Newton-Cotes,
Método de Simpson, por meio da implementação computacional em Python.
Método de Simpson
Como imaginávamos, o resultado obtido ainda apresenta uma diferença
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Como imaginávamos, o resultado obtido ainda apresentauma diferença
em relação ao valor exato da integral proposta (5,5652), mas a diferença
foi reduzida.
Mesmo assim, o resultado pode ser melhor: podemos reduzir o tamanho
do intervalo h ou aprimorar a função de aproximação, empregando o
denominado Método de Simpson para n = 3.
No Método de Simpson para n = 3, como nos métodos
anteriores, o princípio básico para calcular 
consiste em dividir o intervalo de integração [a,b] em h
partes iguais.
Assim, a integral é calculada de acordo com a expressão apresentada a
seguir:
Vamos ver qual é o efeito dessa modificação?
Mais uma vez utilizando o exemplo anterior, considere o cálculo de
. Como nos demais casos, dividimos o
intervalo de integração [2,3] em 5 intervalos iguais de tamanho:
Conforme exposto em Moura (2017), em cada um desses 5 intervalos,
adota-se como referência uma aproximação quadrática entre os valores
da função nos pontos-limite de cada intervalo, considerando-se como
ponto focal da parábola o ponto médio do intervalo, ou seja:
∫
b
a
f(x)dx
n
∑
i=1
α
i
f (x
i
) = h
n
∑
i=1
f (x
i
) + 4f(y) + f (x
i+1
)
6
,  onde y =
x
i
+ x
i+1
2
∫
3
2
f(x)dx = ∫
3
2
x
2
+ cos(x)dx
h =
3 − 2
5
= 0, 2
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ponto focal da parábola o ponto médio do intervalo, ou seja:
De igual modo ao que fizemos nos casos anteriores, cada ponto 
equivale ao valor de seu antecessor ( ), adicionado do tamanho de
cada intervalo (h). Vamos ver como ficam os cálculos neste terceiro
caso?
Veja a tabela apresentada a seguir:
Intervalo Limite inferior Limite superior
1 2 2,2
2 2,2 2,4
3 2,4 2,6
4 2,6 2,8
5 2,8 3,0
Com isso, tem-se a seguinte aproximação para a integral de
, com resultado igual a 5,5652. Eis os cálculos:
f (x
i
) + 4f(y) + f (x
i+1
)
6
,  onde y =
x
i
+ x
i+1
2
(x
i+1
)
(x
i
)
f(x) = x
2
+ cos(x)
h
n
∑
i=1
f (x
i
) + 4f(y) + f (x
i+1
)
6
=0, 2
5
∑
i=1
f(a + (i − 1)h) + 4f(y) + f(a + ih)
6
,  on
=
(a + (i − 1)h) + (a + ih)
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0,2
Como você pode ver, o resultado alcançado é equivalente ao valor exato
da integral proposta (5,5652) – era de se esperar que nós
encontrássemos uma aproximação melhor do que a oferecida pelos
métodos anteriores, mas nem sempre se chegará a um resultado exato
com tão poucos intervalos.
Atenção!
Já tratamos disso anteriormente, mas não custa repetir: podemos
encontrar uma aproximação ainda melhor, reduzindo o tamanho do
intervalo h ou aprimorando a função de aproximação – a partir de
funções cúbicas, quárticas ou de ordem superior.
Para concluir, aplicaremos o Método de Simpson para calcular a integral
de no intervalo de 0 a 1. Como vimos, a resolução do
problema de integração numérica em um intervalo definido requer que o
enunciado forneça alguns elementos importantes, como:
• A função a ser integrada;
• O valor inicial do intervalo de integração;
• O valor final do intervalo de integração;
• A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo).
Neste exemplo, temos que:
• A função a ser integrada é ;
• O valor inicial do intervalo de integração é 0;
O valor final do intervalo de integração é 1
=
2
∗
f(2) + 4f(2, 1) + 2f(2, 2) + 4f(2, 3) + 2f(2, 4) + 4f(2, 5) + 2f(2, 6) + 4f(2, 7)
6
→= 5, 5652
x
2
− x + 2
f(x) = x
2
− x + 2
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• O valor final do intervalo de integração é 1.
Quanto ao intervalo de integração, vamos fazer de algumas maneiras
diferentes, para que você veja o comportamento de cada método, com
5, 10 e 20 intervalos, considerando 2 casas decimais.
Como feito nos casos anteriores, vamos começar com 5 intervalos:
X x2 – x + 2 f(x).Δx
0 2 0,38
0,2 1,84 0,36
0,4 1,76 0,35
0,6 1,76 0,36
0,8 1,84 0,38
Desse modo, fazendo a soma dos elementos na coluna da direita, temos
0,38 + 0,36 + 0,35 + 0,36 + 0,38 = 1,83.
Já para o mesmo método, mas com 10 intervalos, temos os valores
intermediários apresentados a seguir:
X x2 – x + 2 f(x).Δx
0 2 0,2
0,1 1,91 0,19
0,2 1,84 0,18
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0,2 1,84 0,18
0,3 1,79 0,18
0,4 1,76 0,18
0,5 1,75 0,18
0,6 1,76 0,18
0,7 1,79 0,18
0,8 1,84 0,19
0,9 1,91 0,20
Agora, fazendo a soma dos elementos na coluna da direita, temos 0,2 +
0,19 + 0,18 + 0,18 + 0,18 + 0,18 + 0,18 + 0,18 + 0,19 + 0,20 = 1,83.
Por fim, ainda com o Método de Simpson, mas com 20 intervalos, temos
os valores intermediários apresentados a seguir:
X x2 – x + 2 f(x).Δx
0 2 0,10
0,05 1,95 0,10
0,1 1,91 0,09
0,15 1,87 0,09
0,2 1,84 0,09
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0,25 1,81 0,09
0,3 1,79 0,09
0,35 1,77 0,09
0,4 1,76 0,09
0,45 1,75 0,09
0,5 1,75 0,09
0,55 1,75 0,09
0,6 1,76 0,09
0,65 1,77 0,09
0,7 1,79 0,09
0,75 1,81 0,09
0,8 1,84 0,09
0,85 1,87 0,09
0,9 1,91 0,10
0,95 1,95 0,10
Com essa configuração, fazendo a soma dos elementos na coluna da
direita, temos: 0,1 + 0,1 + 0,09 + 0,09 + 0,09 + 0,09 + 0,09 + 0,09 + 0,09 +
0,09 + 0,09 + 0,09 + 0,09 + 0,09 + 0,09 + 0,09 + 0,09 + 0,09 + 0,1 + 0,1 =
1,83.
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Prosseguindo na aplicação dos conhecimentos obtidos para resolução
numérica de integrais definidas, vamos calcular a integral de cos(x) – 3.
sen(x) no intervalo de 0 a 1, agora empregando o Método de Simpson.
Como vimos, a resolução do problema de integração numérica em um
intervalo definido requer que o enunciado forneça alguns elementos
importantes, como:
• A função a ser integrada;
• O valor inicial do intervalo de integração;
• O valor final do intervalo de integração;
• A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo).
Neste exemplo, temos que:
• A função a ser integrada é ;
• O valor inicial do intervalo de integração é 0;
• O valor final do intervalo de integração é 1.
Vamos agora aplicar o Método de Simpson. Como nos casos anteriores,
vamos começar com 5 intervalos:
X cos(x) – 3.sen(x) f(x).Δx
1 0,14
0,2 0,38 0,01
0,4 -0,25 -0,11
0,6 -0,87 -0,23
0,8 -1,46 -0,35
f(x) = cos(x) − 3. sen(x)
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Desse modo, fazendo a soma dos elementos na coluna da direita,
temos: 0,14 + 0,01 + (-0,11) + (-0,23) + (-0,35) = -0,54.
Já para o mesmo método, mas com 10 intervalos, temos os valores
intermediários apresentados a seguir:
X cos(x) – 3.sen(x) f(x).Δx
0 1 0,08
0,1 0,70 0,05
0,2 0,38 0,02
0,3 0,07 -0,01
0,4 -0,25 -0,04
0,5 -0,56 -0,07
0,6 -0,87 -0,10
0,7 -1,17 -0,13
0,8 -1,46 -0,16
0,9 -1,73 -0,19
Fazendo a soma dos elementos na coluna da direita, temos: 0,08 + 0,05
+ 0,02 + (-0,01) + (-0,04) + (-0,07) + (-0,10) + (-0,13) + (-0,16) + (-0,19) =
-0,54.
Por fim, ainda com o Método de Simpson, mas com 20 intervalos, temos
os valores intermediários apresentados a seguir:
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X cos(x) – 3.sen(x) f(x).Δx
0 1 0,05
0,05 0,85 0,04
0,1 0,70 0,03
0,15 0,54 0,02
0,2 0,38 0,02
0,25 0,23 0,01
0,3 0,07 -0,00
0,35 -0,09 -0,01
0,4 -0,25 -0,02
0,45 -0,40 -0,02
0,5 -0,56 -0,03
0,55 -0,72 -0,04
0,6 -0,87 -0,05
0,65 -1,02 -0,05
0,7 -1,17 -0,06
0,75 -1,31 -0,07
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0,8 -1,46 -0,080,85 -1,53 -0,08
0,9 -1,73 -0,09
0,95 -1,86 -0,10
Com essa configuração, fazendo a soma dos elementos na coluna da
direita, temos 0.05 + 0.04 + 0.03 + 0.02 + 0.02 + 0.01 + (-0.00) + (-0.01) +
(-0.02) + (-0.02) + (-0.03) + (-0.04) + (-0.05) + (-0.05) + (-0.06) + (-0.07) +
(-0.08) + (-0.08) + (-0.09) + (-0.10) = -0,54.
Implementação do Método de
Simpson em Python
Vamos ver um exemplo de integração em Python? Calcularemos a
integral da função no intervalo [2, 3]. Em Python, podemos
implementar o Método de Simpson para efetuar essa aproximação, de
modo que o cálculo pode ser feito da seguinte maneira:
Python 
x
2
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Resolução de exercícios com o
Python
Neste bate-papo, serão resolvidos os exercícios com o método de
interpolação (Newton-Cotes) utilizando o Python.

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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Calcule o valor de . Para tal, utilize o Método de
Simpson, dividindo o intervalo de integração em 4 partes:
∫
2
0
sen(x)dx
A 1,42
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Parabéns! A alternativa A está correta.
Como estudamos, a resolução de uma integral definida requer que
o enunciado forneça alguns elementos importantes, como: a função
propriamente dita a ser integrada;
- O limite inferior de integração; o limite superior de integração;
a quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e
o método a ser utilizado.
Neste exemplo, temos que:
- A função propriamente dita a ser integrada é ;
- O limite inferior de integração é 0;
- O limite superior de integração é 2;
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo) é
4;
- O método a ser utilizado é de Interpolação Numérica de
A 1,42
B 1,52
C 1,62
D 1,72
E 1,82
f(x) = sen(x)
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Simpson.
Aplicando os conceitos ensinados acerca desse método, temos:
N x Y
0 0 0,12
1 1/2 0,34
2 1 0,47
3 3/2 0,49
Para obter o valor de I, basta somar os valores indicados na coluna
da direita (Y). Fazendo isso, obtemos I = 1,42.
Questão 2
Calcule o valor de . Para isso, utilize o Método de
Simpson, dividindo o intervalo de integração em 4 partes:
∫
2
0
cos(x)dx
A 0,91
B 1,01
C 0,81
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Parabéns! A alternativa A está correta.
Como vimos, a resolução de uma integral definida requer que o
enunciado forneça alguns elementos importantes, como: a função
propriamente dita a ser integrada; o limite inferior de integração; o
limite superior de integração; a quantidade de intervalos (ou o
tamanho de cada intervalo); e o método a ser utilizado.
Neste exemplo, temos que:
- A função propriamente dita a ser integrada é ;
- O limite inferior de integração é 0;
- O limite superior de integração é 2;
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo) é
4;
- O método a ser utilizado é de Interpolação Numérica de
Simpson.
Aplicando os conceitos ensinados acerca desse método, temos:
N x Y
0 0 0,48
1 1/2 0,36
D 0,71
E 0,61
f(x) = cos(x)
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2 1 0,16
3 3/2 -0,09
Para obter o valor de I, basta somar os valores indicados na coluna
da direita (Y). Fazendo isso, obtemos I = 0,91.
4 - Métodos de extrapolação (Romberg)
Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar o Método de extrapolação de Romberg, por
meio da implementação computacional em Python.
Método de Romberg
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Além dos métodos indicados no módulo anterior, existem outros que
permitem alcançar resultados ainda mais precisos. Entre eles,
destacamos o Método de extrapolação de Romberg. A despeito de sua
maior precisão, seu fundamento teórico se baseia no Método dos
Trapézios, já estudado neste conteúdo.
Vamos analisar esse método, a partir de um exemplo. Para tal,
consideremos o cálculo da integral I apresentada a seguir:
Método de Romberg
Utilizando o Método dos Trapézios, podemos calcular o valor da integral
I, considerando uma quantidade qualquer de subintervalos dentro do
intervalo de integração [1,2]. Assim, vamos calcular o valor de I,
considerando a quantidade n de subintervalos igual a 1, 2, 4, 8 e 16. Os
valores obtidos são mostrados a seguir:
Índice n
1
2
4
8
I = ∫
2
1
1
x
dx
  R 
0
1
  R 
0
2
  R 
0
3
  R 
0
4
1
16
( 1 + 1.777
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16
Isso feito, temos como aplicar a ideia central do Método de Romberg,
que é o emprego da extrapolação de Richardson para obter valores
ainda mais precisos, a partir dos resultados do Método dos Trapézios
dentro do intervalo de integração considerado.
O Método de extrapolação de Richardson permite a obtenção de índices
 quaisquer, a partir da fórmula:
Parece complicado? Nem tanto! Recomendamos construir uma tabela
da seguinte forma:
Assim, considerando os valores da primeira coluna (ou seja, aqueles que
calculamos inicialmente nesse exemplo), todas as demais podem ser
calculadas, considerando o valor à esquerda e o que fica acima deste
último (ou seja, as posições à oeste e à noroeste, respectivamente).
Vamos ver?
  R 
0
5
R
i
k
R
i
k
=
4
i
⋅ R
i−1
k
− R
i−1
k−1
4
i
− 1
R
1
2
=
4R
0
2
− R
0
1
3
= 0, 69444
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Prosseguindo, você pode obter o valor de , muito mais
preciso, para representar o logaritmo neperiano de
.
Implementação do Método de
Romberg em Python
Agora, trataremos da utilização do método de Romberg em Python. Para
tal, nós utilizaremos o pacote SciPy, o qual disponibiliza a função
scipy.integrate.romberg para realizar a integração de acordo com o
método de extrapolação de Romberg.
Como exemplo, vamos calcular a integral .
Para isso, basta executar os comandos na sequência indicada a seguir:
• Importar o pacote scipy;
• Importar o pacote de integração (integrate);
• Definir a função a ser integrada (func);
• Executar a função de integração (integrate.romberg), indicando a
função (func), os limites inferior (1) e superior (2) de integração,
com exibição da tabela de resultados até n=16 (show=True).
Comentário
O trecho de comandos em Python indicado a seguir apresenta a
sequência descrita anteriormente para cálculo da integral de
acordo com o método de Romberg, empregando a função
R
1
3
=
4R
0
3
− R
0
2
3
= 0, 69325
R
2
3
=
16R
1
3
− R
1
2
15
= 0, 69317
R
3
5
= 0, 69315
2(0, 693147 → 0, 69315)
∫
2
1
e
−x
dx
∫
2
1
e
−x
dx
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integrate.romberg.
Por definição, a função integrate.romberg apresenta os resultados com
um erro de aproximação de .
Python 
Vamos fazer outros exemplos com o mesmo pacote
em Python?
Dessa maneira, veja a sequência de comandos necessários para cálculo
da integral , de acordo com o método de Romberg,
empregando a função integrate.romberg.
Como mencionado anteriormente, a função integrate.romberg apresenta
os resultados com um erro de aproximação de .
Python 
1, 48 × 10
−8
∫
2
1
sen(x)dx1, 48 × 10
−8
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Ainda de acordo com a mesma sistemática, veja a sequência de
comandos necessários para cálculo da integral , de acordo
com o método de Romberg empregando a função integrate.romberg.
Como mencionado anteriormente, a função integrate.romberg apresenta
os resultados com um erro de aproximação de .
Python 
∫
2
1
cos(x)dx
1, 48 × 10
−8
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Por fim, veja a sequência de comandos necessários para cálculo da
integral , de acordo com o método de Romberg,
empregando a função integrate.romberg.
Python 
Como já indicado ao longo do conteúdo, o resultado aqui é bem mais
preciso do que com os métodos de interpolação estudados
anteriormente, requerendo uma quantidade menor de iterações, o que
ilustra a qualidade desse método.
∫
2
1
sen(x) + cos(x)dx

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Resolução de exercícios com o
Python
Neste bate-papo, serão resolvidos os exercícios com o método de
extrapolação (Romberg) utilizando o Python.

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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Calcule o valor de . Para tal, utilize o método de
Romberg, dividindo o intervalo de integração em 8 partes:
∫
1
0
cos(x)dx
A 0,84147
B 0,85147
C 0,86147
D 0,87147
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Parabéns! A alternativa A está correta.
Como vimos, a resolução de uma integral definida requer que o
enunciado forneça alguns elementos importantes, como: a função
propriamente dita a ser integrada; o limite inferior de integração; o
limite superior de integração; a quantidade de intervalos (ou o
tamanho de cada intervalo); e o método a ser utilizado.
Neste exemplo, temos que:
- A função propriamente dita a ser integrada é ;
- O limite inferior de integração é 0;
- O limite superior de integração é 1;
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo) é
8;
- O método a ser utilizado é de Romberg.
Aplicando os conceitos ensinados acerca desse método, temos:
N
1 0,84177
2 0,84147
3 0,84147
E 0,88147
f(x) = cos(x)
 R 
n
n
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Assim, obtemos I = 0,84147.
Questão 2
Calcule o valor de . Para tal, utilize o método de
Romberg, dividindo o intervalo de integração em 8 partes:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Como vimos, a resolução de uma integral definida requer que o
enunciado forneça alguns elementos importantes, como: a função
propriamente dita a ser integrada; o limite inferior de integração; o
limite superior de integração; a quantidade de intervalos (ou o
tamanho de cada intervalo); e o método a ser utilizado.
Neste exemplo, temos que:
∫
1
0
sen(x)dx
A 0,45970
B 0,47970
C 0,49970
D 0,43970
E 0,41970
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- A função propriamente dita a ser integrada é ;
- O limite inferior de integração é 0;
- O limite superior de integração é 1;
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo) é
8;
- O método a ser utilizado é de Romberg.
Aplicando os conceitos ensinados acerca desse método, temos:
N
1 0,45986
2 0,45970
3 0,45970
Assim, obtemos I = 0,45970
Considerações �nais
Como vimos, é possível empregar modelos matemáticos para resolução
numérica de integrais definidas.
f(x) = sen(x)
 R 
n
n
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Neste conteúdo, você estudou os principais métodos associados:
Interpolação e Extrapolação. Os métodos de interpolação como os de
Newton-Cotes, nas variantes dos Retângulos, Trapézios e de Simpson,
são caracterizados pela simplicidade, mas requerem grande quantidade
de passos para que apresentem um resultado mais preciso. Por sua vez,
o método da extrapolação, analisado de acordo com a técnica de
Romberg, apresenta melhores resultados a partir do emprego de uma
fórmula mais elaborada de aproximação do valor real.
Além disso, você também pode identificar como é simples a
implementação desses modelos em ferramentas de suporte
computacional. Em particular, vimos exemplos de implementação em
Python, automatizando procedimentos e permitindo a rápida resolução
desses métodos.
Você não só conheceu os métodos, mas também sua implementação
em ambiente computacional, de modo a utilizar essa importante
ferramenta para a resolução de problemas clássicos e variados em
Engenharia.
Podcast
Neste bate-papo, relembre os principais conceitos abordados com o
intuito de reforçar os conhecimentos desenvolvidos no material.

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Para encontrar demonstrações e discussões acerca dos assuntos
estudados, busque por vídeos no YouTube:
• Integração Numérica – Método dos Trapézios
• Método da Integração de Romberg e Algoritmo em Python
Leia o artigo Uso de integração numérica em problemas de Engenharia,
de Augusto Giacchini Kloth e Olga Harumi Saito, do departamento
acadêmico de Matemática da UTFPR.
Referências
MOURA, D. F. C, Cálculo Numérico. Rio de Janeiro: SESES, 2017. 144 p.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL. UFRGS. Cálculo
Numérico: Um Livro Colaborativo Versão Python. Porto Alegre: UFRGS,
2019.
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