surpresa da matematica DUF

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a) \(\frac{1}{4}x^4 - x^2 + 4x + C\) 
 b) \(\frac{1}{4}x^4 - x^2 + 4 + C\) 
 c) \(\frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 4 + C\) 
 d) \(\frac{1}{4}x^4 - x^2 + 4x + 1 + C\) 
 **Resposta: a) \(\frac{1}{4}x^4 - x^2 + 4x + C\)** 
 **Explicação:** Integrando cada termo, temos \(\int x^3 \, dx = \frac{1}{4}x^4\), \(\int -2x 
\, dx = -x^2\), e \(\int 4 \, dx = 4x\). Portanto, a integral é \(\frac{1}{4}x^4 - x^2 + 4x + C\). 
 
56. **Problema 56:** 
 Calcule a derivada de \(g(x) = \ln(x^2 + 2x + 1)\). 
 a) \(\frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 1}\) 
 b) \(\frac{2x + 1}{x^2 + 2x + 1}\) 
 c) \(\frac{1}{x^2 + 2x + 1}\) 
 d) \(\frac{2x}{x^2 + 2x + 1}\) 
 **Resposta: a) \(\frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 1}\)** 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \(g'(x) = \frac{1}{x^2 + 2x + 1} \cdot (2x 
+ 2)\). 
 
57. **Problema 57:** 
 Calcule o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) \(\infty\) 
 **Resposta: c) 2** 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 
k\), onde \(k = 2\), temos \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} = 2\). 
 
58. **Problema 58:** 
 Encontre a integral: \(\int (2x^3 - 3x^2 + 4) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{2}x^4 - x^3 + 4x + C\) 
 b) \(\frac{1}{2}x^4 - x^3 + 4 + C\) 
 c) \(\frac{1}{2}x^4 - \frac{3}{3}x^3 + 4 + C\) 
 d) \(\frac{1}{2}x^4 - x^3 + 4x^2 + C\) 
 **Resposta: a) \(\frac{1}{2}x^4 - x^3 + 4x + C\)** 
 **Explicação:** Integrando cada termo, temos \(\int 2x^3 \, dx = \frac{1}{2}x^4\), \(\int -
3x^2 \, dx = -x^3\), e \(\int 4 \, dx = 4x\). Portanto, a integral é \(\frac{1}{2}x^4 - x^3 + 4x + 
C\). 
 
59. **Problema 59:** 
 Calcule a derivada de \(f(x) = \sqrt{x^3 + 1}\). 
 a) \(\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}}\) 
 b) \(\frac{1}{2\sqrt{x^3 + 1}}\) 
 c) \(\frac{3}{2\sqrt{x^3 + 1}}\) 
 d) \(\frac{3x^2}{\sqrt{x^3 + 1}}\) 
 **Resposta: a) \(\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}}\)** 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^3 + 1}} \cdot 
3x^2\). 
 
60. **Problema 60:** 
 Calcule o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 3 
 d) \(\infty\) 
 **Resposta: c) 3** 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = 
k\), onde \(k = 3\), temos \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3\). 
 
61. **Problema 61:** 
 Encontre a integral: \(\int (5x^2 - 4) \, dx\). 
 a) \(\frac{5}{3}x^3 - 4x + C\) 
 b) \(\frac{5}{3}x^3 + 4x + C\) 
 c) \(\frac{5}{3}x^3 - 4 + C\) 
 d) \(\frac{5}{3}x^3 - 4x^2 + C\) 
 **Resposta: a) \(\frac{5}{3}x^3 - 4x + C\)** 
 **Explicação:** Integrando, temos \(\int 5x^2 \, dx = \frac{5}{3}x^3\) e \(\int -4 \, dx = -
4x\). Portanto, a integral é \(\frac{5}{3}x^3 - 4x + C\). 
 
62. **Problema 62:** 
 Calcule a derivada de \(g(x) = \ln(2x)\). 
 a) \(\frac{1}{2}\) 
 b) \(\frac{1}{x}\) 
 c) \(\frac{1}{2x}\) 
 d) \(\frac{2}{x}\) 
 **Resposta: b) \(\frac{1}{x}\)** 
 **Explicação:** A derivada de \(\ln(2x)\) é \(\frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x}\). 
 
63. **Problema 63:** 
 Calcule o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) \(\infty\) 
 **Resposta: b) 1** 
 **Explicação:** Usando a definição de derivada de \(e^x\) em \(x=0\), temos \(\lim_{x \to 
0} \frac{e^x - 1}{x} = 1\). 
 
64. **Problema 64:** 
 Encontre a integral: \(\int (x^4 - 3x^3 + 2) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{5}x^5 - \frac{3}{4}x^4 + 2x + C\) 
 b) \(\frac{1}{5}x^5 - \frac{3}{4}x^4 + 2 + C\) 
 c) \(\frac{1}{5}x^5 - \frac{3}{4}x^4 + 2x^2 + C\) 
 d) \(\frac{1}{5}x^5 - \frac{3}{4}x^4 + 2x^3 + C\) 
 **Resposta: a) \(\frac{1}{5}x^5 - \frac{3}{4}x^4 + 2x + C\)**