planejamento 3A1A

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**4.** O que é o valor da série infinita: 
\[ 
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} 
\] 
A) \(\frac{\pi^2}{6}\) 
B) 1 
C) 2 
D) \(\frac{\pi}{4}\) 
**Resposta:** A) \(\frac{\pi^2}{6}\) 
**Explicação:** Esta é uma série convergente conhecida como a soma dos recíprocos 
dos quadrados, que converge para \(\frac{\pi^2}{6}\). 
 
**5.** Calcule a integral: 
\[ 
\int x e^{x^2} \, dx 
\] 
A) \(\frac{1}{2} e^{x^2} + C\) 
B) \(e^{x^2} + C\) 
C) \(-\frac{1}{2} e^{x^2} + C\) 
D) \(2 e^{x^2} + C\) 
**Resposta:** A) \(\frac{1}{2} e^{x^2} + C\) 
**Explicação:** Usando a substituição \(u = x^2\), \(du = 2x \, dx\), obtemos a integral 
como \(\frac{1}{2} e^{u} + C\). 
 
**6.** Determine a segunda derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\). 
A) \(\frac{-2}{(x^2 + 1)^2}\) 
B) \(\frac{2}{(x^2 + 1)^2}\) 
C) \(\frac{2x}{(x^2 + 1)}\) 
D) \(\frac{-2x}{(x^2 + 1)^2}\) 
**Resposta:** D) \(\frac{-2x}{(x^2 + 1)^2}\) 
**Explicação:** A primeira derivada é \(f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\). A segunda derivada é 
calculada usando a regra do quociente. 
 
**7.** Calcule o limite: 
\[ 
\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 5}{2x^2 + 1} 
\] 
A) \(\frac{3}{2}\) 
B) 1 
C) 0 
D) 3 
**Resposta:** A) \(\frac{3}{2}\) 
**Explicação:** Dividindo todos os termos por \(x^2\), obtemos \(\frac{3 + \frac{5}{x^2}}{2 
+ \frac{1}{x^2}} \to \frac{3}{2}\) quando \(x\) tende ao infinito. 
 
**8.** Qual é a integral de \(\cos^2(x)\)? 
A) \(\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin(2x) + C\) 
B) \(\sin(x) + C\) 
C) \(\frac{1}{2} \sin(2x) + C\) 
D) \(\frac{1}{2} x + C\) 
**Resposta:** A) \(\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin(2x) + C\) 
**Explicação:** Usando a identidade \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\), a integral se 
torna \(\frac{1}{2} \int dx + \frac{1}{2} \int \cos(2x) dx\). 
 
**9.** Calcule a derivada de \(f(x) = x^3 \ln(x)\). 
A) \(3x^2 \ln(x) + x^2\) 
B) \(3x^2 \ln(x) + 3x\) 
C) \(x^3 \frac{1}{x}\) 
D) \(3x^2 \ln(x) - x^2\) 
**Resposta:** A) \(3x^2 \ln(x) + x^2\) 
**Explicação:** Usando a regra do produto, temos \(f'(x) = 3x^2 \ln(x) + x^2\). 
 
**10.** Encontre o valor de: 
\[ 
\int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx 
\] 
A) \(\frac{\pi}{2}\) 
B) \(\frac{\pi}{4}\) 
C) \(\frac{\pi}{3}\) 
D) \(\frac{\pi}{6}\) 
**Resposta:** A) \(\frac{\pi}{2}\) 
**Explicação:** Usando a identidade \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\), obtemos a 
integral como \(\frac{1}{2} \left[ x - \frac{1}{2} \sin(2x) \right]_{0}^{\pi}\). 
 
**11.** Encontre a integral: 
\[ 
\int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx 
\] 
A) \(\ln(\ln(x)) + C\) 
B) \(\frac{1}{x} + C\) 
C) \(\frac{\ln(x)}{x} + C\) 
D) \(\frac{1}{\ln(x)} + C\) 
**Resposta:** A) \(\ln(\ln(x)) + C\) 
**Explicação:** Usando a substituição \(u = \ln(x)\), temos \(du = \frac{1}{x}dx\), 
resultando na integral \(\int \frac{1}{u} du = \ln(u) + C\). 
 
**12.** Calcule o limite: 
\[ 
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} 
\] 
A) 1 
B) 0 
C) 2 
D) \(\infty\)