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32. Se \( \tan(\theta) = \frac{5}{12} \), qual é o valor de \( \sin(2\theta) \)? 
 a) \( \frac{120}{169} \) 
 b) \( \frac{60}{169} \) 
 c) \( \frac{30}{169} \) 
 d) \( \frac{90}{169} \) 
 **Resposta: a)** 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \sin(2\theta) = \frac{2\tan(\theta)}{1 + 
\tan^2(\theta)} \). Portanto, \( \sin(2\theta) = \frac{2 \cdot \frac{5}{12}}{1 + 
\left(\frac{5}{12}\right)^2} = \frac{\frac{10}{12}}{1 + \frac{25}{144}} = 
\frac{\frac{10}{12}}{\frac{169}{144}} = \frac{10 \cdot 144}{12 \cdot 169} = \frac{120}{169} \). 
 
33. Determine \( \sin(30^\circ + 45^\circ) \). 
 a) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) 
 **Resposta: d)** 
 **Explicação:** Usamos a fórmula da soma de ângulos: \( \sin(30^\circ + 45^\circ) = 
\sin(30^\circ)\cos(45^\circ) + \cos(30^\circ)\sin(45^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 
\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} + 
\frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \). 
 
34. Se \( \sin(\theta) = \frac{4}{5} \), qual é o valor de \( \sin(4\theta) \)? 
 a) \( \frac{24}{25} \) 
 b) \( \frac{12}{25} \) 
 c) \( \frac{9}{25} \) 
 d) \( \frac{15}{25} \) 
 **Resposta: a)** 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \sin(4\theta) = 2\sin(2\theta)\cos(2\theta) \). 
Portanto, \( \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \sqrt{1 - 
\left(\frac{4}{5}\right)^2} = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25} \). 
 
35. Determine o valor de \( \tan(30^\circ + 45^\circ) \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( 2 \) 
 c) \( \sqrt{2} \) 
 d) \( \frac{3}{2} \) 
 **Resposta: d)** 
 **Explicação:** Usamos a fórmula da tangente da soma: \( \tan(30^\circ + 45^\circ) = 
\frac{\tan(30^\circ) + \tan(45^\circ)}{1 - \tan(30^\circ)\tan(45^\circ)} = 
\frac{\frac{1}{\sqrt{3}} + 1}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{1 + 
\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(1 + 
\sqrt{3})(\sqrt{3} + 1)}{2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3} \). 
 
36. Se \( \cos(\theta) = \frac{1}{2} \), qual é o valor de \( \sin(2\theta) \)? 
 a) \( 0 \) 
 b) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) 
 **Resposta: b)** 
 **Explicação:** Se \( \cos(\theta) = \frac{1}{2} \), então \( \theta = 60^\circ \) ou \( 
300^\circ \). Usando a identidade \( \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) \), temos \( 
\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) e \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \). Assim, \( \sin(2\theta) 
= 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \). 
 
37. Se \( \tan(\theta) = 1 \), qual é o valor de \( \sin(3\theta) \)? 
 a) \( \frac{3\sqrt{3}}{4} \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) 
 **Resposta: a)** 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \sin(3\theta) = 3\sin(\theta) - 4\sin^3(\theta) \). 
Portanto, \( \sin(3\theta) = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 4 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 = 
\frac{3\sqrt{2}}{2} - 4 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{8} = \frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 
\frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \). 
 
38. Determine \( \sin(60^\circ - 30^\circ) \). 
 a) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) 
 **Resposta: a)** 
 **Explicação:** Usamos a fórmula da diferença de ângulos: \( \sin(60^\circ - 30^\circ) = 
\sin(60^\circ)\cos(30^\circ) - \cos(60^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 
\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = 
\frac{1}{2} \). 
 
39. Se \( \sin(\theta) = \frac{1}{2} \), qual é o valor de \( \sin(4\theta) \)? 
 a) \( \frac{3\sqrt{3}}{4} \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) 
 **Resposta: a)** 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \sin(4\theta) = 2\sin(2\theta)\cos(2\theta) \). 
Portanto, \( \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{1 - 
\left(\frac{1}{2}\right)^2} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \). 
Assim, \( \sin(4\theta) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = 
\frac{3\sqrt{3}}{4} \). 
 
40. Se \( \tan(\theta) = \frac{3}{4} \), qual é o valor de \( \sin(2\theta) \)? 
 a) \( \frac{120}{169} \) 
 b) \( \frac{60}{169} \) 
 c) \( \frac{30}{169} \) 
 d) \( \frac{90}{169} \) 
 **Resposta: a)** 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \sin(2\theta) = \frac{2\tan(\theta)}{1 + 
\tan^2(\theta)} \). Portanto, \( \sin(2\theta) = \frac{2 \cdot \frac{3}{4}}{1 + 
\left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{\frac{6}{4}}{1 + \frac{9}{16}} = \frac{\frac{6}{4}}{\frac{25}{16}} 
= \frac{6 \cdot 16}{4 \cdot 25} = \frac{24}{25} \). 
 
41. Determine \( \cos(30^\circ + 45^\circ) \). 
 a) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) 
 b) \( \frac{1}{2} \) 
 c) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)