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d) \( \frac{\sqrt{6}}{4} \) 
 **Resposta: d)** 
 **Explicação:** Usamos a fórmula da soma de ângulos: \( \cos(30^\circ + 45^\circ) = 
\cos(30^\circ)\cos(45^\circ) - \sin(30^\circ)\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 
\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = 
\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \). 
 
42. Se \( \sin(\theta) = \frac{4}{5} \), qual é o valor de \( \sin(4\theta) \)? 
 a) \( \frac{24}{25} \) 
 b) \( \frac{12}{25} \) 
 c) \( \frac{9}{25} \) 
 d) \( \frac{15}{25} \) 
 **Resposta: a)** 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \sin(4\theta) = 2\sin(2\theta)\cos(2\theta) \). 
Portanto, \( \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \sqrt{1 - 
\left(\frac{4}{5}\right)^2} = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25} \). 
 
43. Determine o valor de \( \tan(30^\circ + 45^\circ) \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( 2 \) 
 c) \( \sqrt{2} \) 
 d) \( \frac{3}{2} \) 
 **Resposta: d)** 
 **Explicação:** Usamos a fórmula da tangente da soma: \( \tan(30^\circ + 45^\circ) = 
\frac{\tan(30^\circ) + \tan(45^\circ)}{1 - \tan(30^\circ)\tan(45^\circ)} = 
\frac{\frac{1}{\sqrt{3}} + 1}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{(1 + \sqrt{3})/\sqrt{3}}{(\sqrt{3} - 
1)/\sqrt{3}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(1 + \sqrt{3})(\sqrt{3} + 1)}{2} = \frac{4 + 
2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3} \). 
 
44. Se \( \sin(\theta) = \frac{1}{2} \), qual é o valor de \( \sin(4\theta) \)? 
 a) \( \frac{3\sqrt{3}}{4} \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) 
 **Resposta: a)** 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \sin(4\theta) = 2\sin(2\theta)\cos(2\theta) \). 
Portanto, \( \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{1 - 
\left(\frac{1}{2}\right)^2} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \). 
Assim, \( \sin(4\theta) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = 
\frac{3\sqrt{3}}{4} \). 
 
45. Se \( \tan(\theta) = \frac{3}{4} \), qual é o valor de \( \sin(2\theta) \)? 
 a) \( \frac{120}{169} \) 
 b) \( \frac{60}{169} \) 
 c) \( \frac{30}{169} \) 
 d) \( \frac{90}{169} \) 
 **Resposta: a)** 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \sin(2\theta) = \frac{2\tan(\theta)}{1 + 
\tan^2(\theta)} \). Portanto, \( \sin(2\theta) = \frac{2 \cdot \frac{3}{4}}{1 + 
\left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{\frac{6}{4}}{1 + \frac{9}{16}} = \frac{\frac{6}{4}}{\frac{25}{16}} 
= \frac{6 \cdot 16}{4 \cdot 25} = \frac{24}{25} \). 
 
46. Determine \( \cos(30^\circ + 45^\circ) \). 
 a) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) 
 b) \( \frac{1}{2} \) 
 c) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) 
 d) \( \frac{\sqrt{6}}{4} \) 
 **Resposta: d)** 
 **Explicação:** Usamos a fórmula da soma de ângulos: \( \cos(30^\circ + 45^\circ) = 
\cos(30^\circ)\cos(45^\circ) - \sin(30^\circ)\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 
\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = 
\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \). 
 
47. Se \( \sin(\theta) = \frac{4}{5} \), qual é o valor de \( \sin(4\theta) \)? 
 a) \( \frac{24}{25} \) 
 b) \( \frac{12}{25} \) 
 c) \( \frac{9}{25} \) 
 d) \( \frac{15}{25} \) 
 **Resposta: a)** 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \sin(4\theta) = 2\sin(2\theta)\cos(2\theta) \). 
Portanto, \( \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \sqrt{1 - 
\left(\frac{4}{5}\right)^2} = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25} \). 
 
48. Determine o valor de \( \tan(30^\circ + 45^\circ) \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( 2 \) 
 c) \( \sqrt{2} \) 
 d) \( \frac{3}{2} \) 
 **Resposta: d)** 
 **Explicação:** Usamos a fórmula da tangente da soma: \( \tan(30^\circ + 45^\circ) = 
\frac{\tan(30^\circ) + \tan(45^\circ)}{1 - \tan(30^\circ)\tan(45^\circ)} = 
\frac{\frac{1}{\sqrt{3}} + 1}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{(1 + \sqrt{3})/\sqrt{3}}{(\sqrt{3} - 
1)/\sqrt{3}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(1 + \sqrt{3})(\sqrt{3} + 1)}{2} = \frac{4 + 
2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3} \). 
 
49. Se \( \sin(\theta) = \frac{1}{2} \), qual é o valor de \( \sin(4\theta) \)? 
 a) \( \frac{3\sqrt{3}}{4} \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) 
 **Resposta: a)** 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \sin(4\theta) = 2\sin(2\theta)\cos(2\theta) \). 
Portanto, \( \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{1 - 
\left(\frac{1}{2}\right)^2} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \). 
Assim, \( \sin(4\theta) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = 
\frac{3\sqrt{3}}{4} \). 
 
50. Se \( \tan(\theta) = \frac{3}{4} \), qual é o valor de \( \sin(2\theta) \)? 
 a) \( \frac{120}{169} \) 
 b) \( \frac{60}{169} \) 
 c) \( \frac{30}{169} \) 
 d) \( \frac{90}{169} \) 
 **Resposta: a)**