professor BGAQOV

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d) \(\frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{3}x^2 + 4x + C\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 4x + C\) 
 **Explicação**: Integrando cada termo separadamente, obtemos a resposta correta. 
 
72. **Problema 72**: Encontre o valor de \(\int_0^1 (x^2 - 5x + 4) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{3}\) 
 b) \(\frac{1}{2}\) 
 c) \(\frac{1}{4}\) 
 d) \(\frac{1}{6}\) 
 **Resposta**: b) \(\frac{1}{2}\) 
 **Explicação**: A integral é \(\left[\frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 4x\right]_0^1 = 
\frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 4 = \frac{1}{2}\). 
 
73. **Problema 73**: Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 3 
 d) Não existe 
 **Resposta**: c) 3 
 **Explicação**: Usando a regra de L'Hôpital, temos \(\lim_{x \to 0} \frac{3\sec^2(3x)}{1} = 
3\). 
 
74. **Problema 74**: Determine a derivada de \(f(x) = x^4 + 2x^3 - 3x + 1\). 
 a) \(4x^3 + 6x^2 - 3\) 
 b) \(4x^3 + 2x^2 - 3\) 
 c) \(6x^2 + 4x^3 - 3\) 
 d) \(3x^2 + 2x^3 - 3\) 
 **Resposta**: a) \(4x^3 + 6x^2 - 3\) 
 **Explicação**: A derivada é obtida aplicando a regra da potência a cada termo. 
 
75. **Problema 75**: Calcule a integral \(\int (5x^3 - 2x^2 + 1) \, dx\). 
 a) \(\frac{5}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + x + C\) 
 b) \(\frac{5}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x + C\) 
 c) \(\frac{5}{4}x^4 - 2x^3 + x + C\) 
 d) \(\frac{5}{4}x^4 - x^2 + 1 + C\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{5}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + x + C\) 
 **Explicação**: Integrando cada termo separadamente, obtemos a resposta correta. 
 
76. **Problema 76**: Encontre o valor de \(\int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 3) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{4}\) 
 b) \(\frac{1}{3}\) 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) \(\frac{5}{6}\) 
 **Resposta**: d) \(\frac{5}{6}\) 
 **Explicação**: A integral é \(\left[\frac{1}{4}x^4 - x^3 + 3x\right]_0^1 = \frac{1}{4} - 1 + 3 = 
\frac{5}{6}\). 
 
77. **Problema 77**: Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\tan(x)}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Não existe 
 **Resposta**: a) 0 
 **Explicação**: Usando a regra de L'Hôpital, temos \(\lim_{x \to 0} \frac{2x}{\sec^2(x)} = 
0\). 
 
78. **Problema 78**: Determine a derivada de \(f(x) = \sqrt{x^4 + 1}\). 
 a) \(\frac{2x^3}{\sqrt{x^4 + 1}}\) 
 b) \(\frac{4x^3}{\sqrt{x^4 + 1}}\) 
 c) \(\frac{4x^3}{x^4 + 1}\) 
 d) \(\frac{2x^2}{\sqrt{x^4 + 1}}\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{2x^3}{\sqrt{x^4 + 1}}\) 
 **Explicação**: Usando a regra da cadeia, temos a derivada como \(\frac{1}{2\sqrt{u}} 
\cdot u'\). 
 
79. **Problema 79**: Calcule a integral \(\int (2x^2 - 3x + 5) \, dx\). 
 a) \(\frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 5x + C\) 
 b) \(\frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + C\) 
 c) \(\frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{3}x^2 + 5 + C\) 
 d) \(\frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{3}x^2 + 5x + C\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 5x + C\) 
 **Explicação**: Integrando cada termo separadamente, obtemos a resposta correta. 
 
80. **Problema 80**: Encontre o valor de \(\int_0^1 (x^2 - 2x + 1) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{3}\) 
 b) \(\frac{1}{2}\) 
 c) \(\frac{1}{4}\) 
 d) \(\frac{1}{6}\) 
 **Resposta**: b) \(\frac{1}{2}\) 
 **Explicação**: A integral é \(\left[\frac{1}{3}x^3 - x^2 + x\right]_0^1 = \frac{1}{3} - 1 + 1 = 
\frac{1}{2}\). 
 
81. **Problema 81**: Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 4x)}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 4 
 d) Não existe 
 **Resposta**: c) 4 
 **Explicação**: Usando a regra de L'Hôpital, temos \(\lim_{x \to 0} \frac{4}{1} = 4\). 
 
82. **Problema 82**: Determine a derivada de \(f(x) = e^{x^2 + 2x}\). 
 a) \(e^{x^2 + 2x}(2x + 2)\) 
 b) \(e^{x^2 + 2x}(2x)\) 
 c) \(e^{x^2 + 2x}(x^2 + 2)\) 
 d) \(e^{x^2 + 2x}(2)\)