aulas da faculdade com explicaçaoi P2IF

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Explicação: Para derivar a função f(x) = ln(x^2 + 3x), usamos a regra da derivada da função 
logarítmica: a derivada de ln(u) é u'/u, onde u é a expressão dentro do logaritmo. Aplicando 
essa regra, temos: f'(x) = (2x + 3)/(x^2 + 3x). Portanto, a resposta correta é a alternativa a) 
2x + 3/(x^2 + 3x). 
 
Questão: Qual é a derivada da função \(f(x) = e^{2x} \cdot \sen(x)\) em relação à \(x\)? 
 
Alternativas: 
a) \(2e^{2x} \cdot \sen(x) + e^{2x} \cdot \cos(x)\) 
b) \(e^{2x} \cdot \cos(x)\) 
c) \(2e^{2x} \cdot \sen(x) - e^{2x} \cdot \cos(x)\) 
d) \(2e^{2x} \cdot \sen(x) + 2e^{2x} \cdot \cos(x)\) 
 
Resposta: a) \(2e^{2x} \cdot \sen(x) + e^{2x} \cdot \cos(x)\) 
 
Explicação: Para resolver essa questão, primeiramente utilizamos a regra do produto para 
derivar a função \(f(x) = e^{2x} \cdot \sen(x)\). A derivada do produto de duas funções é 
dada pela multiplicação da derivada da primeira função pela segunda função somada com a 
multiplicação da primeira função pela a derivada da segunda função. 
 
Dessa forma, temos que a derivada de \(e^{2x} \cdot \sen(x)\) é dada por: 
\[ 
\frac{d}{dx}(e^{2x}) \cdot \sen(x) + e^{2x} \cdot \frac{d}{dx}(\sen(x)) = 2e^{2x} \cdot 
\sen(x) + e^{2x} \cdot \cos(x) 
\] 
 
Portanto, a resposta correta é a alternativa a), \(2e^{2x} \cdot \sen(x) + e^{2x} \cdot 
\cos(x)\). 
 
Questão: Qual é o resultado do limite da função f(x) = (x^2 + 3x - 4)/(x - 1) quando x tende a 
1? 
 
Alternativas: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) Indefinido 
 
Resposta: c) 2 
 
Explicação: Para resolver esse limite, podemos simplificar a função f(x) = (x^2 + 3x - 4)/(x - 
1) aplicando a regra de L'Hôpital, que diz que o limite de uma função pode ser calculado 
derivando o numerador e o denominador separadamente. Assim, derivando o numerador e 
o denominador, temos f'(x) = (2x + 3)/(1) = 2x + 3. Substituindo x por 1 nessa derivada, 
obtemos f'(1) = 2*1 + 3 = 5. 
 
Portanto, o resultado do limite é igual ao valor da derivada no ponto de interesse, ou seja, 
f(1) = 5. Portanto, a resposta correta é c) 2. 
 
Questão: Qual é o limite da função f(x) = (3x^2 + 2x + 1) / (x - 1) quando x tende a 1? 
 
Alternativas: 
a) 2 
b) 4 
c) -1 
d) Não existe 
 
Resposta: b) 4 
 
Explicação: Para encontrar o limite da função quando x tende a 1, podemos substituir 
diretamente o valor de x na função. Porém, ao fazer isso, obtemos uma forma indeterminada 
(0/0), o que nos indica que devemos simplificar a expressão antes de substituir o valor de x. 
Fazendo isso: 
f(x) = (3x^2 + 2x + 1) / (x - 1) 
f(1) = (3*1^2 + 2*1 + 1) / (1 - 1) 
f(1) = (3 + 2 + 1) / (1 - 1) 
f(1) = 6 / 0 
f(1) = indeterminado 
 
Para resolver essa indeterminação, podemos fatorar o numerador e denominador: 
f(x) = (3x^2 + 2x + 1) / (x - 1) 
f(x) = (x + 1)(3x + 1) / (x - 1) 
 
Substituindo o valor de x: 
f(1) = (1 + 1)(3*1 + 1) / (1 - 1) 
f(1) = (2)(3 + 1) / 0 
f(1) = 8 / 0 
 
Quando temos uma expressão do tipo "k/0", onde k é diferente de zero, o limite tende ao 
infinito. Portanto, o limite da função f(x) = (3x^2 + 2x + 1) / (x - 1) quando x tende a 1 é 
infinito, ou seja, não existe.