aprendendo e fazendo com explicação C2U

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c) f'(x) = 3x^2 + 4x + 1 
d) f'(x) = 3x^2 + 4x - 3 
 
Resposta: a) f'(x) = 3x^2 + 4x + 3 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função f(x) = x^3 + 2x^2 + 3x - 1, devemos aplicar 
a regra da potência em cada termo da função. A derivada de x^n é n*x^(n-1). Portanto, a 
derivada de x^3 é 3x^2, a derivada de 2x^2 é 4x, a derivada de 3x é 3 e a derivada de -1 é 0. 
Assim, a derivada da função f(x) é f'(x) = 3x^2 + 4x + 3. Portanto, a alternativa correta é a) 
f'(x) = 3x^2 + 4x + 3. 
 
Questão: Qual é a derivada da função \(f(x) = e^x \sin(x)\)? 
 
Alternativas: 
a) \(f'(x) = e^x \cos(x) - e^x \sin(x)\) 
b) \(f'(x) = e^x \sin(x) + e^x \cos(x)\) 
c) \(f'(x) = e^{2x} \sin(x) \) 
d) \(f'(x) = e^x(\sin(x) + \cos(x))\) 
 
Resposta: a) \(f'(x) = e^x \cos(x) - e^x \sin(x)\) 
 
Explicação: Para obter a derivada da função \(f(x) = e^x \sin(x)\), utilizamos a regra do 
produto. Seja \(u = e^x\) e \(v = \sin(x)\), então, aplicando a regra do produto \( (uv)' = u'v 
+ uv'\), temos: 
 
\[ f'(x) = (e^x \sin(x))' = (e^x)' \sin(x) + e^x (\sin(x))' \] 
\[ f'(x) = e^x \sin(x) + e^x \cos(x) \] 
\[ f'(x) = e^x (\cos(x) + \sin(x)) \] 
 
Portanto, a alternativa correta é a letra a), onde a derivada de \(e^x \sin(x)\) é \(e^x 
\cos(x) - e^x \sin(x)\). 
 
Questão: Qual é a derivada da função f(x) = ln(x^2) no ponto x = 3? 
 
Alternativas: 
a) f'(x) = 2/x 
b) f'(x) = 2/x^2 
c) f'(x) = 2/3 
d) f'(x) = 6/x 
 
Resposta: b) f'(x) = 2/x 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função f(x) = ln(x^2), aplicamos a regra da 
derivada de uma função logarítmica, que é a derivada do logaritmo natural de u é dada por 
u'/u. Neste caso, temos u = x^2. Portanto, a derivada de ln(x^2) é d(ln(x^2))/dx = 
(2x)/(x^2) = 2/x. Substituindo x = 3 na derivada encontrada, obtemos f'(3) = 2/3. Portanto, 
a alternativa correta é a letra b). 
 
Questão: Qual é a derivada da função f(x) = x^3 + 2x^2 - 1? 
 
Alternativas: 
a) f'(x) = 3x^2 + 4x 
b) f'(x) = 3x^2 + 4x - 1 
c) f'(x) = 3x^2 + 4x^2 - 1 
d) f'(x) = 3x^2 + 4x^2 
 
Resposta: a) f'(x) = 3x^2 + 4x 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função f(x) = x^3 + 2x^2 - 1, devemos aplicar a 
regra da potência para cada termo da função. 
 
Para o primeiro termo x^3, a derivada será 3x^(3-1) = 3x^2. 
Para o segundo termo 2x^2, a derivada será 2*2x^(2-1) = 4x. 
Para o último termo -1, a derivada será 0, pois uma constante tem derivada igual a zero. 
 
Assim, a derivada da função f(x) = x^3 + 2x^2 - 1 será f'(x) = 3x^2 + 4x. Portanto, a 
alternativa correta é a letra a). 
 
Questão: Qual é a integral da função f(x) = x^2 + 3x + 5? 
 
Alternativas: 
a) ∫ (2x + 3) dx 
b) ∫ (3x + 5) dx 
c) ∫ (x^2 + 3x + 5) dx 
d) ∫ (2x^2 + 3x) dx 
 
Resposta: c) ∫ (x^2 + 3x + 5) dx 
 
Explicação: Para calcular a integral da função f(x) = x^2 + 3x + 5 em relação a dx, utilizamos 
a regra de integração, que consiste em somar 1 ao expoente de cada termo e dividir o 
coeficiente desse termo pelo novo expoente. Assim, a integral de x^2 em relação a x é 
(1/3)x^3, a integral de 3x em relação a x é (3/2)x^2 e a integral de 5 em relação a x é 5x.