professor BKWNCF

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**Explicação**: A derivada de \(\cos(u)\) é \(-\sin(u) \cdot u'\). Aqui, \(u = 2x\) e \(u' = 2\). 
 
27. **Problema 27**: Calcule a integral \(\int (6x^5 - 4x^3 + 3) \, dx\). 
 a) \(x^6 - x^4 + 3x + C\) 
 b) \(x^6 - x^4 + \frac{3}{2}x + C\) 
 c) \(x^6 - \frac{4}{4}x^4 + 3x + C\) 
 d) \(x^6 - x^4 + 2x + C\) 
 **Resposta**: a) \(x^6 - x^4 + 3x + C\) 
 **Explicação**: Integrando cada termo separadamente, obtemos a resposta correta. 
 
28. **Problema 28**: Encontre a integral \(\int_1^2 (3x^2 - 2x + 1) \, dx\). 
 a) \(\frac{5}{3}\) 
 b) \(\frac{7}{3}\) 
 c) \(\frac{8}{3}\) 
 d) \(\frac{9}{3}\) 
 **Resposta**: b) \(\frac{7}{3}\) 
 **Explicação**: A integral é \(\left[x^3 - x^2 + x\right]_1^2 = (8 - 4 + 2) - (1 - 1 + 1) = 
\frac{7}{3}\). 
 
29. **Problema 29**: Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(x)}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Não existe 
 **Resposta**: b) 1 
 **Explicação**: Usando a regra de L'Hôpital, temos \(\lim_{x \to 0} \frac{2x}{\cos(x)} = 1\). 
 
30. **Problema 30**: Determine a derivada de \(f(x) = e^{x^2}\). 
 a) \(2xe^{x^2}\) 
 b) \(e^{x^2}\) 
 c) \(x^2 e^{x^2}\) 
 d) \(2x^2 e^{x^2}\) 
 **Resposta**: a) \(2xe^{x^2}\) 
 **Explicação**: A derivada de \(e^{u}\) é \(e^{u} \cdot u'\). Aqui, \(u = x^2\) e \(u' = 2x\). 
 
31. **Problema 31**: Calcule a integral \(\int (7x^4 - 5x^2 + 1) \, dx\). 
 a) \(x^5 - \frac{5}{3}x^3 + x + C\) 
 b) \(x^5 - \frac{5}{3}x^3 + \frac{1}{2}x + C\) 
 c) \(x^5 - \frac{5}{3}x^3 + 2x + C\) 
 d) \(x^5 - \frac{5}{3}x^3 + \frac{1}{3}x + C\) 
 **Resposta**: a) \(x^5 - \frac{5}{3}x^3 + x + C\) 
 **Explicação**: Integrando cada termo separadamente, obtemos a resposta correta. 
 
32. **Problema 32**: Encontre o valor de \(\int_0^1 (8x^3 - 4x + 1) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{3}\) 
 b) \(\frac{5}{12}\) 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) \(\frac{1}{4}\) 
 **Resposta**: b) \(\frac{5}{12}\) 
 **Explicação**: A integral resulta em \(\left[2x^4 - 2x^2 + x\right]_0^1 = 2(1) - 2(1) + 1 = 
\frac{5}{12}\). 
 
33. **Problema 33**: Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 2}{2x^2 - 3}\). 
 a) 2 
 b) 1 
 c) 4 
 d) Não existe 
 **Resposta**: a) 2 
 **Explicação**: Dividindo todos os termos por \(x^2\), obtemos \(\lim_{x \to \infty} 
\frac{4 + \frac{2}{x^2}}{2 - \frac{3}{x^2}} = 2\). 
 
34. **Problema 34**: Qual é a derivada de \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1}\)? 
 a) \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 b) \(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 c) \(\frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 d) \(\frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 **Explicação**: Usando a regra da cadeia, a derivada é \(\frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x 
= \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\). 
 
35. **Problema 35**: Calcule a integral \(\int (2x^3 + 3x^2 - 5) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{2}x^4 + x^3 - 5x + C\) 
 b) \(\frac{1}{2}x^4 + x^3 - \frac{5}{2}x + C\) 
 c) \(\frac{1}{2}x^4 + x^3 - 5 + C\) 
 d) \(\frac{1}{2}x^4 + \frac{3}{3}x^3 - 5 + C\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{1}{2}x^4 + x^3 - 5x + C\) 
 **Explicação**: Integrando cada termo separadamente, obtemos a resposta correta. 
 
36. **Problema 36**: Encontre o valor de \(\int_0^1 (x^3 - 2x + 1) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{4}\) 
 b) \(\frac{1}{3}\) 
 c) \(\frac{2}{3}\) 
 d) \(\frac{1}{2}\) 
 **Resposta**: c) \(\frac{2}{3}\) 
 **Explicação**: A integral é \(\left[\frac{1}{4}x^4 - x^2 + x\right]_0^1 = \frac{1}{4} - 1 + 1 = 
\frac{2}{3}\). 
 
37. **Problema 37**: Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Não existe 
 **Resposta**: b) 1 
 **Explicação**: Usando a regra de L'Hôpital, temos \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = 1\).