contas de aula AKEEWM

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A) \( y = Ae^{-4x} + Be^{-4x} \) 
B) \( y = Ae^{-4x} + Be^{4x} \) 
C) \( y = Ae^{-2x} + Be^{-8x} \) 
D) \( y = Ae^{4x} + Be^{-4x} \) 
**Resposta:** A) \( y = Ae^{-4x} + Be^{-4x} \) 
**Explicação:** A equação característica tem uma raiz dupla. 
 
**68.** Calcule a integral \( \int (x^4 + 2x^2 + 1) \, dx \). 
A) \( \frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{2}x^3 + x + C \) 
B) \( \frac{1}{5}x^5 + x^3 + x + C \) 
C) \( \frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{3}x^3 + x + C \) 
D) \( \frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{4}x^3 + x + C \) 
**Resposta:** A) \( \frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{2}x^3 + x + C \) 
**Explicação:** A integral é calculada aplicando a regra da potência. 
 
**69.** Encontre o valor de \( \int_0^1 (x^3 - 2x^2 + x) \, dx \). 
A) \( 0 \) 
B) \( \frac{1}{4} \) 
C) \( \frac{1}{6} \) 
D) \( \frac{1}{3} \) 
**Resposta:** A) \( 0 \) 
**Explicação:** A integral se simplifica a zero, pois a função é simétrica em torno de 0. 
 
**70.** Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(2x)}{x^2} \). 
A) \( 2 \) 
B) \( 0 \) 
C) \( 1 \) 
D) \( \infty \) 
**Resposta:** A) \( 2 \) 
**Explicação:** Usamos a série de Taylor para \( \cos(2x) \) em torno de 0. 
 
**71.** Resolva a equação \( y'' + 5y' + 6y = 0 \). 
A) \( y = Ae^{-2x} + Be^{-3x} \) 
B) \( y = Ae^{-3x} + Be^{-2x} \) 
C) \( y = Ae^{-x} + Be^{2x} \) 
D) \( y = Ae^{x} + Be^{-x} \) 
**Resposta:** A) \( y = Ae^{-2x} + Be^{-3x} \) 
**Explicação:** A equação característica tem raízes distintas. 
 
**72.** Calcule a integral \( \int (7x^3 - 5x + 2) \, dx \). 
A) \( \frac{7}{4}x^4 - \frac{5}{2}x^2 + 2x + C \) 
B) \( \frac{7}{4}x^4 - \frac{5}{2}x^2 + x + C \) 
C) \( \frac{7}{4}x^4 - \frac{5}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + C \) 
D) \( \frac{7}{4}x^4 - \frac{5}{2}x^2 + 3x + C \) 
**Resposta:** A) \( \frac{7}{4}x^4 - \frac{5}{2}x^2 + 2x + C \) 
**Explicação:** A integral é calculada aplicando a regra da potência. 
 
**73.** Encontre o valor de \( \int_0^1 (x^2 + 4) \, dx \). 
A) \( 1 \) 
B) \( 2 \) 
C) \( 3 \) 
D) \( 4 \) 
**Resposta:** C) \( 3 \) 
**Explicação:** A integral é calculada como \( \left[ \frac{1}{3}x^3 + 4x \right]_0^1 = 3 \). 
 
**74.** Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} \). 
A) \( 5 \) 
B) \( 0 \) 
C) \( 1 \) 
D) \( 10 \) 
**Resposta:** A) \( 5 \) 
**Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental, onde \( k = 5 \). 
 
**75.** Resolva a equação \( y'' + 3y' + 2y = 0 \). 
A) \( y = Ae^{-x} + Be^{-2x} \) 
B) \( y = Ae^{-2x} + Be^{-x} \) 
C) \( y = Ae^{-x} + Be^{2x} \) 
D) \( y = Ae^{x} + Be^{-x} \) 
**Resposta:** A) \( y = Ae^{-x} + Be^{-2x} \) 
**Explicação:** A equação característica tem raízes distintas. 
 
**76.** Calcule a integral \( \int (8x^2 - 3x + 1) \, dx \). 
A) \( \frac{8}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x + C \) 
B) \( \frac{8}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + C \) 
C) \( \frac{8}{3}x^3 - \frac{3}{4}x^2 + x + C \) 
D) \( \frac{8}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + C \) 
**Resposta:** A) \( \frac{8}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x + C \) 
**Explicação:** A integral é calculada aplicando a regra da potência. 
 
**77.** Encontre o valor de \( \int_0^1 (x^3 + 2) \, dx \). 
A) \( 1 \) 
B) \( 2 \) 
C) \( 3 \) 
D) \( 4 \) 
**Resposta:** C) \( 3 \) 
**Explicação:** A integral é calculada como \( \left[ \frac{1}{4}x^4 + 2x \right]_0^1 = 3 \). 
 
**78.** Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin(x)}{x^2} \). 
A) \( \frac{1}{2} \) 
B) \( 0 \) 
C) \( 1 \) 
D) \( \infty \) 
**Resposta:** A) \( \frac{1}{2} \)