Analise de Tensoes e deformacoes

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Análise de Tensões e Deformações 
 1
8.0 – Variação da tensão com a orientação do plano da seção. 
 Nos capítulos precedentes aprendemos a computar os valores das tensões alcan-
çadas em um certo ponto de uma dada seção de uma viga ou barra submetida a variados 
tipos de esforços solicitantes e suas combinações. Tais tensões são calculadas no plano 
da seção. Cabe indagar: - em outros planos, que não o da seção transversal, quais seriam 
os valores atingidos pelas componentes da tensão naqueles pontos? 
 
 8.1 – Estado Duplo de Tensões. 
 Inicialmente estudaremos o caso mais simples (porém muito comum) de pontos 
submetidos a um estado duplo (ou plano) de tensões (quando σz = τzx = τzy = 0), sendo 
conhecidas as tensões: σx , σy e τxy = τyx . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Suponha um elemento infinitesimal submetido a um estado plano de tensões, como indicado na 
Fig. 8.1.1 (a) (onde todas as tensões foram supostas positivas). Em um plano qualquer (que tem como 
orientação a normal n), formando um ângulo θ com o plano “x” (que tem como normal o eixo x), as 
tensões reinantes serão designadas como: σσσσn e ττττnt - Fig. 8.1.1 (b). 
 Computando as forças reinantes nas faces do elemento prismático em referência, pode-se con-
cluir, por seu equilíbrio nas direções normal (n) e tangencial (t) ao plano qualquer (θ) (Fig.8.1.1-c – 
forças de massa de origem gravitacional ou de inércia, proporcionais ao volume do elemento, são de 
ordem desprezível): 
(ΣFn
 = 0) −− σn ds dz = σx dy dz cos θ + σy dx dz sen θ + τxy dy dz sen θ + τyx dx dz cos θ 
 
 Como τxy = τyx e, considerando que cos θ = dy/ds e sen θ = dx/ds, obteremos: 
 σn = σx cos2 θ + σy sen2 θ + 2 τxy sen θ cos θ.................. (8.1.1) 
 
 Pelo equilíbrio das forças na direção transversal (t), da mesma forma, obteremos: 
 
 τnt = - (σx - σy) sen θ cos θ + τxy ( cos2 θ - sen2 θ) ................. (8.1.2) 
 
Como: cos2 θ = ½ (1 + cos2θ); sen2 θ = ½ (1 - cos2θ); sen2θ = 2 senθ cosθ e cos2θ = cos2 θ - sen2 θ, 
σx σx 
σy 
σy 
τxy 
τyx 
x 
y 
z 
σx 
z 
x 
y 
n 
t 
dz 
dx 
dy 
σy 
τxy 
τyx 
σσσσn ττττnt 
σy dx dz 
σx dy dz 
τxy dy dz 
τyx dx dz 
ds 
σσσσn ds dz 
ττττnt ds dz 
(a) (b) (c) 
Fig. 8.1.1 – Variação da tensão com a orientação do plano da seção. (a) Estado duplo de tensões; 
(b) tensões em um plano inclinado; (c) forças atuando em um elemento prismático. 
n 
t 
θ 
x 
θ 
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obtemos 
 
σσσσn = ½ (σσσσx + σσσσy) + ½ (σσσσx - σσσσy) cos 2θθθθ + ττττxy sen 2θθθθ ...............(8.1.3) 
e 
ττττnt = - ½ (σσσσx - σσσσy) sen 2θθθθ + ττττxy cos 2θθθθ .................................(8.1.4) 
 
(Observe os casos particulares quando θ = 0 e θ = 90º, que indicam as tensões dadas nos planos verti-
cal – x, e horizontal – y, respectivamente). 
 
 8.2 – Tensões Extremas. Tensões Principais. 
 
 Relevante será computar os valores extremos alcançados pelas componentes da tensão. Para tal, 
igualaremos a zero as derivadas, em relação à variável θ, das componentes da tensão no plano genéri-
co: 
- de (8.1.3) ..... dσn/dθ = - ½ (σx - σy) sen 2θ (2) + τxy cos 2θ (2) = 0= 0= 0= 0, obtendo-se 
 
 tg 2θθθθp = ττττxy / ½ (σσσσx - σσσσy) ………………………….(8.2.1) 
 
equação que indica a orientação dos chamados planos principais onde as tensões normais são ex-
tremas (máxima e mínima), planos esses que serão perpendiculares entre si (existem dois valores do 
ângulo 2θp , defasados de 180º, que admitem a mesma tangente, portanto os correspondentes dois va-
lores de θp estarão defasados de 90º). 
 Substituindo o valor dado por (8.2.1) na equação (8.1.4) verifica-se que as componentes 
tangenciais das tensões ocorrentes nos planos principais serão nulas. 
 Substituindo o valor dado por (8.2.1) na equação (8.1.3), obteremos os valores das tensões prin-
cipais (tensões normais extremas, máxima e mínima): 
 
 
 σ σ σ σ p1 = ½ (σσσσx + σσσσy) + √ [½ (σσσσx - σσσσy)] 
2 + (ττττxy )
2
 ....................(8.2.2) 
 
 σ σ σ σ p2 = ½ (σσσσx + σσσσy) - √ [½ (σσσσx - σσσσy)] 
2 + (ττττxy )
2
 ....................(8.2.3) 
 
 
 Interessante observar que, somando membro a membro as equações (8.2.2) e (8.2.3), conclui-
remos que a soma das tensões normais ocorrentes em planos perpendiculares é um invariante (o que 
seria confirmado calculando σt no plano θ + 90 em 8.3, e somando ao valor de σn no plano θ): 
 
 σ σ σ σx + σσσσy = σ σ σ σn + σσσσt = σ σ σ σ p1 + σ σ σ σ p2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
z 
y 
P 
48MPa 
40MPa 
Exemplo 8.2.1 - No ponto P do plano de uma 
dada seção transversal de uma viga atuam as ten-
sões: 40MPa (tração) e 48MPa (no sentido oposto 
ao do eixo y). 
 Para tal ponto, pede-se determinar: 
a) as tensões normal e tangencial em um plano per-
pendicular ao plano xy, e cuja normal n forme com 
o eixo x um ângulo de 30º como indicado; 
b) as máximas tensões normais de tração e de com-
pressão, indicando a orientação dos planos onde 
ocorrem. 
x 
n 
30º 
y 
x 
z 
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 Para avaliarmos os extremos alcançados pela tensão tangencial, analogamente igualaremos a 
zero a derivada da tensão τnt em relação à variável livre θ (em 8.1.4), obtendo: 
 dτnt /dθ = - ½ (σx - σy) cos 2θ (2) + τxy (-) sen 2θ (2) = 0, e 
 
 tg 2θ∗θ∗θ∗θ∗ = (-) ½ (σσσσx - σσσσy) / ττττxy …………………………(8.2.4) 
 
(o simétrico do inverso do valor obtido em 8.2.3), indicando que os planos onde a tensão tangencial é 
extrema (* máxima e ** mínima), estão defasados de 45º em relação aos planos principais (já que os 
dobros dos valores de θ∗ e de θp são defasados de 90º). 
 As tensões tangenciais extremas (ocorrentes em planos perpendiculares entre si, portanto de 
igual valor) serão calculadas substituindo o resultado de 8.2.4 em 8.1.4, obtendo-se: 
 
 ττττMax/Min = ττττ* = ττττ** = +/- √ [½ (σσσσx - σσσσy)] 
2 + (ττττxy )
2 .......................(8.2.5) 
 
 Para avaliar as tensões normais (σ* e σ**), ocorrentes nos planos onde a tensão tangencial é 
extrema, levaremos o resultado obtido em 8.2.4 à equação 8.1.3, concluindo que: 
 
 σ* = σ** = ½ (σx + σy) = σMédia ....................................(8.2.6) 
 
 O caso proposto no exemplo 8.2.1 visto acima, τMax/Min = 52MPa. 
 O estado de tensão no ponto P do exemplo citado pode, em resumo, ser representado como a-
baixo, mostrando a variação das componentes da tensão (em MPa) com a orientação do plano da seção: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: Para o caso em análise teremos: σx = + 40; σy = 0; τxy = (-)* 48 (MPa). 
* o sinal (-) decorre de ser uma tensão atuante numa “face positiva” (normal externa x) e 
orientada no sentido negativo do eixo y. Observe que θ = -30º (x→y→z) 
Levando em (8.1.1) e (8.1.2) obteremos: 
 σn = ½ (40 + 0) + ½ (40 - 0) cos 2(-30) + (-48) sen 2(-30) = + 71,57 MPa 
 σt = ½ (40 + 0) + ½ (40 - 0) cos 2(60) + (-48) sen 2(60) = - 31,57 MPa 
 τnt = - ½ (40 − 0) sen 2(-30) + (-48) cos 2(-30) = - 6,68 MPa 
Resp. (a) → σσσσn = 71,6 MPa (T); σσσσt = 31,6 MPa (C); ττττnt = 6,68 MPa (-) 
As tensões principais serão: 
 σ p1 = ½ (40 + 0) + √ [½ (40 - 0)] 2 + (−48 )
2 = 20 + √ (400 + 2304) = 20 + 52 = 72 MPa 
 σ p2 = ½ (40 + 0) - √ [½ (40 - 0)] 2 + (−48 )
2 = 20 - √ (400 + 2304) = 20 - 52 = -32 MPa 
 tg 2θp = - 48 / ½ (40) = - 2,4; 2θp = - 67,38º; θp1 = -33,7º; θp2 = -33,7 +90 = 56,3º. 
Nota: observe que o plano “n” é próximo ao plano principal (p1) 
 
y 
x 40 40 
48 
48 
-30º 
71,6 
31,6 6,68 
tn 
72 
32 p1 
p2 
-33,7º 
+11,3º 
** 
* 
52 20 
20 
20 
20 72 
32 
52 
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 8.3 – Círculo de Mohr para as tensões. 
 Um método bastante útil para a avaliação de como variam as componentes da tensão com a 
orientação do plano da seção é o método gráfico de Mohr que, ao analisar as equações 8.1.3 e 8.1.4, 
reescreveu-as na forma: 
σn - ½ (σx + σy) = ½ (σx - σy) cos 2θ + τxy sen 2θ 
 τnt = - ½ (σx - σy) sen 2θ + τxy cos 2θ. 
 
 Quadrando, somando membro a membro e feitas as simplificações (cos2 2θ + sen2 2θ=1), obtem-se: 
 [σσσσn - ½ (σx + σy)]
2 + ττττnt 
2 = [½ (σx - σy)]
2 + τxy 
2] ............(8.3.1) 
 
 A equação acima tem o formato da equação de uma circunferência → (x – a)2 + (y – b)2 = R2, 
considerando as variáveis σσσσn e ττττnt , e eliminado o parâmetro θ. 
 Num plano cartesiano σn x τnt a circunferência teria centro nas coordenadas: 
 a = ½ (σx + σy) ; b = 0 e raio R = [½ (σx - σy)]
2 + τxy 
2]1/2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Analisando a figura obtida, é fácil confirmar que: 
 σp1 = σmáximo = σmédio + Raio; σp2 = σmínimo = σmédio – Raio; τmáximo = Raio 
 sendo σmédio = ½ (σx + σy); e R = [½ (σx - σy)]
2 + τxy 
2]1/2 . 
Fig. 8.3.1 – Círculo de Mohr. A ambigüidade quanto aos sinais +/- da ordenada correspondente 
à tensão tangencial fica resolvida adotando-se a seguinte convenção: MARCAR ττττ para cima (↑)
caso o sentido de giro seja horário (����) e para baixo, caso seja anti-horário ( ���� ) (análoga à 
convenção de sinais adotada para a força cortante → Q). 
���� 
���� 
σσσσn 
ττττnt 
½ (σx -σy) 
ττττyx = ττττxy 
ττττxy = ττττyx 
 
R 
σσσσp2 
ττττMax 
TRAÇÃO COMPRESSÃO 
σσσσp1 
σσσσx 
½ (σx + σy) 
σσσσy 
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 O traçado do Círculo de Mohr é feito, quando se conhecem os valores das tensões em dois pla-
nos perpendiculares, plotando os pontos correspondentes aos pares de valores (σx, τxy) e (σy, τyx). 
Embora τxy e τyx sejam sempre iguais (com o mesmo sinal) os seus sentidos de giro sempre serão 
opostos, portanto os dois pontos ocuparão posições diametralmente opostas. Unindo tais pontos 
obtemos a posição do centro do círculo, sobre o eixo σn, traçando-se a circunferência, passando pelos 
dois pontos considerados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
σσσσx 
ττττxy 
σσσσy 
ττττyx 
���� 
���� 
���� 
���� 
σσσσx 
σσσσy 
ττττxy 
ττττyx 
σσσσn 
ττττnt 
½ (σx +σy) 
 
���� 
���� 
½ (σx +σy) 
 
���� 
σσσσn 
ττττnt 
½ (σx -σy) 
ττττyx 
ττττxy 
 
σσσσp2 
ττττMax 
σσσσp1 
σσσσx 
½ (σx + σy) 
σσσσy σx 
τxy 
 σy 
τyx 
σσσσp1 
 
σσσσp1 
 
σσσσp2 
 
σσσσmed 
 
ττττmax 
 
2θP 
θP 
τMax 
σMed 
σσσσp2 
τMax 
σMed 
Observando que o ângulo 2θp aparece traçado no gráfico →arc tg [τxy / ½ (σx +σy)], define-se um ponto da 
circunferência (denominado PÓLO) do qual irradiam as direções normais aos planos onde atuam as diversas 
tensões, cujos valores correspondem às coordenadas do outro traço com a circunferência.. Assim, o pólo P é 
obtido traçando-se uma linha na direção do eixo “x”, passante pelo ponto do círculo correspondente ao par de 
tensões ocorrentes no plano “x” (da mesma forma seria o ponto obtido utilizando a direção “y”). As direções 
principais “1” e “2” são obtidas traçando a partir do pólo linhas que passam pelos pontos representativos das 
tensões σp1 e σp2. Procedimentos análogos permitiriam obter as orientações dos planos onde τ é máximo. 
45º 
45º 
Observe que o 
ângulo 2θp (cen-
tral) e o ângulo 
θp (inscrito), 
sub-tendem o 
mesmo arco. 
Pólo 
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Exemplo 8.3.1- Num certo ponto de uma viga são conhecidas as seguintes tensões: 
 σσσσx = + 50MPa; σσσσy = -10MPa; ττττxy = ττττyx = - 40MPa. 
 Utilizando o Círculo de Mohr, pede-se determinar: 
a) as tensões principais; 
b) a máxima tensão tangencial 
c) a orientação dos planos principais. 
Solução: traçado o plano de Mohr (σ x τ) são plotados os pontos correspondentes aos pares de valores 
de tensão, no plano (x) (vertical) (PV → + 50, à direita da origem; 40, para cima, pelo sentido horário 
de giro) e no plano (y) (horizontal) (PH → -10, à esquerda da origem; 40, para baixo, pelo sentido anti-
horário de giro). O centro do círculo ( C ), posicionado no eixo dos σ, é obtido unindo os pontos PV e 
PH (20; 0). O círculo é traçado, com centro em C, e com raio igual à distância C-PV, ou C-PH (R= 50). 
As tensões principais valerão: σP1 = 20 + 50 = 70 MPa; σP2 = 20 - 50 = - 30 MPa; τmax=50MPa. O 
PÓLO do círculo de Mohr é o ponto de onde partem as direções perpendiculares aos planos onde atu-
am as tensões e que interceptam o círculo num outro ponto cujas coordenadas representam o par de 
tensões ocorrentes no plano considerado. Assim, traçando pelo ponto PV (50;40�) um linha paralela 
ao eixo x, encontramos o pólo no ponto (-10; 40), como também se tivéssemos traçado pelo ponto PH 
(-10;40�) uma reta com a direção “y”. 
Os planos principais formam, com o plano vertical, um ângulo tal que: tg 2θ = - 40/ ½[50 – (-10)]=-1,333; 
 2θ = - 53,1º; θ = - 26,6º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
σx 
σy 
τxy 
τyx 
10 20 30 40 50 60 70 80 
σσσσ 
(MPa) -10 -20 -30 
10 
20 
30 
40 
50 
60 
-10 
-20 
-30 
-40 
-50 
-60 
50MPa 50MPa 
-10MPa 
-10MPa 
40MPa 
50MPa 
40MPa 
-10MPa 
40MPa 
70MPa 
-30MPa 
50MPa 
20MPa 
20MPa 
50MPa 
P 
-30MPa 
-30MPa 
70MPa 
20MPa 
20MPa 
20MPa 
20MPa 50MPa 
PV 
PH 
C 
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 8.4 – Estado Triplo de Tensões. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sx dA = σx dA cos θx + τyx dA cos θy + τzx dA cos θz 
ou seja: 
 Sx = σx λ + τyx µ + τzx ν.......... Procedendo analogamente para os eixos y e z, obtemos: 
 Sy = τxy λ + σy µ + τzy ν. .................................................... (8.4.1) 
 Sz = τxz λ + τyz µ + σz ν. 
 
 O sistema de equações lineares acima pode ser re-escrito na notação matricial, sob a forma 
compacta: 
 
 Sx σx τyx τzx λ 
 S = Sy = τxy σy τzy µ = { S } n, onde { S } = , 
 Sz τxz τyz σz ν 
 
representa o chamado “tensor das tensões” (tensor de 2ª. ordem*, com 9 componentes escalares) que 
define o estado de tensão no ponto considerado. É importante reconhecer que, para um determinado 
carregamento a que o corpo está submetido, num certo ponto, o estado de tensão deverá ser invariante 
quanto à orientação do sistema de referência (x, y, z) utilizado para a avaliação de suas componentes. 
 * - um vetor é um tensor de 1ª. ordem (com 3 componentes escalares), representado por 
uma matriz coluna, enquanto um escalar é um tensor de ordem zero (apenas uma componente esca-
lar). 
 
σx 
 
τxz 
 
τxy 
 
σy 
 
τyz 
 
τyx 
 
σz 
 
τzx 
 τzy 
 Sz 
 
Sx 
 
Sy 
 n 
 
x 
y 
z 
θx 
 Analisemos o caso geral do 
estado de tensão em um ponto de um 
corpo carregado onde se conhecem as 
tensões que atuam nos três planos or-
togonais (x, y e z), e que sejam todas 
elas positivas (conforme indicado na 
figura ao lado). 
 A tensão S, atuante em um pla-
no qualquer, cuja normal n forma com 
os eixos coordenados os ângulos dire-
tores θx, θy e θz, será determinada ana-
lisando o equilíbrio das forças atuan-
tes na pirâmide elementar mostrada, 
forças essas obtidas multiplicando as 
tensões pelas correspondentes áreas 
onde atuam. 
 Designando por dA a área onde 
atua a tensão desconhecida S (de 
componentes Sx, Sy, e Sz) e por 
λ, µ e ν os co-senos diretores da nor-
mal n à essa área (sendo λ2+µ2+ν2=1), 
podemos escrever,pelo equilíbrio das 
forças atuantes na direção x: 
dA 
θx 
θy 
θz 
x 
z 
y 
n 
Fig. 8.4.1 – Estado triplo de tensões 
σx τyx τzx 
τxy σy τzy 
τxz τyz σz 
 
Análise de Tensões e Deformações 
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Portanto, apesar de as componentes τij variarem conforme sejam orientados os eixos do sistema 
de referência, o tensor {S } será um invariante, representativo do estado de tensão no ponto conside-
rado. 
 Conhecido o vetor tensão (Sn = Sx i + Sy j + Sz k ) atuante num plano definido por seu vetor 
normal (n = λ i + µ j + ν k ), podemos determinar o valor da componente normal σn, fazendo: 
 
 σn = Sn . n = Sx . λ + Sy . µ + Sz . ν ................................... (8.4.2) 
 
 A componente tangencial será obtida fazendo: 
 
 τnt = [(Sx)
2 + (Sy)
2
 + (Sz)
2 - (σn)
2 ]1/2 ...........................................(8.4.3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 8.4.1: Para o estado de tensões represen-
tado na figura ao lado, pede-se determinar: 
a) a tensão normal atuante no plano (1), per-
pendicular ao plano yz, e que forma um ân-
gulo de 30º com o plano xy; 
b) a tensão tangencial num plano (2) cuja 
normal forma ângulos iguais com os eixos 
coordenados (não representado). x 
y 
z 
1 
80MPa 
80MPa 
40MPa 
Solução: para o estado de tensão representado teremos: σx = -80 MPa; τyz = τzy = +40MPa, 
sendo as demais componentes da tensão todas nulas. O tensor das tensões será representado 
como: 
 {S } = Para o plano (1) tere-
mos: θx=90º; θy=120º; θz=30º; e 
 λ = 0; µ = -0,500; ν = 0,866. 
 0,000 
 n = -0,500 , portanto: Sn
1 = 0 i + (40 x 0,866) j + [40 x (-0,500)] k , ou seja: 
 0,866 Sx = 0; Sy = 34,64MPa; Sz = -20MPa; [Sn] = [34,642 + (-20)2]1/2 = 40MPa 
No plano (1) teremos: σn
(1)= [34,64 j + (-20) k ] ● [(-0,500) j + 0,866) k] = - 34,64MPa (compr.) 
τnt = (402 – 34,642)1/2 = 20MPa. 
 Resp.(a) – 34,6MPa (compressão) 
Para o plano (2) (não representado na figura),a igualdade dos ângulos diretores da normal ao 
plano nos permite concluir que λ = µ = ν , e como λ2 + µ2 + ν2 = 1 , 
λ = µ = ν = (1/3)1/2 = 0,57735 →(θ = 54,730). 
Sn
2 = (-80 x 0,57735) i + (40 x 0,57735) j + [40 x (0,57735)] k = -46,19 i + 23,09 j + 23,09 k 
 σn
(2)= [ - 46,19 i + 23,09 j + 23,09 k ] ● (0,57735) [ i + j + k ] = 0 MPa. 
 τnt
(2)
 = (46,162 + 23,092 + 23,092)1/2 = 56,57MPa. 
 Resp.(b) – 56,6MPa 
-80 0 0 
 0 0 +40 
 0 +40 0 
30º 
n 
Análise de Tensões e Deformações 
 9
 
8.5 – Tensões Principais. 
 A simetria do tensor das tensões indica que existirá uma especial orientação do sistema de eixos 
x, y, z, para a qual a matriz representativa das componentes ficará diagonalizada, ou seja, 3 planos per-
pendiculares onde as tensões serão normais (sem componente tangencial), e com valores reais: 
 
 
 ► → → → ► 
 
 
 Estes são os chamados planos principais, onde atuam tensões que lhe são perpendiculares 
(tensões principais - σσσσp ), para as quais se pode re-escrever a equação (8.4.1) como: 
 
 Sx = σp λ = σx λ + τyx µ + τzx ν; 
 Sy = σp µ = τxy λ + σy µ + τzy ν; 
 Sz = σp ν = τxz λ + τyz µ + σz ν; 
 
já que tais tensões não têm componentes tangenciais. 
 O sistema pode ser escrito na forma de equações lineares homogêneas: 
 
 (σx - σp) λ + ( τyx ) µ + ( τzx ) ν = 0 
 ( τxy ) λ + (σy - σp) µ + ( τzy ) ν = 0 
 (τxz ) λ + ( τyz ) µ + (σz - σp) ν = 0 
 
que terá soluções não triviais (diferentes da λ = µ = ν = 0), se for nulo o determinante principal: 
 
 (σx - σp) ( τyx ) ( τzx ) 
 ( τxy ) (σy - σp) ( τzy ) = 0 
 (τxz ) ( τyz ) (σz - σp) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
σx τyx τzx 
τxy σy τzy 
τxz τyz σz 
 
σ1 0 0 
 0 σ2 0 
0 0 σ3 
 
x 
y 
z 
3 1 
2 
o que leva a uma equação do 3º grau em σp, para a qual correspon-
derão três soluções (os “auto-valores” da transformação, que cor-
respondem às tensões principais - σσσσp1 > σσσσp2 > σσσσp3 ): 
 
σp
3 - (σx +σy +σz) σp
2 +(σx σy + σy σz +σz σx -τxy
2-τyz
2-τzx
2) σp –
 - (σxσyσz -σxτxy
2 - σyτzx
2 - σzτxy
2 + 2τxyτyzτzx) = 0 
 
Obs. para determinação das raízes da equação cúbica visite o site: 
σσσσp1 σσσσp3 
σσσσp2 
 
ττττmáx 
 http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/215/raizes3g.htm 
 
A máxima tensão tangencial ocorrerá no plano bissetor dos planos 1 e 3, valendo: 
 
 ττττmáx = ½ (σσσσp1 - σσσσp3) 
 
Análise de Tensões e Deformações 
 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8.6 – Círculos de Mohr para o estado triplo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 8.4.1 (continuação). Para o estado de tensão representado no 
exemplo acima, pede-se determinar: 
a) as máximas tensões normais de tração e de compressão; 
b) a máxima tensão tangencial 
Solução: o determinante da matriz principal igualado a zero fornece: 
 (-80-σp) (0) (0) 
 (0) (0-σp) (40) = 0 e portanto: (-80-σp) (σp
2 - 402) = 0, e 
 (0) (40) (0-σp) σ p3 = (-80); σ p2 = (-40); σ p1 = (+40); 
 
 τmáx = ½ (σp1 - σp3) = ½ [40 – (-80)] = 60MPa 
 
3→x 
80MPa 
80MPa 
40MPa 
40MPa 
1 
2 
σp1 
σp1 
σp2 
σp2 
σp3 
σp3 1-3 
2-3
1-2
σp3 
σp2 
σp1 
σ 
τ 
+ 
_ 
Seja um estado de tensão definido pelas tensões 
principais σp1, σp2, σp3, conforme mostrado ao lado. 
Analisando a variação da tensão em planos perpen-
diculares ao plano da tensão σp3 (como os planos 1-2 
mostrados, girando com charneira no eixo 3) obtem-se 
os mesmos resultados a que se chegou na análise do 
estado duplo de tensões (já que a terceira tensão σp3 
não interfere no equilíbrio dos esforços ao longo dos 
eixos 2 e 3). Desta forma, obter-se-á um círculo de 
Mohr ( ) que representará as tensões nesses planos. 
Da mesma forma, a análise das tensões ocorrentes 
nos planos perpendiculares ao plano onde atua a ten-
são σp2 (como os planos 1-3 ) nos levará ao círculo →
( ), enquanto as tensões atuantes em planos per-
pendiculares ao plano no qual atua a tensão σp3 se-
rão representadas pelo círculo ( ). 
 Demonstra-se que, para planos outros, o pon-
to do plano de Mohr que representa o par de valores 
de tensão (σ, τ) atuantes estará sobre a região ha-
churada (os chamados arbelos ). 
 Fica evidente na figura que: 
 
 ττττmáx = ½ (σσσσp1 - σσσσp3) .......................(8.6.1) 
 
1 
2 
3 
Fig. 8.6.1 – Círculos de Mohr para o estado 
triplo de tensões 
Análise de Tensões e Deformações 
 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8.7 – Análise de deformações. 
 Ao se analisar o comportamento elástico dos materiais, buscando estabelecer relações de causa 
e efeito entre forças (tensões) e deformações (deformações específicas), deve-se reconhecer que são as 
deformações as ações mecânicas que, promovidas em um corpo deformável, produzem, como conse-
qüência, as tensões despertadas no material, e não o inverso (tensões como causadoras de deforma-
ções). No próprio ensaio de tração produzido através máquina universal, verifica-se que a deformação 
(variação do comprimento do corpo de prova) é a variável gerada de forma gradual e contínua (medi-
da diretamente como a variável livre do problema) enquanto a correspondente tensão é medida indire-
tamente (como uma variável dependente, função da deformação). Ou seja, calculam-se os valores das 
tensões medindo-se as deformações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 8.6.1: Para os estados de tensão representados, traçar os círculos de Mohr correspondentes.
σ1 
σ1 
σ1 
σ1 
σ1 
σ1σ2 
σ2 
σ2 
σ2 
σ2 
σ2 
σ3 
σ3 
σ3 
σ3 
σ3 
σ3 
σ 
σ 
σ 
σ 
σ 
σ 
τ 
τ 
τ τ 
τ 
τ 
TRAÇÃO PURA 
COMPRESSÃO PURA 
CORTE PURO 
TRAÇÃO SEMI-HIDROSTÁTICA 
COMPRESÃO HIDROSTÁTICA 
ESTADO DUPLO DE TENSÕES 
 A medição das deformações específicas longitudinais 
ocorrentes em pontos da superfície externa de corpos carrega-
dos (onde as tensões, em geral, atingem seus valores extremos) é 
feita através de pequenos aparelhos denominados extensôme-
tros (strain gages), constituídos por uma fita suporte aderente 
à superfície do corpo na qual é fixado um fino fio condutor 
padronizado e armado como mostra a figura 8.7.1 (em forma 
sanfonada). O aparelho é colado à superfície do corpo quando 
descarregado, orientado segundo uma direção que se quer me-
dir a deformação (por exemplo ‘x’) e, após a aplicação da car-
ga, o corpo se deforma produzindo o alongamento do fio na-
quela direção, reduzindo sua área de seção e gerando um au-
mento de sua resistência ôhmica. Através de uma fonte de ten-
são elétrica previamente calibrada, e medida a variação da cor-
rente elétrica correspondente, obtem-se a informação desejada 
quanto à componente da deformação na direção estudada 
(εεεεx). 
x 
Fig - 8.7.1 - Extensômetros 
Análise de Tensões e Deformações 
 12 
 
 
 Como se verá a seguir, conhecidas as deformações longitudinais específicas em duas direções 
perpendiculares (εx, εy) bem como a distorção(γxy) sofrida pelo par de eixos, será possível determinar 
deformações específicas e distorções em quaisquer direções, obtendo-se inclusive seus valores extre-
mos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[(1 + εn) ds]2 = [(1 + εx) dx]2 + [(1 + εy) dy]2 – 2[(1 + εx) dx][ (1 + εy) dy] cos (π/2 + γxy). 
Efetuando as simplificações, considerando os pequenos valores de ε e γ, bem como, sendo 
dx/ds = cos θ, dy/ds = sen θ e cos (π/2 + γxy) = - sen γxy ~ - γxy obtemos: 
 
 εn = εx cos2 θ + εy sen2 θ + γxy sen θ cos θ ............................................. (8.7.1) 
 
 
Para a direção transversal t, perpendicular à n (θt = θ + 90º) teremos: 
 
 εt = εx sen2 θ + εy cos2 θ - γxy cos θ sen θ ............................................. (8.7.2) 
 
 Somando membro a membro as equações mostradas, observamos a invariância da soma das 
deformações específicas para quaisquer duas direções perpendiculares: 
 
 εn + εt = εx + εy (para qualquer θ, medido entre x e n)..................................... (8.7.3) 
 
Por outro lado, a deformação específica longitudinal na direção da bissetriz do quadrante for-
mado pelos eixos x e y (θ = 45º) será dada (de 8.7.1) por: 
 
(ε biss)
x, y = εx (1/2) + εy (1/2) + γxy (1/2), 
 
de onde podemos concluir que: 
 
γxy = 2 (ε biss)
x, y – (εx 
 + εy)............(8.7.4) 
 
 
Considerando as relações sen 2θ = 2 sen θ cos θ e cos 2θ = cos2 θ - sen2 θ, teremos: 
 
εεεεn = ½ (εεεεx + εεεεy) + ½ (εεεεx - εεεεy) cos 2θ θ θ θ + ½ γ γ γ γxy sen 2θθθθ ........................... (8.7.5) 
 A figura 8.7.2 mostra um elemento, em for-
ma de uma figura retangular, no entorno de um pon-
to da superfície de um corpo descarregado que, ao 
ser solicitado, sofre deformações nas direções x e y, 
bem como uma distorção gerando uma modificação 
na ortogonalidade desses eixos, passando a figura a 
ter a forma do paralelogramo OABC indicado. 
 A diagonal do retângulo original, orientada 
numa direção n que forma um ângulo θ com a dire-
ção x, sofrerá uma elongação que poderá ser calcu-
lada, utilizando a lei dos co-senos para o triângulo 
OAB: 
x 
n 
y 
εy dy 
εx dx dx 
 dy 
 ds 
εεεεn ds 
θθθθ (π/2) + γxy 
O 
A 
B 
C 
Fig - 8.7.2 – Variação da deformação 
45º 
45º 
x 
y 
(biss)x,y 
εy 
εx 
(εbiss)
x,y 
Análise de Tensões e Deformações 
 13 
 
Para a direção transversal (θ + 90º), como cos(2θ + 180) = - cos2θ e sen(2θ + 180)=-sen2θ: 
 
εt = ½ (εx + εy) - ½ (εx - εy) cos 2θ - ½ γxy sen 2θ ........................... (8.7.6) 
 
A deformação específica na direção bissetriz do quadrante formado pelos eixos n e t será obtida 
fazendo θ’ = θ + 45 em (8.7.5), obtendo-se, já que cos(2θ + 90) = - sen 2θ e sen(2θ + 90)= cos 2θ: 
 
(εbiss)
n,t = ½ (εx + εy) - ½ (εx - εy) sen2θ + ½ γxy cos 2θ 
 
Levando em conta que de (8.7.4) teremos: γnt = - (εn 
 + εt) 
 + 2 (ε biss)
n, t, e considerando a 
invariância estabelecida em 8.7.3, podemos escrever: 
 
½ γ γ γ γnt = - ½ (εεεεx - εεεεy) sen 2θ θ θ θ + ½ γ γ γ γxy cos 2θ θ θ θ ........................................ (8.7.7) 
 
As equações (8.7.5) e (8.7.7) são formalmente idênticas às equações (8.1.3) e (8.1.4) obtidas quando da 
análise das tensões, em relação às quais as equivalências são evidentes: 
Símbolo 
 
Grandeza Convenção de 
Sinais 
Símbolo Grandeza Convenção de 
Sinais 
 
σn 
 
 
Tensão 
Normal 
 
εn 
Deformação 
específica lon-
gitudinal 
 
 
τnt 
 
 
Tensão 
Tangencial 
 
1/2 γnt 
 
Distorção 
 
 Valendo-nos dos resultados já obtidos na análise das tensões no estado duplo, através do estudo 
de sua variação com a orientação do plano da seção e de seus valores extremos alcançados, podemos 
concluir que: 
 
• As deformações longitudinais principais (máxima ε1 , e mínima ε2) ocorrem em duas direções 
perpendiculares entre si, em relação às quais não há distorção (γ12 = 0) e que valerão: 
 
ε1 = (εx + εy)/2 + {[ (1/ 2) (εx - εy)]
2 + (γxy / 2)2} 1/2 ...................... (8.7.8) 
ε2 = (εx + εy)/2 - {[ (1/ 2) (εx - εy)]
2 + (γxy / 2)2} 1/2 
 
orientadas em relação ao eixo x tomado como referência através de dois ângulos complementa-
res dados por: 
 tg 2θP = γxy / (εx - εy) ............................................................. (8.7.9) 
 
• A distorção máxima ocorre nas direções bissetrizes das direções principais, atingindo o valor: 
 
γmáx / 2 = +/- {[ (1/ 2) (εx - εy)]
2 + (γxy / 2)2} 1/2 .............................(8.7.10) 
 
Nessas duas direções, as deformações específicas longitudinais são iguais, valendo: 
 εméd = (εx + εy)/ 2 
 
+ 
- 
+ - 
+ 
- 
+ - 
Análise de Tensões e Deformações 
 14 
 Uma representação gráfica da variação das deformações com a orientação da direção analisada 
através do CÍRCULO DE MOHR também pode ser utilizada, traçando o plano de Mohr, tendo como 
eixo das abscissas as deformações longitudinais ε (positivas, marcadas para a direita, se de elongação e 
negativas, marcadas para a esquerda, se de encurtamento – à semelhança com a convenção para as ten-
sões normais) e no eixo das ordenadas a metade da distorção (1/2 γxy)- marcada para cima, quando o 
eixo gira no sentido horário e marcada para baixo quando o giro é no sentido anti-horário – a seme-
lhança com a convenção para as tensões cisalhantes). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Através da mecânica experimental verifica-se que a medida direta dos pequenos ângulos de dis-
torção (γxy) é impraticável. Usa-se, então, o expediente de se medir a deformação longitudinal ao longo 
de uma terceira direção, através de um arranjo de extensômetros denominado “roseta” , obtendo-se, 
indiretamente, o valor da distorção. Medindo-se as deformações longitudinais em três direções (a, b, c) 
que formam ângulos θa, θb, θc, com uma dada direção x - fig-8.7.4 – (A), de (8.7.1) podemos escrever: 
 
εa = εx cos2 θa + εy sen2 θb + γxy sen θa cos θa 
εb = εx cos2 θb + εy sen2 θb + γxy sen θb cos θb 
εc = εx cos2 θc + εy sen2 θc + γxy sen θc cos θc 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n 
y 
εy dy 
εx dx dx 
 dy 
 ds 
εεεεn ds 
θθθθ 
(π/2) + γxy 
O 
Fig-8.7.3 – Círculo de Mohr para as deformações. Deformações principais. Distorção máxima. 
x 
½ γxy 
½ γxy 
½ γxy 
½ γxy 
εεεε 
ε2 
εy 
εmédio εx 
ε1 
½ γmáx 
x 
γ/2γ/2γ/2γ/2 y 
pólo 
 Trata-se de um sistema de 3 equações a 3 in-
cógnitas que, resolvido, permite a obtenção dos valo-
res das incógnitas εx, εy e γxy . 
A figura 8.7.11 (B) (C) (∆) mostra alguns mo-
delos de rosetas normalmente utilizadas, destacando-se a tipo (B) que, diretamente, fornece os valores de 
 εx e εy enquanto que a leitura do terceiro sensor a 
45° (εbiss)
x, y permite obter o valor de γxy através da 
equação 8.7.4. Fig. 8.7.4 – Rosetas de deformação. 
45º 
(B) 
a 
b c 
(A) 
120º 120º 
120º (C) (∆) 
θb 
x x 
y 
Exemplo 8.7.1 – São medidas as deformações específicas na superfície de um elemento estrutural 
em três direções defasadas de 120º (roseta em delta), obtendo-se os valores: 
 ε 0 = + 800µ; ε 120 = + 600µ; ε 240 = - 200µ. 
Pede-se: a) as máximas deformações (positiva e negativa) e a máxima distorção; 
 b) o ângulo entre a direção da fibra mais alongada e a direção do sensor base (0); 
 c) mostrar que para uma roseta deste tipo a soma das leituras dos três sensores independe da 
orientação de seu posicionamento. 
 d) esboçar o círculo de Mohr correspondente ao estado de deformação no ponto considerado. 
Análise de Tensões e Deformações 
 15 
 
 
Solução: para a roseta em ∆ (adotando o eixo x segundo a direção do sensor base 0), teremos: 
 + 800 = εx 
 + 600 = εx cos2 120 + εy sen2 120 + γxy sen 120 cos 120 = 800 (0,25) + (0,75) εy - (0,4330) γxy 
 − 200 = εx cos2 240 + εy sen2 240 + γxy sen 240 cos 240 = 800 (0,25) + (0,75) εy + (0,4330) γxy 
 Somando membro a membro as 3 equações obtemos: 
ε 0 + ε 120 + ε 240 = 1,5 εx + 1,5 εy = 1,5 (εx + εy) = 3 εmédio (independente da orientação da rose-
ta - resposta c). 
 Resolvendo o sistema obtemos: εx = 800µ; εy = 0µ γxy = - 923,8µ. De 8.7.8 e 8.7.10 obtemos: 
ε1 = (εx + εy)/2 + {[ (1/ 2) (εx - εy)]
2 + (γxy / 2)2} 1/2 = 800 / 2 + [(800/2)2 + (923,8/2)2]1/2 = 1.011 µ 
 ε2 = (εx + εy)/2 - {[ (1/ 2) (εx - εy)]
2 + (γxy / 2)2} 1/2 = 800 / 2 - [(800/2)2 + (923,8/2)2]1/2 = - 211 µ 
γmáx / 2 = {[ (1/ 2) (εx - εy)]
2 + (γxy / 2)2} 1/2 = - [(800/2)2 + (923,8/2)2]1/2 = 611,0µ ; γmáx = 1.222 µ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Medidas as deformações específicas através dos extensômetros e conhecidas as propriedades 
elásticas do material (E, G, ν) será possível determinar o estado de tensões no ponto considerado. A-
través da lei de Hooke generalizada expressa pelas equações 1.7.4, temos: 
 εx = (1/E) [σx - ν (σy + σz )]; εy = (1/E) [σy - ν (σz + σx )]; εz = (1/E) [σz - ν (σx + σy )]. 
 Resolvendo o sistema para explicitar as tensões em função das deformações obtemos: 
 
 σx = [E/(1+ν)(1-2ν)][(1-ν)εx + ν(εy + εz)] 
σy = [E/(1+ν)(1-2ν)][(1-ν)εy + ν(εz + εx)] ................................... (8.7.11) 
σz = [E/(1+ν)(1-2ν)][(1-ν)εz + ν(εx + εy)] 
 
 Tratando-se de um estado duplo de tensões (σz = 0) teremos: 
 
 εz = [-ν/(1-ν)](εx + εy) ........................................................ (8.7.12) 
 
Convém observar que, apesar de, na superfície externa do corpo, onde o estado de tensão é du-
plo, a tensão seja nula, o “efeito Poisson” provoca deformações na 3ª direção, perpendicular à superfí-
cie. Neste caso as equações 8.7.11 combinadas com 8.7.12 se reduzem a 
 
σx = [E/(1-ν2)][(εx + νεy] ....................................................... (8.7.13) 
Os ângulos entre os eixos principais 
de deformação e o eixo de referência (x) 
serão dados por 8.7.9: 
tg 2θP = γxy / (εx - εy) = -923,8/800 =-1,155 
 2θP = -54,56 ou + 125,4; 
 θP1 = -27,3 e θP2 = + 62,7º; 
 O esboço do círculo de Mohr cor-
respondente ao estado de deformação em 
estudo é apresentado na figura ao lado. 
 * (ver NOTA a seguir, onde se considera-
rá a existência da deformação na 3ª direção 
(ε3 − perpendicular à superfície, devido ao 
efeito Poisson) 
200 
200 
-200 600 800 
Pólo 
x 
1 
2 
400 
400 
γ/2 
ε 
Análise de Tensões e Deformações 
 16 
σy = [E/(1-ν2)][(εy + νεx] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: utilizando a equação 8.7.4 
γxy = 2(ε biss)
x, y - (εx 
 + εy) = 2(-120) - (480 + 80) = -800µ 
Da eq. 8.7.8, ε1 = (εx + εy)/2 + {[ (1/ 2) (εx - εy)]
2 + (γxy / 2)2} 1/2 
= 280 + 447,2 = 727,2 µ 
ε2 = (εx + εy)/2 - {[ (1/ 2) (εx - εy)]
2 + (γxy / 2)2} 1/2 
= 280 – 256,1 = - 167,2 µ 
Da eq. 8.7.10, γmáx / 2 = {[ (1/ 2) (εx - εy)]
2 + (γxy / 2)2} 1/2 = 447,2 µ ; γmáx = 894,4 µ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Por outro lado, se considerarmos a existência de deformação (ε3) na direção perpendicular à 
superfície externa do corpo (onde foi fixada a roseta), teremos: 
 ε3 = [-ν/(1-ν)](εx + εy) = (-0,3/0,7)(480 + 80) = - 240µ . 
A distorção máxima terá o valor: γmáx = εp1 - εp3 .......................................(8.7.14), 
que, no caso, valerá: 
γmáx =727,2 – (-240) = 967,2µ (e não o valor anteriormente obtido → 894,4µ). 
 
A máxima tensão tangencial teria, portando, o valor: 
τmáx = G γmáx = E / 2(1 + ν) γmáx = (200x109/2,6)x967,2x10-6 = 74,4 MPa (Resp.)(e não 68,8MPa 
anteriormente calculado). 
Exemplo 8.7.2 – Na superfície da peça de aço 
esquematizada, (E=200GPa e ν = 0,300), é ins-
talada uma roseta e medidas as deformações: 
ε0 = +480µ; ε45 = −120µ; ε90 = +80µ 
 Pede-se determinar as máximas tensões nor-
mais de tração e de compressão bem como a 
máxima tensão tangencial. 
 O resultado poderia ter sido obtido às custas do círculo 
de Mohr, considerando que para uma roseta a 45º, 
ε0 = εC + R cos ϕ .....................................................(a) 
ε45 = εC + R cos (ϕ+90) = εC - R sen ϕ .................(b) 
ε90 = εC + R cos (ϕ+180) = εC - R cos ϕ ...............(c) 
 De (a)+(c) → εc = ½ (ε0 + ε90) = 280 µ 
 De (a)2 + (b)2 → R2 = (ε0 − εc)2 + (εc − ε45)2 = 
= ½ {(ε0 − ε90)2 + [2ε45 - (ε0 + ε90)]2} = 
= 1/(2)1/2 [(ε0 -ε45)]
2 + (ε45 −ε90)
2] 
= (447,2 µ)2 
ε0 
ε45 
ε90 
ε 
γ/2 
ϕ 
εεεεC 
R 
Das eq. 8.7.13, aplicadas às direções principais, obtemos 
σ1 = [E/(1-ν2)][(ε1 + νε2] = [200x109/(1-0,302)][727,2 + 0,30(-167,2)]x10-6 = 148,8MPa;(Resp.) 
σ2 = [E/(1-ν2)][(ε2 + νε1] = [200x109/(1-0,302)][-167,2 + 0,30x(727,2)]x10-6 = 11,2MPa; 
τmáx = ½ (σp1 - σp2) = 68,8 MPa, valor que poderia ser obtido considerando as equações 1.7.5 e 1.7.6: 
τmáx = G γmáx = E / 2(1 + ν) γmáx = (200x109/2,6)x894,4x10-6 = 68,8 MPa. (Não há compressão) 
 
*NOTA – no exemplo 8.7.1, supondo que o material fosse aço (ν = 0,30) teríamos: 
 ε3 = [-ν/(1-ν)](εx + εy) = (-0,3/0,7)(800 + 0) = -342,8µ . Portanto, a distorção máxima teria o 
valor: εp1 - εp3 =1.011 – (-342,8) = 1.354µ (e não o valor anteriormente obtido → 1.222µ) 
Análise de Tensões e Deformações 
 17 
 
 Os resultados obtidos podem ser bem visualizados através da representação gráfica dos círculos 
de Mohr correspondentes aos estados de deformação (considerado como triplo) e de tensão (considera-
do como triplo, tendo tensão nula na terceira direção). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
200 400 600 800 
200 
400 
50 100 150 200 
50 
100 
γ/2γ/2γ/2γ/2 
(µ) 
εεεε 
(µ) 
ττττ 
(MPa) 
σσσσ 
(MPa) 
εP3 
εP2 
εP1 σP1 
σP2 
σP3=0 
Exercício proposto: mostre, utilizando o círculo 
de Mohr (definido pela coordenada de seu cen-
tro εεεεo e por seu raio R) que, para as rosetas 
abaixo representadas: 
εo 
ε 
γ/2 
R 
90º 135º 120º 120º 
a b 
c c 
a 
b εo = ½ (εa +εb) 
R2 = ½ [(εa -εc)
2 + (εb -εc)
2] 
εo = ⅓ (εa +εb +εc) 
R2 =2 / 9[(εa -εb)
2+(εb -εc)
2 +(εc -εa)
2] 
Análise de Tensões e Deformações 
 18 
 
Fig. 8.7.5 – 
Roseta a 45° instalada 
na superfície externa 
de tubulação de parede 
fina, submetida a pres-
são e a torção. Equi-
pamento utilizado no 
laboratório da Uff pe-
los alunos do curso de 
engenharia mecânica 
no ano 2003.