Regra de Três Simples

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80
Exercícios propostos
No exercício 22, é interes-
sante chamar a atenção dos 
alunos para o fato de que, 
se aumentamos o número 
de torneiras, o tempo para 
encher o tanque tende a di-
minuir. Desse modo:
a) com 2 torneiras abertas o 
tempo se reduziria à meta-
de, ou seja, 2 torneiras aber-
tas encheriam o tanque em 
4 horas;
b) com 3 torneiras abertas o 
tempo se reduziria à terça 
parte, ou seja, 3 torneiras 
abertas encheriam o tanque 
em 8 
3
 horas ou, ainda, 
160 minutos ( 1 
8
8 60 minutos);
c) em 1 hora, uma única 
torneira aberta encheria 1 
8
do tanque, ou seja, seriam 
necessárias 8 torneiras para 
encher o tanque em 1 hora.
Regra de três simples
Aplicando as relações de 
proporcionalidade direta 
e inversa na resolução de 
problemas que envolvem 
a variação de duas ou mais 
grandezas dependentes, de-
senvolvemos um processo 
de resolução denominado 
regra de três.
Ela é simples quando há 
apenas duas grandezas en-
volvidas, que são direta ou 
inversamente proporcionais.
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9
8
.
80 CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
22 Para encher um tanque, são usadas três tornei-
ras iguais. Com apenas uma torneira aberta, 
enche-se o tanque em 8 horas.
a) Em quantas horas duas torneiras abertas 
encheriam o tanque? 4 horas
b) Em quantos minutos as três torneiras aber-
tas encheriam o tanque? 160 minutos
c) Quantas torneiras iguais a essa seriam ne-
cessárias para encher o tanque em 1 hora?
23 Os dados do quadro a seguir referem-se ao 
número de máquinas (iguais) e ao tempo 
necessário para a produção de 36 litros de 
sorvete.
a) Determine os valores de a, b e c.
b) Com apenas uma máquina, em quanto tem-
po seriam produzidos 108 litros de sorvete?
c) Para produzir 72 litros de sorvete em 30 mi-
nutos, seriam necessárias quantas máquinas?
24 Divida o número 132:
a) em três partes iguais; 44
b) em partes diretamente proporcionais a 2, 
4 e 6; 22, 44 e 66
c) em partes inversamente proporcionais a 2, 
4 e 6. 72, 36 e 24
Número de máquinas 1 2 b 6
Tempo (em minuto) 60 a 15 c
25 Hora de criar – Troque com um colega um 
problema, criado por vocês, sobre grandezas 
inversamente proporcionais. Depois de cada 
um resolver o problema elaborado pelo outro, 
destroquem para corrigi-los. Resposta pessoal.
5 Regra de três simples
Os problemas que envolvem duas grande-
zas direta ou inversamente proporcionais po-
dem ser resolvidos por meio de um processo 
prático chamado de regra de três simples. 
Para entender tal processo, considere as si-
tuações a seguir.
O problema envolve duas grandezas: distância percorrida e consumo de etanol. As unidades 
empregadas para medir essas grandezas são, respectivamente, quilômetro e litro.
Toda proporção tem quatro 
termos, dois extremos e dois 
meios. Aplicamos a regra 
de três quando queremos 
obter um desses termos e 
conhecemos os outros três 
termos. Daí o nome regra 
de três!
M
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O automóvel da senhora 
consome 1 litro de etanol 
a cada 15 quilômetros 
percorridos. 
Com quantos litros de 
etanol devo abastecer o 
carro, se vou percorrer 
240 quilômetros? 
8 torneiras
a) a 5 30; b 5 4 e c 5 10 b) 3 horas c) 4 máquinas
S
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S
Situação 1
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com 
números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de 
espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica.
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade 
direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes 
proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras 
áreas.
O automóvel da senhora 
consome 1 litro de e
a cada 15 quilômetros 
percorridos. 
Toda proporção tem quatro 
emos e dois 
inversamente proporcionais. Depois de cada 
um resolver o problema elaborado pelo outro, 
destroquem para cor
O problema envolve duas grandezas: 
processo, considere as si-
el da senhora 
itro de etanol 
 em três partes iguais; 44
diretamente proporcionais a 2, 
inversamente proporcionais a 2, 
72, 36 e 24
a de criar – Troque com um colega um a de criar
problema, criado por vocês, sobre grandezas 
inversamente proporcionais. Depois de cada 
o problema elaborado pelo outro, 
rigi-los. Resposta pessoal.
Toda proporção tem quatro 
termos, dois extr
meios. Aplicamos a r
de três quando quer
obter um desses termos e 
conhecemos os outros três 
termos. Daí o nome 
zas direta ou inversamente proporcionais po-
resolvidos por meio de um processo 
Toda proporção tem quatro 
de trêsde trêsde trêsde trêsde três
Para produzir 72 litros de sorvete em 30 mi
nutos, seriam necessárias quantas máquinas?
proporcionais a 2, 
inversamente proporcionais a 2, 
as c) 4 máquinas
dades trHabilida
8080
pla de
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de 
números reais
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
científica, envolvendo diferentes oper
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de 
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
números reais
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: 
CAPÍTULO 3
nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com 
, inclusive potências com expoentes fracionários.números reais
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
científica, envolvendo diferentes operações
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de 
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação (EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de (EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de 
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
(EF09MA03) Efetuar cálculos com 
, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
(EF09MA03) Efetuar cálculos com (EF09MA03) Efetuar cálculos com 
, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
ações.
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de 
nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com 
, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
 envolvendo diferentes operações.
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de (EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de 
(EF09MA03) Efetuar cálculos com 
, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
Habilidades trabalhadas
números reais
dades trHabilida plpla Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: 
números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
nesta dupla de páginas: 
, inclusive potências com expoentes fracionários.números reais
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
científica, envolvendo diferentes oper
81BIMESTRE 1
Orientações
Peça aos alunos que façam 
a leitura e acompanhem o 
desenvolvimento da situa-
ção 1. Espera-se que eles ob-
servem que a montagemr 5 2
Substituindo o valor de r 
nas expressões encontradas 
para cada idade, temos:
• x 5 27r
x 5 27 8 2 
x 5 54
• y 5 14r
y 5 28
• z 5 11r
z 5 22
No Manual do Professor – 
Digital poderão ser 
acessadas Propostas de 
Acompanhamento da 
Aprendizagem dos alunos 
com sugestões de questões, 
abertas e de múltipla escolha, 
e fichas para registro do 
desempenho deles neste 
bimestre.
Habilidades trabalhadas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade 
demográfica.
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, 
inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.
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90 CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
 5 Trabalhando 8 horas por dia, 3 pedreiros cons-
truíram metade de um muro em 15 dias. Como 
um pedreiro saiu da equipe, os outros passa-
ram a trabalhar 9 horas por dia para terminar 
o serviço. No total, o muro foi construído em 
quanto tempo? 35 dias
 3 Sabendo que 1.200 frangos consomem 90 kg 
de ração diariamente, calcule quantos quilo-
gramas de ração 2.000 frangos consumirão 
por dia. 150 kg
 1 Uma moto percorreu 225 km em 2,5 h.
a) Qual foi a velocidade média da moto, em 
km/h, nesse percurso? 90 km/h
b) Nessa mesma velocidade, em quanto tempo 
essa moto percorreria 270 quilômetros?
c) Qual é o consumo médio dessa moto se, 
percorrendo 259 km, ela gastou 14 litros 
de combustível? 18,5 km/L
3 horas 
 2 Caatinga (que em tupi-guarani significa “mata 
branca”) é um sistema ambiental exclusiva-
mente brasileiro, encontrado no Nordeste e 
em uma pequena parte de Minas Gerais.
A caatinga abriga a mais povoada região 
semiárida do planeta. São aproximadamente 
24 milhões de pessoas distribuídas em uma 
superfície de 844 mil km2. Qual é a densidade 
demográfica dessa região? 28,44 hab./km2
 4 Em uma exposição de equipamentos, foi 
apresentada uma máquina que, segundo o 
fabricante, varre, lava e enxuga uma área de 
5.100 m2 em 6 horas. Em iguais condições, em 
quantas horas a máquina executará a mesma 
operação em uma área de 11.900 m2 ?
14 horas
 8 (UFU-MG) As idades de um pai e seus dois 
filhos são diretamente proporcionais aos núme-
ros 27, 14 e 11, respectivamente. Se a soma de 
suas idades é de 104 anos, então, as idades 
de cada um deles, na mesma ordem, são:
a) 54 anos, 28 anos e 22 anos.
b) 50 anos, 28 anos e 26 anos.
c) 56 anos, 26 anos e 22 anos.
d) 59 anos, 23 anos e 22 anos.
e) 55 anos, 27 anos e 22 anos.
alternativa a
 6 A reciclagem de uma única latinha de alumínio 
economiza energia suficiente para manter um 
televisor ligado por três horas. Quantas lati-
nhas recicladas são necessárias para manter 
um televisor ligado por um dia inteiro?
8 latinhas
 9 (Unifor-CE) Dividindo-se o número 204 em 
partes diretamente proporcionais aos números 
4 e 
4
1
, a menor das partes será: alternativa b
a) 8. b) 12. c) 34. d) 48. e) 68.
10 Uma rede de televisão fez uma pesquisa entre 
os habitantes de uma cidade cuja popula-
ção é 21.000 pessoas. Foram entrevistadas 
7.500 pessoas, e descobriu-se que 3.000 delas 
assistem aos programas dessa rede. Supondo 
que os resultados da pesquisa sejam propor-
cionais aos que seriam obtidos se todos os 
moradores fossem entrevistados, quantas 
pessoas dessa cidade assistem aos programas 
dessa rede de televisão? 8.400 pessoas
11 Para preservar uma área de floresta equivalente 
a 18 campos de futebol, a cada mês 1.000.000 
de pessoas deveriam usar o verso das folhas de 
papel. Para que a área preservada fosse pelo 
menos a de um campo de futebol, quantas 
pessoas, aproximadamente, deveriam usar o 
verso do papel? 55.556 pessoas
12 (Unifor-CE) Um texto ocupa 6 páginas de 45 li-
nhas cada uma, com 80 letras (ou espaços) em 
cada linha. Para torná-lo mais legível, diminui-
-se para 30 o número de linhas por página e 
para 40 o número de letras (ou espaços) por 
linha. Nas novas condições, o número de pá-
ginas ocupadas pelo texto será: alternativa c
a) 24. b) 21. c) 18. d) 12. e) 9.
13 (UFRGS-RS) Se foram empregados 4 kg de 
fios para tecer 14 m de fazenda com 80 cm 
de largura, quantos quilogramas serão neces-
sários para produzir 350 m de fazenda com 
120 cm de largura? alternativa b
a) 130 c) 160 e) 250
b) 150 d) 180
 7 Uma editora utilizou 6.510 kg de papel para 
produzir 5.000 livros de 280 páginas cada um. 
Se cada livro fosse reduzido a 240 páginas, 
quantos quilogramas de papel seriam consu-
midos na produção de 4.000 desses livros?
4.464 kg
Trabalhando 8 horas por dia, 3 pedreiros cons
truíram metade de um muro em 15 dias. Como 
o saiu da equipe, os outros passa
balhar 9 horas por dia para terminar 
o serviço. No total, o muro foi construído em 
35 dias
A reciclagem de uma única latinha de alumínio 
partes diretamente proporcionais aos números 
4
, a menor das par
a) 8. b) 12. c) 34. d)
Uma rede de televisão fez uma pesquisa entre 
os habitantes de uma cidade cuja popula
ção é 21.000 pessoas. Foram entrevistadas 
pessoas, e descobriu-se que 3.000 delas 
programas dessa rede. Supondo 
quanto tempo? 
A reciclagem de uma única latinha de alumínio 
economiza energia suficiente 
ligado por três horas. Quantas lati
nhas cladas são necessárias 
um televisor ligado por um dia inteir
Uma editora utilizou 
produzir 5.000 livros de 280 páginas cada um. 
Se cada livro fosse reduzido a 240 páginas, 
gramas de papel seriam consu
Trabalhando 8 horas por dia, 3 pedreiros cons-
Em uma exposição de equipamentos, foi 
apresentada uma máquina que, segundo o 
fabricante, varre, lava e enxuga uma área de 
 em 6 horas. Em iguais condições, em 
a máquina executará a mesma 
operação em uma área de 11.900 m2 ?
14 horas
11 Para preservar uma área de floresta equivalente 
a 18 campos de futebol, a cada mês 1.000.000 
de pessoas deveriam usar o verso das folhas de 
papel. 
s, na mesma ordem, são:
 54 anos, 28 anos e 22 anos.
 50 anos, 28 anos e 26 anos.
 56 anos, 26 anos e 22 anos.
 59 anos, 23 anos e 22 anos.
 55 anos, 27 anos e 22 anos.
(Unifor-CE) Dividindo-se o número 204 em 
partes diretamente proporcionais aos números 
tes será: alternativa 
, calcule quantos quilo-
gramas de ração 2.000 frangos consumirão 
os habitantes de uma cidade cuja popula
ção é 21.000 pessoas. Foram entrevistadas 
7.500 pessoas
assistem aos programas dessa rede. Supondo 
que os resultados 
cionais aos que seriam obtidos se todos os 
moradores fossem entrevistados, quantas 
pessoas dessa 
dessa rede de televisão? 
(UFU-MG) As idades de um pai e seus dois 
filhos são diretamente proporcionais aos núme-
ros 27, 14 e 11, respectivamente. Se a soma de 
é de 104 anos, então, as idades 
s, na mesma ordem, são:
alternativa a
No Manual do Professor – 
Propostas de 
Acompanhamento da 
 dos alunos 
com sugestões de questões, 
abertas e de múltipla escolha, 
e fichas para registro do 
desempenho deles neste 
abertas e de múltipla escolha, 
com sugestões de questões, 
abertas e de múltipla escolha, 
 dos alunos 
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lunos lunos 
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s neste 
áfica.
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandez
inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras área
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade 
demográfica.
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade 
Habilidades trabalhadas: 
(EF09MA04) Resolver e elabor
CAPÍTULO 3
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade 
demográfica.
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandez
inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras área
demogrdemogr
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade 
demogr
Habilidades trabalhadas: 
(EF09MA04) Resolver e elabor
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade 
Habilidades trabalhadas: 
(EF09MA04) Resolver e elabor
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade 
demogr
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandez
demogrdemogr
Habilidades trabalhadas: 
(EF09MA04) Resolver e elabor
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade 
demogrdemogr
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandez
Habilidades trabalhadas: 
(EF09MA04) Resolver e elabor
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidadedo 
quadro organiza os dados 
fornecidos pelo problema, 
destaca o valor desconhe-
cido e facilita a análise da 
relação entre as grandezas 
envolvidas, para verificar se 
elas são grandezas direta-
mente proporcionais ou in-
versamente proporcionais. 
Depois disso, aplicamos as 
condições estudadas para o 
respectiva relação de pro-
porcionalidade: direta ou 
inversa.
R
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81CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
Situação 2
As grandezas distância percorrida e consumo de etanol são diretamente propor cio nais, 
pois, se a distância percorrida aumenta, o consumo de etanol aumenta proporcionalmente, 
ou seja, se a distância dobra, triplica…, o consumo de etanol também dobra, triplica… etc.
Logo, a razão entre as distâncias percorridas é igual à razão entre os correspondentes 
consumos de etanol.
Assim, temos a proporção 
x210
180 15
5 , que nos leva ao valor de x.
180x5 15 8 210
.x
180
180
180
3 150
5
x5 17,5
Portanto, esse automóvel gastaria 17,5 litros de etanol para percorrer 210 km.
Velocidade média (em km/h) 60 80
Tempo (em hora) 4 x
As grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais, pois, ao se aumentar 
a velocidade, o tempo de percurso diminui proporcionalmente. Se, por exemplo, a velocidade 
for duplicada, o tempo de percurso será reduzido à metade.
Assim, os produtos dos valores de cada velocidade média e 
dos tempos de percurso correspondentes são iguais:
80x5 60 8 4
Resolvendo a equação, obtemos o valor de x :
x
80
80
80
240
5
x5 3
Portanto, quando Vânia aumentou a velocidade média do automóvel para 80 km/h, o tempo 
que ela levou para percorrer o mesmo trajeto foi de 3 horas.
Ao viajar de automóvel, à velocidade média de 60 km/h, Vânia leva 4 horas para fazer de-
terminado percurso. Certo dia, ela aumentou a velocidade média do automóvel para 80 km/h. 
Vamos calcular o tempo que ela levou para percorrer o mesmo trajeto.
O problema envolve duas grandezas: velocidade, em quilômetro por hora, e tempo, em hora.
Indicando por x o número de horas, montamos este quadro:
Distância percorrida (em km) 180 210
Consumo de etanol (em litro) 15 x
Ao indicar por x o número de litros de etanol que serão consumidos, podemos montar o 
seguinte quadro:
M
O
N
IT
O
 M
A
N
4 x
inversamente proporcionais, pois, ao se aumentar 
a velocidade, o tempo de percurso diminui proporcionalmente. Se, por exemplo, a velocidade 
for duplicada, o tempo de percurso será reduzido à metade.etade.
média e ocidade 
ão iguais:
valor de 
Portanto, quando Vânia aumentou a velocidade média do automóvel para 80 km/h, o tempo 
 percurso. Certo dia, ela aumentou a velocidade média do automóvel para 80 km/h. 
Vamos calcular o tempo que ela levou para percorrer o mesmo trajeto.
, em quilômetro por hora, e tempo, em hora.
envolvidas, para verificar se 
elas são grandezas direta
mente proporcionais ou in
versamente proporcionais. 
Depois disso, aplicamos as 
condições estudadas para o 
respectiva relação de pro
porcionalidade: direta ou 
inversa.
Portanto, esse automóvel gastaria 17,5 litros de etanol para percorrer 210 km.
Ao viajar de automóvel, à velocidade média de 60 km/h, Vânia leva 4 horas para fazer de
 percurso. Certo dia, ela aumentou a velocidade média do automóvel para 80 km/h. 
quadro organiza os dados 
fornecidos pelo problema, 
destaca o valor desconhe-
cido e facilita a análise da 
relação entre as grandezas 
envolvidas, para verificar se 
elas são grandezas direta
mente proporcionais ou in
versamente proporcionais. 
Portanto, quando Vânia aumentou a velocidade média do automóvel para 80 km/h, o tempo 
vou para percorrer o mesmo trajeto foi de 3 horas.
Portanto, quando Vânia aumentou a velocidade média do automóvel para 80 km/h, o tempo 
vou para percorrer o mesmo trajeto foi de 3 horas.
Portanto, quando Vânia aumentou a velocidade média do automóvel para 80 km/h, o tempo 
produtos dos valores de cada velocidade média e 
dos tempos de percurso corr
Resolvendo a equação, obtemos o valor de 
Portanto, quando Vânia aumentou a velocidade média do automóvel para 80 km/h, o tempo 
ores d
 corre
 60 6
Resolvendo a equação, obtemos o valor de 
PoPoPortrtanto
e ela lele
odutos
 de 
Reso
Po
odutos
 de perc
Resolvendo
PoPo
que 
PoPo
que 
ia a
co
ia aumento
correr o mes
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temo
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 equaçãoão, obtemo
x
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x5 3 3
quando Vânia
u para perco
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levou erco
82
Exercícios propostos
Apresentamos uma possível 
resolução para o exercício 
27. Sabemos que 5 tonela-
das de cana-de-açúcar pro-
duzem 350 litros de álcool, 
ou seja, cada 5.000 kg (1 t 5 
5 1.000 kg) de cana pro-
duzem 350 litros de álcool. 
Então:
• 10.000 kg de cana produ-
zem 700 litros de álcool;
• 2.500 kg de cana produ-
zem 175 litros de álcool;
• 12.500 kg de cana produ-
zem 875 litros de álcool.
Podemos organizar em uma 
tabela os dados obtidos:
Quantidade de 
cana-de-açúcar
5.000 
kg
12.500 
kg
?
Produção de 
álcool
350 L 875 L
8.750 
L
Essas grandezas são direta-
mente proporcionais. Ob-
servando a tabela, notamos 
que 8.750 5 10 8 875; logo, a 
quantidade de cana-de-açú-
car procurada é dada por 
10 8 12.500 kg 5 125.000 kg 
ou 125 toneladas.
Aproveite o exercício 28 
para conversar com os alu-
nos sobre atitudes para a 
preservação do meio am-
biente, como a diminuição 
do lixo descartável.
Pense mais um 
pouco...
Peça aos alunos que organi-
zem os dados em um quadro.
Quantidade de pessoas 250 240
Número de dias de 
duração dos alimentos
24 x
A resolução do problema 
pode ser encaminhada do 
seguinte modo: as grande-
zas “quantidade de pesso-
as” e “número de dias” (de 
duração dos alimentos) são 
inversamente proporcionais; 
ao diminuir a quantidade de 
pessoas, o número de dias 
que os alimentos duram au-
menta:
x
24
5
250 
240
240x 5 24 8 250
x 5 25 dias
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes 
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade 
demográfica.
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, 
inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.
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.
82 CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
26 Se 9 metros de tecido custam R$ 117,00, então:
a) quanto custam 12,5 m desse tecido?
b) quantos metros é possível comprar com 
R$ 109,20? 8,4 m
27 Uma usina produz 350 litros de álcool com 
5 toneladas de cana-de-açúcar. Para produzir 
8.750 litros de álcool, são necessárias quantas 
toneladas de cana-de-açúcar ? 125 toneladas
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Pense mais um pouco...
Um navio zarpou para uma viagem carregando alimentos suficientes para 30 dias. Entre passagei-
ros e tripulantes, havia 250 pessoas a bordo. Passados 6 dias, o navio atracou em um porto, onde 
10 passa geiros desembarcaram, desistindo da viagem. Para quantos dias foram suficientes os ali-
mentos restantes? 25 dias
26. a) R$ 162,50
28 No rio que atravessa certa cidade, foram en-
contradas 3 toneladas de peixes mortos, em 
decorrência de um grande vazamento de uma 
indústria química. A prefeitura da cidade con-
tratou 45 funcionários de uma empresa de 
limpeza urbana, que, em 4 dias, retiraram do 
rio todos os peixes mortos.
a) Supondo que a prefeitura tivesse contratadomais 15 funcionários, de mesma produtivi-
dade, quantos dias seriam necessários para 
retirar do rio aquela quantidade de peixes?
b) Para evitar desastres ambientais como esse, 
que atitudes você acha que as empresas 
devem tomar ? Resposta pessoal.
c) Não jogar lixo na rua, separar materiais 
recicláveis e evitar o uso de automóvel para 
percorrer pequenas distâncias são peque-
nas atitudes que podem preservar o meio 
ambiente. Troque ideias com os colegas 
e façam uma lista de outras atitudes que 
podem ser tomadas para ajudar o planeta.
Resposta pessoal.
18,75 kg
29 Uma padaria produz 400 pães com 10 kg de 
farinha de trigo. 
a) Quantos pães ela produzirá com uma saca 
de 60 kg de farinha? 2.400 pães
b) Quantos quilogramas de farinha são neces-
sários para a produção de 750 pães?
30 Para construir uma roda dentada com deter-
minada máquina, perdem-se 30 gramas de 
material. Depois de 10 dias utilizando essa 
máquina, que produz 150 rodas dentadas por 
dia, quantos quilogramas de material serão 
perdidos? 45 kg
31 Um automóvel faz certo percurso em 4,5 horas 
com velocidade média de 80 km/h, consumin-
do 1 litro de etanol a cada 12 quilômetros.
a) Se a velocidade média fosse 90 km/h, esse 
percurso seria feito em quanto tempo? 
b) Desejando-se fazer esse percurso em 5 ho-
ras, qual deve ser a velocidade média do 
automóvel? 72 km/h
4 horas
32 Uma torneira fornece 24 litros de água por 
minuto e enche um tanque em 45 minutos.
a) Duas torneiras iguais a essa encheriam o 
tanque em quantos minutos? 22,5 minutos
b) Para encher o tanque em 15 minutos, se-
riam necessárias quantas dessas torneiras, 
sabendo que agora ele tem um vazamento?
não é possível calcular o número de torneiras
33 Em uma cidade, 600 ônibus transportam 
240.000 pessoas por dia. Para reduzir os gas-
tos, a prefeitura propôs retirar 200 ônibus de 
circulação.
a) Supondo que os usuários desses 200 ônibus 
passem a usar automóveis e que cada auto-
móvel transporte 4 pessoas por dia, quantos 
automóveis serão necessários?
b) O que você acha que acontecerá com o 
trânsito e o meio ambiente da cidade se a 
prefeitura de fato tomar essa medida?
20.000 automóveis
Resposta pessoal.
34 Hora de criar – Troque com um colega um 
problema, criado por vocês, sobre regra de três. 
Depois de cada um resolver o problema elabo-
rado pelo outro, destroquem para corrigi-los. 
Resposta pessoal.
3 dias
podem ser tomadas para ajudar o planeta.
Resposta pessoal.
produz 400 pães com 10 kg de 
pães ela produzirá com uma saca 
de 60 kg de farinha? 2.400 pães
gramas de farinha são neces
odução de 750 pães?
Desejando-se fazer 
ras, qual deve ser a velocidade média do 
automóvel? 72 km/h
Uma torneira fornece 24 litros de água por 
minuto e enche um tanque em 45
Duas torneiras iguais 
tanque em quantos minutos? 
Para encher o tanque em 15 minutos, se
Pense mais um pouco...Pense mais um pouco...
Um navio zarpou para uma viagem carregando alimentos suficientes para 30
ros e tripulantes, havia 250 pessoas a bordo. Passados 6
geiros desembarcaram, 
mentos restantes? 25 dias
Quantos quilogramas de farinha são neces
sários para a produção de 750 pães?
Não jogar lixo na rua, separar materiais 
recicláveis e evitar o uso de automóvel para 
distâncias são peque
podem preservar o meio 
ambiente. Troque ideias com os colegas 
e façam uma lista de outras atitudes que 
podem ser tomadas para ajudar o planeta.
Resposta pessoal.
circulação
a)
dia, quantos quilogramas de material serão 
Um automóvel faz certo percurso em 4,5
com velocidade média de 80 km/h, consumin
o de etanol a cada 12 quilômetros.
a velocidade média fosse 90 km/h, esse 
so seria feito em quanto tempo? 
fazer esse percurso em 5
, qual deve ser a velocidade média do 
, quantos dias seriam necessários para 
peixes?
Para evitar desastres ambientais como esse, 
que atitudes você acha que as empresas 
a)
tanque em qua
Para encher o tanque em 15 minutos, se
riam necessárias 
sabendo que agora ele tem um vazamento?
não é possível calcular o n
33 Em uma cidade, 600 ônibus transportam 
240.000 pessoas 
tos, a prefeitura propôs retirar 200 ônibus de 
Para construir uma roda dentada com deter
minada máquina, perdem-se 30 gramas de 
dias utilizando essa 
rodas dentadas por 
dia, quantos quilogramas de material serão 
horas 
km/h, consumin
240
A resolução do problema 
pode ser encaminhada do 
seguinte modo: as grande
zas “quantidade de pesso
as” e “número de dias” (de 
duração dos alimentos) são 
inversamente 
seguinte modo: as grande
pode ser encaminhada do 
seguinte modo: as grande
A resolução do problema 
pode ser encaminhada do 
A resolução do problema 
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(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade 
demográfica.
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandez
inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras área
 24 
 25 dias
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(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade 
demogr
(EF09MA04) Resolver e elabor 24 
5
 24 
 25 dias
Habilidades 
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elabor
CAPÍTULO 3
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade 
demográfica.
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandez
inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras área
demogrdemogr
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade 
demogr
Habilidades 
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elabor
Habilidades 
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elabor
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade 
demogr
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandez
demogrdemogr
Habilidades 
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elabor
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade 
demogrdemogr
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandez
trabalhadas
(EF09MA04) Resolver e elabor
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade 
55
am au
pessoas, o número de dias 
que os alimentos duram au-
5
240
 24 8 250 24 
 25 dias
83BIMESTRE 1
Para saber mais
Nesta seção, exploramos a 
organização e a análise dos 
quadros montados como 
estratégia de resolução de 
situações que envolvem re-
lações de proporcionalidade 
direta ou inversa.
Sugerimos que as questões 
do Agora é com você! sejam 
desenvolvidas em duplas, 
para propiciar a troca de ex-
periências e a socialização 
de estratégias de resolução. 
Ao final, um representante 
de cada dupla pode mostrar 
na lousa o procedimento 
feito na resolução de algu-
ma questão.
Apresentamos a seguir uma 
possível resolução do item 
d da questão 2.A monta-
gem do quadro propicia aos 
alunos pensarem em que 
porcentagem corresponde 
ao valor integral do relógio 
(550 reais). Espera-se que 
eles concluam que esse va-
lor corresponde a 100%, en-
quanto 38% corresponderá 
ao valor do desconto.
Valor 
(em reais)
Porcentagem
550 100%
x 38%
Como a relação envolvida é 
de proporcionalidade dire-
ta, obtemos a proporção:
550 
x
5
100 
38
100x 5 550 8 38
x 5 209
Logo, o valor do desconto é 
R$ 209,00. 
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
PARA SABER MAIS
Agora é com você!
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83CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
Como as grandezas massa e 
preço são diretamente proporcionais, 
se eu dividir a massa por 2, também 
tenho que dividir o preço por 2... 
... E usando esse mesmo 
raciocínio, descubro o preço 
de 1 kg, dividindo os resultados 
obtidos por 10. 
Assim, Juca descobriu que o preço de 1 kg de cebola é R$ 1,60.
Miriam também fez um quadro para organizar seus cálculos na resolução de um problema.
Em um estádio de futebol existem 8.600 lugares disponíveis. Em certo dia de jogo, 62% 
dos lugares estavam ocupados. Quantos lugares estavam ocupados?
Miriam descobriu que 5.332 lugares estavam ocupados.
 1 Reúna-se com um colega para responder às questões.
a) Como ficaria o quadro de Juca se ele inicialmente dividisse a massa e o preço por 4?
b) Qual foi o raciocínio de Miriam para elaborar o quadro e obter o número de lugares ocu-
pados no estádio?
 2 Faça como Juca e Miriam para resolver os problemas a seguir.
a) Se 18 kg de banana custam R$ 45,00, calcule o preço de 1 kg de banana. R$ 2,50
b) Um automóvel gasta 4 litros de gasolina para percorrer 60 km. Calcule quantos litros de 
gasolina ele gastará ao percorrer 150 km. 10 litros
c) Em um estádio de futebol existem 24.500 lugares. Em um dia de jogo, 48% dos lugares 
desse estádio estavam ocupados. Calcule a quantidade de lugares ocupados nesse dia.
d) Um relógio que custava R$ 550,00 em determinada loja estava na promoção com um 
desconto de 38%. Calcule o valor do desconto. R$ 209,00
c) 11.760
3 69 10
3 29 100
Percentual 100 10 60 1 2 60 1 2 5 62
Número de lugares 8.600 860 5.160 86 172 5.160 1 172 5 5.332
LE
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Resolvendo problemas com o auxílio de um quadro 
Juca resolveu o problema a seguir usando um quadro para organizar seus cálculos. 
Em um supermercado que vende por atacado, 20 kg de cebola custam R$ 32,00. Calcule 
o preço de 1 kg de cebola.
Massa (em kg) 20 10 1
Preço (em real) 32 16 1,6
9 2
9 2
9 10
9 10
1. a)
9 4
9 4
9 5
9 5
Massa (em kg) 20 5 1
Preço (em real) 32 8 1,6
1. b) resposta possível: Inicialmente, 
Miriam associou o total de lugares 
disponíveis a 100%. Depois, 
calculou o número de lugares 
correspondente a 60%, dividindo o percentual e o número de lugares por 10 
e, em seguida, multiplicando os resultados obtidos por 6. Como o percentual 
pedido é 62%, Miriam teve 
de calcular o número correspondente a 2%. 
Ela optou por, primeiro, descobrir o número de lugares correspondente a 1% (dividindo por 100 os valores da 
primeira coluna do quadro) e, em seguida, o número correspondente a 2% (multiplicando os resultados obtidos 
por 2). Para +nalizar seus cálculos, Miriam adicionou os números correspondentes a 60% e 2%.
Reúna-se com um colega para responder às questões.
 Como ficaria o quadro de Juca se ele inicialmente dividisse a massa e o preço por 4?
foi o raciocínio de Miriam para elaborar o quadro e obter o número de lugares ocu
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
disponíveis a 100%. Depois, 
calculou o número de lugares 
correspondente a 60%, dividindo o percentual e o número de lugares por 10 
e, em seguida, multiplicando os resultados obtidos por 6. Como o percentual 
de calcular o número correspondente a 2%. 
ao valor integral do relógio 
d da questão 2
gem do quadro propicia aos 
 Como ficaria o quadro de Juca se ele inicialmente dividisse a massa e o preço por 4?
foi o raciocínio de Miriam para elaborar o quadro e obter o número de lugares ocu
Faça como Juca e Miriam para resolver os problemas a seguir.
 Se 18 kg de banana custam R$ 45,00, calcule o preço de 1 kg de banana. 
4 litros de gasolina para percorrer 60 km. Calcule quantos litros de 
gasolina ele gastará ao percorrer 150 km. 10 litros
existem 24.500 lugares
vam ocupados. Calcule a quantidade de lugares ocupados nesse dia.
va R$ 550,00 em determinada loja estava na promoção com um 
alor do desconto. R$ 209,00
1 2 5 62
86 172 5.160 1 172 5.332
resposta possível: Inicialmente, 
Miriam associou o total de lugares 
disponíveis a 100%. Depois, 
calculou o número de lugares 
correspondente a 60%, dividindo o percentual e o número de lugares por 10 
e, em seguida, multiplicando os resultados obtidos por 6. Como o percentual 
para propiciar 
periências e a socialização 
de estratégias de resolução. 
Ao final, um representante 
de cada dupla pode mostrar 
na lousa o procedimento 
feito na resolução de algu
ma questão.
Apresentamos a seguir uma 
possível resolução do item 
Miriam também fez um quadro para organizar seus cálculos na resolução de um problema.
existem 8.600 lugares disponíveis. Em certo dia de jogo, 62% 
lações de proporcionalidade 
direta ou inversa.
Sugerimos que as questões 
Agora é com você! sejam 
desenvolvidas em duplas, 
propiciar a troca de ex
periências e a socialização 
de estratégias de resolução. 
Ao final, um representante 
vam ocupados. Calcule a quantidade de lugares ocupados nesse dia.
va R$ 550,00 em determinada loja estava na promoção com um 
desconto de 38%. Calcule o v
Ela optou por, primeiro, descobrir o número de lugares correspondente a 1% (dividindo por 100 os valores da Ela optou por, primeiro, descobrir o número de lugares correspondente a 1% (dividindo por 100 os valores da 
primeira coluna do quadro) e, em seguida, o número correspondente a 2% (multiplicando os resultados obtidos 
por 2). Para +nalizar seus cálculos, Miriam adicionou os números correspondentes a 60% e 2%.
que custa
desconto de 38%. Calcule o v
Ela optou por, primeiro, descobrir o número de lugares correspondente a 1% (dividindo por 100 os valores da 
 Como ficaria o quadro de Juca se ele inicialmente dividisse a massa e o preço por 4?
foi o raciocínio de Miriam para elaborar o quadro e obter o número de lugares ocu
pados no estádio?
Faça como Juca e Miriam para resolver os problemas a seguir.
 Se 18 kg de banana custam R$ 45,00, calcule o preço de 1 kg de banana. 
Um 
c)
que custa
gasolina ele gastará ao percor
 Como ficaria o quadro de Juca se ele inicialmente dividisse a massa e o preço por 4?
foi o raciocínio de Miriam para elaborar o quadro e obter o número de lugares ocu
pados no estádio?
Faça como Juca e Miriam para resolver os problemas a seguir.
 Se 18 kg de banana custam R$ 45,00, calcule o preço de 1 kg de banana. 
automóvel 
Em
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gasolina
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r, primeiro, descopri
una do quadro) 
 +nalizar seus 
utomóv
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Em um es
desse es
UmUm rel
descsc
tou por, pri po
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. Para +n
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adro) 
 seus por 2). Para +nalizar seus cálculos, Miriam adicionou os números correspondentes a 60% e 2%.por 2). Para +nalizar seus cálculos, Miriam adicionou os números correspondentes a 60% e 2%.por 2). Para +nalizar seus cálculos, Miriam adicionou os números correspondentes a 60% e 2%.
84
Trabalhando a 
informação
Esta seção apresentauma 
boa oportunidade para pro-
mover uma discussão inter-
disciplinar de temas como o 
da pobreza e da distribuição 
de renda. Nesse sentido, se 
julgar adequado, promova 
um trabalho conjunto com 
os professores de História, 
Geografia e Ciências, cha-
mando a atenção dos alunos 
para o desempenho dos paí-
ses também em outros anos. 
Sugestão de leitura
Para complementar as informações, 
consulte o site do IBGE, que 
disponibiliza um banco de dados 
com diversas informações, entre elas 
os indicadores sociais dos países:
. 
Acesso em: 30 ago. 2018.
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
84 CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
BRASIL
IDH: 0,754
Expectativa de vida 
ao nascer: 74 anos
Mortalidade infantil 
(morte/mil nascidos): 17,5
NE
LO
SE
S
N
NO
SO
1.030 km
Construindo gráficos 
de barras e de colunas
Fred observou o infográfico ao lado e resol-
veu fazer um gráfico de barras para comparar a 
taxa de mortalidade infantil (dados estimados 
para 2017) dos países em destaque. Ele usou 
os dados de uma morte para cada mil nascidos.
Para o gráfico não ficar muito grande, Fred 
estabeleceu 10 cm de comprimento para a 
barra correspondente à maior porcentagem 
( Paquistão – 52,1 mortes/mil nascidos). A seguir, 
ele calculou o comprimento das outras barras 
por meio da regra de três. Observe dois cálculos 
que ele fez.
País
Mortalidade infantil 
(morte/mil nascidos)
Comprimento 
da barra (cm)
Paquistão 52,1 10
Bangladesh 31,7 y
País
Mortalidade infantil 
(morte/mil nascidos)
Comprimento 
da barra (cm)
Paquistão 52,1 10
Indonésia 22,7 x
Assim, as barras referentes à Indonésia e a Bangladesh ficaram com 
4,4 cm e 6,1 cm, respectivamente.
,
,
y31 7
52 1 10
5 ] 52,1y5 317 ] y5
,52 1
731
q 6,1
,
,
x22 7
52 1 10
5 ] 52,1x5 227 ] x5
,52 1
227
q 4,4
Dados obtidos em: CIA. Disponível em: . Acesso em: 01 dez. 2017.
Dados obtidos em: CIA. Disponível em: . Acesso em: 01 dez. 2017.
A POBREZA NO MUNDO
O IDH (Índice de 
Desenvolvimento Humano) 
é uma medida que classifica 
os países pelo seu nível 
de desenvolvimento com 
base em três dimensões: 
renda, educação e saúde. 
Veja no mapa o IDH e a 
situação de alguns países 
relativa a outros dois índices: 
a expectativa de vida ao 
nascer e a mortalidade 
infantil por mil nascidos.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com 
números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de 
espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica.
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de 
proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, 
divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, 
ambientais e de outras áreas.
(EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade 
social e comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas 
de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o 
apoio de planilhas eletrônicas.
Mortalidade infantil 
(morte/mil nascidos)
52,1
] 52,1x5 227 ] 
BRASIL
IDH: 0,754
tativa de vida 
er: 74 anos
Mortalidade infantil 
te/mil nascidos): 17,5
til por mil nascidostil por mil nascidostil por mil nascidostil por mil nascidostil por mil nascidos
as barras referentes à Indonésia e a Bangladesh ficaram com 
4,4 cm e 6,1 cm, respectiv
,
,
31 7
52 1 10
Dados obtidos em: CIA. Disponível em: . Acesso em: 01 dez. 2017.
227
cidos) da barr
el em: . Acesso em: 01 dez. 2017.
situação de alguns países 
relativa a outros dois índices: 
tativa de vida ao 
talidade 
Expec
ao nasc
Mortalidade infantil 
(morte/mil nascidos): 17,5
Comprimento 
da barra (cm)
4,4 cm e 6,1 cm, r
dades trHabilida
8484
4,
pla de
 c
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de 
, como velocidade e densidade demográfica.
números reais
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
científica, envolvendo diferentes oper
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de 
espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica.
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de (EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de 
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
números reais
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: 
CAPÍTULO 3CAPÍTULO 3
nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com 
números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
científica, envolvendo diferentes operações
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de 
espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica., como velocidade e densidade demográfica.
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de 
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de (EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de 
, como velocidade e densidade demográfica.
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de 
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de (EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de 
, como velocidade e densidade demográfica.
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de 
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de 
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
(EF09MA03) Efetuar cálculos com 
, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
(EF09MA03) Efetuar cálculos com (EF09MA03) Efetuar cálculos com 
, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
ações.
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de 
, como velocidade e densidade demográfica.
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de (EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de 
nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com 
, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
 envolvendo diferentes operações.
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de 
espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica.
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de 
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de (EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de 
, como velocidade e densidade demográfica.
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de 
(EF09MA03) Efetuar cálculos com 
, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
Habilidades trabalhadas
números reais
dades trHabilida plpla 
 com
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: 
números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notaçãonesta dupla de páginas: 
números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
científica, envolvendo diferentes oper
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de 
85BIMESTRE 1
Agora quem trabalha 
é você!
Na questão 2, devemos pri-
meiro organizar os dados 
em uma tabela consideran-
do a altura da coluna cor-
respondente ao país que 
tem a maior expectativa de 
vida (a China) igual a 10 cm 
e, assim, determinar as altu-
ras das demais colunas pro-
porcionalmente aos anos de 
expectativa de vida dos de-
mais países. 
Expectativa de vida ao nascer
País
Expectativa 
de vida 
(em anos)
Altura da 
coluna 
(em cm)
Brasil 74 9,8
Paquistão 68,1 9,0
Quênia 64,3 8,5
Etiópia 62,6 8,3
Bangladesh 73,4 9,7
Índia 68,8 9,1
China 75,7 10,0
Indonésia 73 9,6
Dados obtidos em: CIA. Disponível 
em: . Acesso em: 09 out. 2018.
De acordo com os dados da 
tabela, construímos o gráfi-
co a seguir.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
A
no
Países
74 73,4
68,8
75,7
73
64,3 62,6
68,1
Expectativa de vida ao nascer
Bra
si
l
Pa
qu
ist
ão
Qu
ên
ia
Et
ióp
ia
Ba
ng
lad
es
h
Índ
ia
Ch
ina
Ind
on
és
ia
Dados obtidos em: CIA. Disponível 
em: . Acesso em: 09 out. 2018.
85CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
PAQUISTÃO
IDH: 0,550
Expectativa de 
vida ao nascer: 
68,1 anos
Mortalidade 
infantil (morte/
mil nascidos): 52,1
QUÊNIA
IDH: 0,555
Expectativa de 
vida ao nascer: 
64,3 anos
Mortalidade 
infantil (morte/
mil nascidos): 37,1
BANGLADESH
IDH: 0,579
Expectativa de 
vida ao nascer: 
73,4 anos
Mortalidade 
infantil (morte/
mil nascidos): 31,7
CHINA
IDH: 0,738
Expectativa de 
vida ao nascer: 
75,7 anos
Mortalidade 
infantil (morte/
mil nascidos): 12,0
ÍNDIA
IDH: 0,624
Expectativa de 
vida ao nascer: 
68,8 anos
Mortalidade 
infantil (morte/
mil nascidos): 39,1
INDONÉSIA
IDH: 0,689
Expectativa de 
vida ao nascer: 
73 anos
Mortalidade 
infantil (morte/
mil nascidos): 22,7
ETIÓPIA
IDH: 0,448
Expectativa de 
vida ao nascer: 
62,6 anos
Mortalidade 
infantil (morte/
mil nascidos): 49,6
Baixo
Médio
Alto
Muito alto
IDH
Dados obtidos em: CIA. Disponível em: . Acesso em: 01 dez. 2017.
A
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 P
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T
E
L
1 Calcule o comprimento das barras referentes aos outros países destacados no infográfico e faça o 
mesmo gráfico que Fred fez. 
2 Elabore um gráfico de colunas comparando a expectativa de vida ao nascer desses países. (Sugestão: 
deixe a coluna maior com 10 cm de altura.) construção de grá$co
3 Comparando os países destacados no infográfico, responda: o país com a maior taxa de mortalidade 
infantil é o que tem o menor IDH? Escreva uma explicação para isso. 
Brasil: 3,6 cm; China: 2,3 cm; Etiópia: 9,5 cm; Índia: 7,5 cm; Quênia: 7,1 cm.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Agora quem trabalha é você!
Não, porque o IDH é composto também de outras variáveis.
W
L
A
M
IR
 M
IA
S
IR
O
ww.cia.gov/library/publications/ww.cia.gov/library/publications/Dados obtidos em: CIA. Disponível em: . Acesso em: 01 dez. 2017.resources/the-world-factbook/rankorder/2102rank.html>. Acesso em: 01 dez. 2017.
mil nascidos): 12,0
Dados obtidos em: CIA. Disponível 
Bangladesh
Índia
China
o comprimento das barras referentes aos outros países destacados no infográfico e faça o 
gráfico de colunas comparando a expectativa de vida ao nascer desses países. (
construção de g
ográfico, responda: o país com a maior taxa de mortalidade 
Brasil: 3,6 cm; China: 2,3 cm; Etiópia: 9,5 cm; Índia: 7,5 cm; Quênia: 7,1 cm.
mil nascidos): 39,1
infan
mil nascidos): 22,7
porcionalmente aos anos de 
expectativa de vida dos de
mais países. 
Expectativa de vida ao nas
País
Expectativa 
de vida 
(em anos)
Altur
Brasil
Paquistão
Quênia 64,3
INDONÉSIAINDONÉSIAINDONÉSIAINDONÉSIAINDONÉSIAINDONÉSIA
IDH: 0,689IDH: 0,689IDH: 0,689IDH: 0,689IDH: 0,689IDH: 0,689IDH: 0,689
tativa de tativa de tativa de tativa de tativa de tativa de tativa de tativa de ExpecExpec
vida ao nascer: vida ao nascvida ao nascvida ao nascvida ao nascvida ao nascer: vida ao nascer: vida ao nascvida ao nasc
73 anos73 anos73 anos73 anos73 anos73 anos
Mortalidade Mortalidade Mortalidade Mortalidade Mortalidade Mortalidade 
til (morte/infantil (mortil (mor
mil nascidos): 22,7mil nascidos): 22,7mil nascidos): 22,7
respondente ao país que 
tem a maior expectativa de 
vida (a China) igual a 10 cm 
e, assim, determinar as altu-
ras das demais colunas pro
porcionalmente aos anos de 
expectativa de vida dos de
a de vida ao nas
e a coluna maior com 10 cm de altura.) 
destacados 
infantil é o que tem o menor IDH? Escrev
que o IDH é composto t
e a coluna maior com 10 cm de altura.) 
países 
infantil é o que tem o menor IDH? Escrev
Calcule o comprimento das barras referentes aos outros países destacados no infográfico e faça o 
mesmo g
Elabore 
deix
a quem trabalha é v
e a coluna maior com 10 cm de altura.) 
ráfico que F
o comprimento das barras referentes aos outros países destacados no infográfico e faça o 
ráfico que F
abalha é v
ore 
deixe 
icáfic
ore um
deixe a co
CoCompmp
infant
Não
Ca
a quem
Calcule o 
mesmo 
2 Elab
de
3 
a quem traba
0 cm
es d
 o
0 cm d
es destacado
 o menor IDH
é composto t
ba
ez. 
colu
om
mprimento das ba
ico que Fred fez. 
ráfico de colu
na maiaioror c comom
ando os países
 é o que tem o
lha é você!
orqorque o IDH o IDH ue o IDH ue o IDH ue o I
mprime
áfico qu
um gráfi
a coluna
mparando
fantil é o
Não, porq
em o
DH é cDH é cé cque o IDH é compostque o IDH é compost ambém de outrambém de outrambém de outrambém de outrambém de outrque o IDH é compostque o IDH é compost
86
Regra de três 
composta
Aplicando as relações de 
proporcionalidade direta 
e inversa na resolução de 
problemas que envolvem 
a variação de mais de duas 
grandezas dependentes, o 
processo de resolução de-
senvolvido, nesse caso, será 
uma regra de três compos-
ta. No entanto, a avaliação 
entre as grandezas é feita 
de duas em duas, conside-
rando as demais com valores 
constantes, para determinar 
quais das grandezas são di-
retamente proporcionais e 
quais são inversamente pro-
porcionais.
Trabalhe com a situação 1
na lousa, pedindo aos alu-
nos que auxiliem e justifi-
quem cada etapa desen-
volvida. A montagem dos 
quadros passo a passo mos-
tra a estratégia utilizada e 
possibilita verificar a pro-
priedade concluída ao final.
R
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. 
1
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 1
9
9
8
.
86 CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
Situação 1
Número de funcionários Tempo (em dias) Preço (em reais)
80 120 5.000
150 100 x
Número de funcionários Tempo (em dias) Preço (em reais)
80 120 5.000
150 120 z
Fixando o número de dias em 120, temos número de fun cionários e preço como grandezas. 
Assim, é possível determinar o preço em reais que essa empresa pagaria para fornecer o café 
da manhã para 150 funcionários durante 120 dias. Vamos indicar esse preço por z.
As grandezas número de funcionários e preço são diretamente proporcionais. Então, po-
demos escrever a proporção abaixo e determinar o valor de z.
6 Regra de três composta
O processo usado para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas, direta 
ou inversamente proporcionais, é chamado de regra de três composta.
Considere as situações a seguir, que envolvem três grandezas.
Uma empresa fornece café da manhã 
para 80 funcionários, gerando-lhe um 
custo de R$ 5.000,00 para um período 
de 120 dias. Vamos calcular quantoessa empresa gastaria para fornecer o 
mesmo café da manhã para 150 funcio-
nários, durante 100 dias.
Vamos chamar de x o preço em reais 
desse café da manhã para 150 funcio-
nários durante 100 dias. Para facilitar, 
vamos dispor em um quadro os dados 
das grandezas.
Agora, fixando o número de funcionários em 150, temos as grandezas tempo e preço. 
Então, vamos encontrar o valor de x, que é o preço do café da manhã para 150 funcio ná rios 
durante 100 dias.
LE
O
N
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R
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IÇ
Ã
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.
z150
80 5 000
5
80z5 150 8 5.000
.z
80
80
80
750 000
5
z5 9.375
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com 
números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de 
espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica.
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade 
direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes 
proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras 
áreas.
o de funcionárioso de funcionários
80
150
número de funcionários e 
crever a proporção abaixo e determinar o valor de crever a proporção abaixo e determinar o valor de 
Agora, fixando o número de funcionários em 150, temos as grandezas 
vamos encontrar o valor de 
100
Tempo (em dias) Preço (em reais)
120
o número de dias em 120, temos número de fun
é possível determinar o preço em reais que essa empresa pagaria para fornecer o café 
a 150 funcionários durante 120 dias. Vamos indicar esse pr
Tempo (em dias) Preço (em reais)Tempo (em dias) Preço (em reais)
120
o de fun cionários 
O processo usado para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas, direta 
Então, 
demos es
dades trHabilida
8686
En
pla de
de
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de 
números reais
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
científica, envolvendo diferentes oper
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de 
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
números reais
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: 
CAPÍTULO 3
nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com 
, inclusive potências com expoentes fracionários.números reais
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
científica, envolvendo diferentes operações
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de 
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação (EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de (EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de 
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
(EF09MA03) Efetuar cálculos com 
, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
(EF09MA03) Efetuar cálculos com (EF09MA03) Efetuar cálculos com 
, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
ações.
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de 
nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com 
, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
 envolvendo diferentes operações.
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de (EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de 
(EF09MA03) Efetuar cálculos com 
, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
Habilidades trabalhadas
números reais
dades trHabilida plpla Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: 
números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
nesta dupla de páginas: 
, inclusive potências com expoentes fracionários.números reais
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
científica, envolvendo diferentes oper
87BIMESTRE 1
Orientações
Analise com os alunos o de-
senvolvimento da mesma 
situação com a aplicação 
da propriedade concluída 
anteriormente. Ao analisar 
duas grandezas de cada vez, 
estamos considerando men-
talmente os quadros feitos 
passo a passo.
Sugestão de leitura
Para ampliar este trabalho, sugerimos:
.
Acesso em: 30 ago. 2018.
R
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. A
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 1
9
9
8
.
87CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
Número de funcionários Tempo (em dias) Preço (em reais)
80 120 5.000
150 100 x
As grandezas tempo e preço são diretamente proporcionais. Então, podemos escrever a 
proporção abaixo e determinar o valor de x.
.
x100
120 9 375
5
120x5 100 8 9.375
.x
120
120
120
937 500
5
x5 7.812,5
Portanto, o preço que a empresa pagaria para fornecer o café da manhã para 150 funcio-
nários durante 100 dias é R$ 7.812,50.
Observe que a grandeza preço é diretamente proporcional à grandeza tempo e à grandeza 
número de funcionários. Essa relação conduz a outra forma de resolução desse problema, 
por meio da aplicação da seguinte propriedade:
Se uma grandeza é proporcional a outras grandezas, então ela é 
proporcional ao produto dessas outras grandezas.
Observe o quadro abaixo com os dados iniciais dessa situação.
Vamos resolver esse problema aplicando a propriedade apresentada acima.
.
.
.
x
5 000
15 000
9 600
5
9.600x 5 5.000 8 15.000
.
.
.
. .x
9 600
9 600
9 600
75 000 000
5
x5 7.812,5
Número de funcionários Tempo (em dias) Preço (em reais)
150 120 9.375
150 100 x
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A razão entre os preços é 
igual ao produto da razão entre o 
número de funcionários pela razão 
entre o número de dias.
razão entre o número 
de funcionários
razão entre o 
número de dias
razão entre 
os preços
8
.
x
5 000
150
80
100
120
5
Vamos resolver esse problema aplicando a propriedade apresentada acima.
A razão entr
igual ao produto da razão entr
número de funcionários pela razão 
entre o número de dias.
razão entre o número 
Portanto, o preço que a empresa pagaria para fornecer o café da manhã para 150 funcio-
 e à grandeza 
. Essa relação conduz a outra forma de resolução desse problema, 
re o 
 dias
Tempo (em dias) Preço (em reais)
5.000
Vamos resolver esse problema aplicando a propriedade apresentada acima.
Para ampliar este trabalho, sugerimos:
https://mundoeducacao.bol.uol.
com.br/matematica/regra-tres-
composta.htm>.
Acesso em: 30 ago. 2018.
. Essa relação conduz a outra forma de resolução desse problema, 
grandeza é proporcional a outras grandezas, então ela é 
grandezas 
estamos considerando men
talmente os quadros feitos 
passo a passo.
Sugestão de leitura
Para ampliar este trabalho, sugerimos:
https://mundoeducacao.bol.uol.
com.br/matematica/regra-tres-
75 000 00075 000 000
 7.812,5
75 000 000
x
00
100
9.
ços
x
ços
x
000 0. .
12
9 600.
000 000. .. .
12,5
75
0
00
75
0
x
00
15 000.
9 600.
5
600x 5 5.000
x
9 6. 00
9 6. 00 7575
5
x5 7.812
100
x
9.600x
9 6
9 6.
12
88
Orientações
Inicialmente, proponha a si-
tuação 2 na lousa para que 
os alunos, reunidos em du-
plas, possam resolvê-la no 
caderno. Depois, peça a eles 
que acompanhem aresolu-
ção apresentada no livro e 
comparem com as estraté-
gias que usaram para veri-
ficar se precisam modificar 
alguma coisa. A discussão 
entre colegas é importante 
para a exposição de ideias, 
a busca de justificativas para 
procedimentos e a análise 
e a comparação com o de-
senvolvimento do livro. Ao 
final, organize uma roda de 
conversa para discutir as di-
ficuldades que encontraram 
e para socializar as estraté-
gias utilizadas pelas duplas.
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 1
9
9
8
.
88 CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
Em uma indústria, 5 máquinas iguais produzem 
600 peças em 5 dias.
Vamos calcular quantas dessas máquinas pro-
duziriam 720 peças em 3 dias.
Vamos dispor os dados em um quadro e chamar 
de x o número de máquinas que produziriam 720 peças em 3 dias.
Fixando o número de dias em 5, temos as grandezas número de máquinas e número de 
peças. Então, vamos determinar o número de máquinas que produziriam 720 peças em 5 dias, 
indicando-o por z.
As grandezas número de máquinas e número de peças são diretamente proporcionais. 
Então, podemos escrever a proporção abaixo e determinar o valor de z.
As grandezas número de máquinas e tempo são inversamente proporcionais. Então, a razão 
entre o número de máquinas é igual ao inverso da razão entre o número de dias.
Número de máquinas Número de peças Tempo (em dias)
5 600 5
x 720 3
Número de máquinas Número de peças Tempo (em dias)
5 600 5
z 720 5
Número de máquinas Número de peças Tempo (em dias)
6 720 5
x 720 3
Fixando o número de peças em 720, vamos agora trabalhar com as grandezas número de 
máquinas e tempo. Então, encontramos o valor de x, que é o número de máquinas que pro-
duziriam 720 peças em 3 dias.
z
5
720
600
5
600z5 5 8 720
.z
600
600
600
3 600
5
z5 6
x
6
5
3
5
3x5 30
x
3
3
3
30
5
x5 10
Portanto, o número de máquinas que produziriam 720 peças em 3 dias é 10.
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 é o inverso de 5
3
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Situação 2
S
ID
N
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Y
 M
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IR
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S
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com 
números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de 
espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica.
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de 
proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, 
divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, 
ambientais e de outras áreas.
número de máquinas
Número de máquinas Númer
6
x
o número de peças em 720, vamos agora trabalhar com as grandezas 
. Então, encontramos o valor de 
duziriam 720 peças em 3 dias.
número de máquinas
. Então, vamos determinar o número de máquinas que produziriam 720 peças em 5 dias, 
são diretament
Tempo (em dias)o de peças
5
As grandezas número de máquinas
e o número de máquinas é igual ao in
x
6 3
3x
3
3
x5
o número de peças em 720, vamos agora trabalhar com as grandezas 
. Então, encontramos o valor de 
z
600z5 5 
z
600
3 600.
5
z
o de máquinas e 
. Então, vamos determinar o número de máquinas que produziriam 720 peças em 5 dias, 
5
3
número de peças são 
crever a proporção abaixo e determinar o valor de 
720
720
600
 720
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dades trHabilida
8888
pla de
enen
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de 
números reais
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
científica, envolvendo diferentes oper
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de 
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
números reais
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: 
CAPÍTULO 3
nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com 
, inclusive potências com expoentes fracionários.números reais
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
científica, envolvendo diferentes operações
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de 
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação (EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de (EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de 
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
(EF09MA03) Efetuar cálculos com 
, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
(EF09MA03) Efetuar cálculos com (EF09MA03) Efetuar cálculos com 
, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
ações.
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de 
nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com 
, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
 envolvendo diferentes operações.
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de (EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de 
(EF09MA03) Efetuar cálculos com 
, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
Habilidades trabalhadas
números reais
dades trHabilida plpla Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: 
números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
nesta dupla de páginas: 
, inclusive potências com expoentes fracionários.números reais
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação 
científica, envolvendo diferentes oper
89BIMESTRE 1
Exercícios propostos
Neste bloco, os exercícios 
também podem ser resolvi-
dos em duplas, o que pro-
piciará a ampliação de re-
pertório de estratégias de 
resolução dos alunos.
Na correção, convide um re-
presentante de cada dupla 
para apresentar na lousa 
possíveis resoluções, envol-
vendo toda a turma no de-
senvolvimento de cada reso-
lução.
No exercício 41, o desafio 
é que os alunos compre-
endam que devem obter o 
valor a ser acrescido corres-
pondente aos novos fun-
cionários, pois o contrato 
anterior já engloba os 72 
funcionários que a empresa 
possuía. Assim, precisamos 
descobrir que valor será 
cobrado para fornecer re-
feições para 8 funcionários 
por 40 dias (tempo que falta 
para completar o contrato). 
Montamos o quadro corres-
pondente a essa situação:
Número de 
funcionários
Tempo 
(em dias)
Valor 
(em reais)
72 60 dias 13.824
8 40 dias x
Analisando as grandezas do 
quadro em relação ao valor 
(grandeza que contém a in-
cógnita), temos: 
• “número de funcionários” 
e “valor” são diretamente 
proporcionais (duplicando 
o número de funcionários, 
o valor cobrado é duplica-
do etc.);
• “tempo” e “valor” tam-
bém são grandezas dire-
tamente proporcionais 
(duplicando o tempo de 
fornecimento, o valor é 
duplicado etc.).
Assim, obtemos:
13.824 
x
5
72 
8
8
60 
40
13.824 
x
5
9 
1
8
3 
2
27x 5 13.824 8 2
x 5 1.024
Esse é o valor cobrado pelos 8 funcionários, ou seja, é o valor a ser acrescido no contrato original:
Valor novo 5 13.824 1 1.024 5 14.848
Logo, o valor do novo contrato é R$ 14.848,00. 
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89CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
Vamos resolver novamente esse problema aplicando a propriedade estudada.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
37 Uma gráfica tem 5 máquinas iguais que 
imprimem 36.000 panfletos em duas horas. 
Considerando que duas dessas máquinas não 
estejam funcionando, calcule em quanto tempo 
as restantes imprimiriam 27.000 exemplares do 
mesmo panfleto. 2 h 30 min
35 Em um restaurante, 150 fregueses consomem 
3.000 esfirras em 5 dias. Calcule quantas es-
firras 200 fregueses vão consumir em 30 dias, 
admitindo que todos esses fregueses tenham 
hábitos iguais. 24.000 es!rras
As grandezas número de máquinas e número de peças são diretamente proporcionais. No 
entanto, as grandezas número de máquinas e tempo são inversamente proporcionais. Assim, 
temos:
Número de máquinas Número de peças Tempo (em dias)
5 600 5
x 720 3
.
.
x
5
3 600
1 800
5
1.800x5 5 8 3.600
.
.
.
.x
1 800
1 800
1 800
18 000
5
x5 10
razão entre o número de peças
razão inversa entre o número de dias
razão entre o número de máquinas
8
x
5
720
600
5
3
5
38 Nove amigos foram acampar por 6 dias. Para 
isso, levaram alimento suficiente, calculando 
4 refeições diárias. Se chegassem mais 3 ami-
gos e o grupo fizesse 3 refeições diárias, a quan-
tidade de alimento que levaram inicialmente 
seria suficiente para quanto tempo? 6 dias
36 Uma jovem percorreu 320 km em 10 dias, 
andando, a pé, 8 horas por dia. Quantos 
quilômetros ela poderia percorrer em 8 dias, 
na mesma velocidade, se andasse 12 horas 
por dia? 384 km
39 Se 4 tratores iguais realizam um serviço em 
10 dias, trabalhando 8 horas por dia, calcule 
em quantos dias esse serviço seria realizado 
com 2 tratores trabalhando 10 horas por dia.
40 Em 4 horas, 9 pessoas colhem uma quanti-
dade de laranjas que preenche um total de 
360 caixas. Quantas pessoas, que trabalham 
no mesmo ritmo das demais, colhem a quan-
tidade necessária para preencher 510 caixas 
em 3 horas? 17 pessoas
41 Uma empresa foi contratada para fornecer 
refei ções a 72 funcionários, durante 60 dias, 
por R$ 13.824,00. Vinte dias depois, foram 
contratados mais 8 funcionários. Qual é o valor 
do novo contrato? R$ 14.848,00
42 Hora de criar – Troque com um colega um 
problema, criado por vocês, sobre regra de 
três composta. Depois de cada um resolver o 
problema elaborado pelo outro, destroquem 
para corrigi-los. Resposta pessoal.
16 dias
Em 4 horas, 9 pessoas colhem uma quanti
dade de laranjas que preenche um total de 
360 caixas. Quantas pessoas, que trabalham 
no mesmo ritmo das demais
tidade necessária para preencher 
em 3 horas? 17 pessoas
Uma empresa foi contratada para fornecer 
feições para 8 funcionários 
funcionários que a empresa 
possuía. Assim, precisamos 
as restantes imprimiriam 27.000 exemplares do 
Nove amigos foram acampar por 6 dias. Para 
, levaram alimento suficiente, calculando 
41 Uma empresa foi contratada para fornecer 
refei ções a 72 funcionários, durante 60 dias, 
por R$ 13.824,00. Vinte dias depois, foram 
contratados mais 8 funcionários. Qual é o valor 
do no
42
problema, criado por vocês, sobre regra de 
três composta. 
problema elaborado pelo outro, destroquem 
4 tratores iguais realizam um serviço em 
, trabalhando 8 horas por dia, calcule 
dias esse serviço seria realizado 
com 2 tratores trabalhando 10 horas por dia.
Em 4 horas, 9 pessoas colhem uma quanti
possíveis resoluções, envol
vendo toda a turma no de
senvolvimento 
lução.
No exercício 41, o desafio 
é que os alunos compre
endam que devem obter o 
valor a ser acrescido corres
pondente aos novos fun
cionários, pois o contrato 
anterior já engloba os 72 
resolução dos alunos.
Na correção, convide um re
presentante de cada dupla 
para apresentar na lousa 
possíveis resoluções, envol
vendo toda a turma no de
senvolvimento de cada res
, o desafio 
4 refeições diárias. Se chegassem mais 3 ami
gos e o grupo fizesse 3 refeições diárias, a quan
aram inicialmente 
seria suficiente para quanto tempo? 
4 refeições diárias. Se chegassem mais 3 ami
gos e o grupo fizesse 3 refeições diárias, a quan
alimento que 
seria suficiente para quanto tempo? 
Uma gráfica tem 5 máquinas iguais que 
imprimem 36.000 panfletos em duas horas. 
Considerando 
estejam funcionando, calcule em quanto tempo 
as restantes imprimiriam 27.000 exemplares do 
mesmo panf
Nove amigos foram acampar por 6 dias. Para 
isso, levaram alimento suficiente, calculando 
4 refeições diárias. Se chegassem mais 3 ami
gos e o grupo fizesse 3 refeições diárias, a quan
4 refeições diárias. Se chegassem mais 3 ami
Nove amigos foram acampar por 6 dias. Para Nove amigos foram acampar por 6 dias. Para 
mesmo panfleto
Uma gráfica tem 5 máquinas iguais que Uma gráfica tem 5 máquinas iguais que 
leva
refe
go
Esse é o
migo
levara
refeiçõe
gos e o 
titidadade
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em
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esteja
as
38
áfica tem 
em 36.00
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estejam func
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 dua
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mprimi
quinquinas i
nfletos em d
 duas dessas máq
ndo, calcule em qu
mprimiriam 27.000 ex
leto. 2 h 30 min
foram acampa
alimento suf
diáriaias.s. S Se e chch
upo fizesse 3 re
alimento que
ficiente para qu
leto. 
gos fora
varam al
ições diár
o o grgrupupo 
de de al
ria sufici a 
Valor novo 
Logo, o valor do novo contrato é R$ 14.848,00. Logo, o valor do novo contrato é R$ 14.848,00. 
Valor novo Valor novo 
Esse é o valor cobrado pelos 8 funcionários, ou seja, é o valor a ser acrescido no contrato original:Esse é o valor cobrado pelos 8 funcionários, ou seja, é o valor a ser acrescido no contrato original:Esse é o valor cobrado pelos 8 funcionários, ou seja, é o valor a ser acrescido no contrato original:Esse é o valor cobrado pelos 8 funcionários, ou seja, é o valor a ser acrescido no contrato original:Esse é o valor cobrado pelos 8 funcionários, ou seja, é o valor a ser acrescido no contrato original:
Valor novo 1 1.024 5 14.848
Logo, o valor do novo contrato é R$ 14.848,00. Logo, o valor do novo contrato é R$ 14.848,00. Logo, o valor do novo contrato é R$ 14.848,00. 
Esse é o valor cobrado pelos 8 funcionários, ou seja, é o valor a ser acrescido no contrato original:
Logo, o valor do novo contrato é R$ 14.848,00. 
Esse é o valor cobrado pelos 8 funcionários, ou seja, é o valor a ser acrescido no contrato original:
 14.848
Logo, o valor do novo contrato é R$ 14.848,00. 
Esse é o valor cobrado pelos 8 funcionários, ou seja, é o valor a ser acrescido no contrato original:
 14.848
Logo, o valor do novo contrato é R$ 14.848,00. 
Esse é o valor cobrado pelos 8 funcionários, ou seja, é o valor a ser acrescido no contrato original:
Logo, o valor do novo contrato é R$ 14.848,00. 
Esse é oEs elEsse é o valor cobrado pelos 8 funcionários, ou seja, é o valor a ser acrescido no contrato original:
Valor novo 5 13.824 
Logo, o valor do novo contrato é R$ 14.848,00. 
Esse é o valor cobrado pelos 8 funcionários, ou seja, é o valor a ser acrescido no contrato original:
Valor novo 13.824 1 1.024 
Logo, o valor do novo contrato é R$ 14.848,00. 
90
Exercícios 
complementares
No bloco, os alunos têm a 
oportunidade de revisitar os 
principais conceitos traba-
lhados neste capítulo. Veri-
fique se ainda apresentam 
dificuldade em algum deles 
e, se for o caso, sugira que 
refaçam atividades referen-
tes a tais assuntos.
No exercício 8, vamos indi-
car a idade do pai por x e 
a idade de cada um de seus 
dois filhos por y e z, respec-
tivamente. Sendo assim, sa-
bemos que:
• x, y e z são diretamente 
proporcionais a 27, 14 e 11
• x 1 y 1 z 5 104
Então, temos: x
27
5
y
14
5 
5
z
11
5 r. Daí, obtemos:
• x
27
5 r Æ x 5 27r
• y
14
5 r Æ y 5 14r
• x
11
5 r Æ z 5 11r
• x 1 y 1 z 5 104 
27r 1 14r 1 11r 5 104 
52r 5 104