Módulo sobre Números-Índices

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UNIDADE I 
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Exemplo 1: 
� Uma alta ou baixa no preço do vinagre ou uma alta ou baixa no preço 
do leite deve influenciar diferentemente a composição nos custos de 
alimentação. 
� Suponhamos que os seguintes preços ocorreram para o vinagre e o 
leite nos períodos de 2006 e 2007, conforme Tabela (1.1) abaixo. 
Tabela (1.1) – Dados para ilustrar a importância relativa de um item 
sobre o conjunto. 
ANO 
ITEM 
2006 2007 
Leite R$1,00 R$1,50 
Vinagre R$3,80 R$3,30 
 
Se determinarmos o índice de preço agregado simples de Bradstreet-
Dutot (aa sseerr eessttuuddaaddoo ppoosstteerriioorrmmeennttee) para esses itens, como segue: 
( )
( )
( )
( )
%100100
80,300,1
30,350,1
100
1
0
1
07,06 =×+
+
=×=
∑
∑
=
=
n
i
i
n
i
i
t
P
P
P
I 
Então, através do cálculo verifica-se que não houve alta nos preços. 
Esse resultado, com certeza, pode ser totalmente errado (salvo 
situações bastante especificas), pois, o leite é um produto com maior 
intensidade de consumo que o vinagre, portanto, o leite deve pesar 
mais na composição de preços na estimativa de gastos de consumo do 
que o vinagre. 
 
 
Exemplo 2 
Considere os seguintes preços de certo produto: 
00,110$2005 RP = , 00,121$2006 RP = e 15,139$2007 RP = 
E verifique se a definição de número índice simples de preço satisfaz as propriedades de Fisher 
de número índice. 
Solução: 
Portanto, os seguintes números índices simples de preço1 podem ser estimados: 
%100100
110
110
2005,2005 =×=I , %110100110
121
2006,2005 =×=I , 
%90,90100
121
110
2005,2006 =×=I , %115100121
15,139
2007,2006 =×=I , 
%95,86100
15,139
121
2004,2005 =×=I , %05.7910015,139
110
2005,2007 =×=I , 
%5,126100
110
15,139
2007,2005 =×=I . 
� Verificação da propriedade de existência: 
0,0 ≠tI → %1002005,2005 =I , %1102006,2005 =I , %1152007,2006 =I 
Ou seja, um número índice deve ser sempre diferente de zero, como pode ser constatado 
pelos cálculos acima; 
� Verificação da Propriedade de identidade: 
 
1
 O número índice de preço simples é definido pela seguinte fórmula: 100
0
,0 ×= p
p
p tt , onde Pt é o preço atual 
e P0 o preço da base (definido de acordo com o critério do pesquisador). Para maiores detalhes veja Item (1.3.1) e 
Tabela (1.3). 
Se coincidir o período base e o período atual do número índice, então, %1000,0 =I . 
Portanto, 
%100100
110
110
2005,2005 =×=I , %100100121
121
2006,2006 =×=I 
E, assim por diante. 
� Verificação da Propriedade de inversão: 
 
O produto de dois índices invertidos é igual a 1. Ou seja, 
t
ttt I
III
,0
0,0,,0
 1
 1 =⇒=× . 
Portanto, 
 
1909,010,12005,20062006,2005 ≈×=× II , 18695,015,12006,20072007,2006 ≈×=× II 
Ou 
10,1
909,0
11
2005,2006
2006,2005 ≈== P
I , 15,1
8695,0
11
2006,2007
2007,2006 === P
I 
E, assim por diante. 
� Verificação da Propriedade circular: 
Representa-se a generalização para vários períodos, ou seja, 10,,,0 =×× ′′ tttt III → 
0,
,,0
1
t
ttt I
II =× ′′ → tttt III ,0,,0 =× ′′ . 
Portanto, 
10,79051,151,1 12005,20072007,20062006,2005 ≈××→=×× III , 
ou 
→=×× 12005,20072007,20062006,2005 III
265,1
0,7905
1
1,151,1 
1
2005,2007
2007,20062006,2005 ≈≈×→=× P
II 
Ou 
265,11,151,1 
1
2007,20052007,20062006,2005
2005,2007
2007,20062006,2005 ≈×→=×→=× IIII
II
 
� Verificação da Propriedade de proporcionalidade: 
Se a magnitude da variável, tX , aumenta numa proporção K (ou seja, ttt XKXX ′′ ×+= ), 
então, o número índice, tI ,0 , aumenta proporcionalmente à variável, tal como: 
ttt IKII ′′ ×+= ,0,0,0 . 
Portanto, 
→×+= 200620062007 PKPP →×+= 200620062007 PKPP 
→×+= 12112115,139 K 
( )
→
−
=
121
12115,139
K
( )
14876,0
121
12115,139
=
−
=K 
Assim, 
→×+= ′′ ttt IKII ,0,0,0 →×+= 2006,20052006,20052007,2005 IKII 
 
5,12611014876,01102007,2005 ≈×+=I 
 
 
 
 
 
Exemplo 3 
Uma siderúrgica produz chapas de aço. No ano de 2007 a chapa custava R$450,00 por tonelada, 
em 2008 R$470,50 e em 2009 R$490,10. Em 2007 a empresa produziu 1500 toneladas, em 
2008, 1567 toneladas e em 2009, 1590 toneladas. Os dados são resumidos na Tabela (1.3), 
abaixo. Calcular os números índices de preço, quantidade e valor para a chapa de aço: 
a) Tomando-se o ano de 2007 como base (Número Índice de Base Fixa ou Relativo de Base 
Fixa); 
b) Tomando-se o ano imediatamente anterior com base (Número Índice de Base Móvel ou 
Relativo de Ligação). 
Tabela 1.3: Dados de evoluções de preços e quantidades, para a produção e venda de chapas 
de aço. 
PERÍODO PREÇO POR TONELADA QUANTIDADE (em ton) 
O período base (0) é 2007 P07 = 450,0 Q07 = 1500 
O período atual (t) é 2008 P08 = 470,5 Q08 = 1567 
O período atual (t) é 2009 P08 = 490,1 Q08 = 1590 
 
Solução: 
Resposta (a): 
Índice de preço de base fixa: fórmula (1.1) , na Tabela (1.2) 
% 104,55100
450
5,470
100 100
07
08
08,07
0
,0 =×=×=⇒×== p
p
p
p
p
p tt (1.4) 
% 108,91100
450
1,490
100 100
07
09
09,07
0
,0 =×=×=⇒×== p
p
p
p
p
p tt (1.5) 
Observações: 
� Houve um aumento de 4,55% (104,55-100) nos preços da chapa de aço de 2007 para 2008; 
� Houve um aumento de 8,91% (108,91-100) nos preços da chapa de aço de 2007 para 2009; 
Índice de quantidade de base fixa: fórmula (1.2), na Tabela (1.2) 
% 104,47100
1500
1567
100 100
07
08
08,07
0
,0 =×=×=⇒×== q
q
q
q
q
q tt (1.6) 
 106%100
1500
1590
100 100
07
09
09,07
0
,0 =×=×=⇒×== q
q
q
q
q
q tt (1.7) 
Observações: 
� Houve um aumento de 4,47% (104,47-100) nas quantidades de chapas produzidas de 2007 
para 2008; 
� Houve um aumento de 6% (106-100) nas quantidades de chapas produzidas de 2007 para 
2009; 
Índice de valor de base fixa: fórmula (1.3), na Tabela (1.2) 
 109,22%100
1500450
15675,470
100 100
0707
0808
08,07
00
,0 =××
×
=×
×
×
=⇒×
×
×
== qp
qp
v
qp
qp
v ttt (1.8) 
 115,44%100
1500450
15901,490
100 100
0707
0909
09,07
00
,0 =××
×
=×
×
×
=⇒×
×
×
== qp
qp
v
qp
qp
v ttt (1.9) 
Observação: 
� Houve um aumento de 9,27% (109,22-100) nos valores de vendas das chapas de aço de 
2007 para 2008; 
� Houve um aumento de 15,44% (115,44-100) nos valores de vendas das chapas de aço de 
2007 para 2009. 
 
Resposta (b): 
Índice de preço de base móvel: fórmula (1.1) 
% 104,55100
450
5,470
100 100
07
08
08,07
0
,0 =×=×=⇒×== p
p
p
p
p
p tt (1.10) 
% 104,16100
5,470
1,490
100 100
08
09
09,08
0
,0 =×=×=⇒×== p
p
p
p
p
p tt (1.11) 
Observações: 
� Houve um aumento de 4,55% (104,55-100) nos preços da chapa de aço de 2007 para 2008; 
� Houve um aumento de 4,16% (104,16-100) nos preços da chapa de aço de 2008 para 2009. 
Índice de quantidade de base móvel: fórmula (1.2), na Tabela (1.2) 
% 104,47100
1500
1567
100 100
07
08
08,07
0
,0 =×=×=⇒×== q
q
q
q
q
q tt (1.12) 
 101,46%100
1567
1590
100 100
08
09
09,08
0
,0 =×=×=⇒×== q
q
q
q
q
q tt (1.13) 
Observações: 
� Houve um aumento de 4,47% (104,47-100) nas quantidades de chapas produzidas de 2007 
para 2008; 
� Houve um aumento de 1,46% (101,46-100) nas quantidades de chapas produzidas de 2008 
para 2009; 
 
Índice de valor de base móvel: fórmula (1.3), na Tabela (1.2) 
 109,22%100
1500450
15675,470
100 100
0707
0808
08,07
00
,0 =××
×
=×
×
×
=⇒×
×
×
== qp
qp
v
qp
qp
v ttt (1.14) 
 105,69%100
15675,470
15901,490
100 100
0808
0909
09,08
00
,0 =××
×
=×
×
×
=⇒×
×
×
== qp
qp
v
qp
qp
v ttt (1.15) 
Observação: 
� Houve um aumento de 9,27% (109,22-100) nos valores de vendas das chapas de aço de 
2007 para 2008; 
� Houve um aumento de 5,69% (105,69-100) nos valores de vendas das chapas de aço de 
2008 para 2009. 
 
Exemplo 4 
Considere as estimavas dos índices de base fixa de preço, de quantidade e de valor do exemplo 
3, tendo com base 2007 e período atual 2009 e verifique se eles satisfazem o critério de 
decomposição das causas. 
Solução: 
Transpondoas estimativas do Exemplo 1.2, temos: 
% 108,91100
450
1,490
100 100
07
09
09,07
0
,0 =×=×=⇒×== p
p
p
p
p
p tt (1.17) 
 106%100
1500
1590
100 100
07
09
09,07
0
,0 =×=×=⇒×== q
q
q
q
q
q tt (1.18) 
 115,44%100
1500450
15901,490
100 100
0707
0909
09,07
00
,0 =××
×
=×
×
×
=⇒×
×
×
== qp
qp
v
qp
qp
v ttt 
 (1.19) 
Portanto, 
( ) 115,44%10006,10891,1 100 09,0709,0709,07
00
,0 ≈××=×=⇒××
×
== qpvqp
qp
v ttt (1.20) 
Assim, se compararmos o resultado de (1.19) com o de (1.20), observamos que os números 
índices simples fixos, representando variações entre 2007 a 2009 satisfazem o critério de 
decomposição das causas (ou inversão dos fatores). 
 
Exemplo 5 
Encontre os índices de preço de base fixa (ou relativos de base fixa), a partir da série de 
números de base móvel, dados na Tabela (1.4), abaixo. 
 
 
 
 
 
Tabela 1.4: Conversão de índice preço de base móvel, em índice de preço de base fixa. 
ÍNDICE DE PREÇO DE BASE 
MÓVEL ( PttI ′, ) 
SUB-ÍNDICES 
t′ , t e 0 
(Relação (1.22)) 
ÍNDICE DE PREÇO DE BASE FIXA 
( tttt III ′′ ×= ,,0,0 ,Relação (1.22)) 
- 0=dez e dezt =′ 
%100, =dezdezI (propriedade de 
identidade, Tabela (1.1)) 
%103, =
P
jandezI 
0=dez, t=dez e 
jant =′ %103100)03,10,1( 
,,,
=××=
×= jandezdezdezjandez III
 
Observação: Em resumo, para obter os números índices de base fixa (ou relativos de base 
fixa) de um período, a partir de um número índice de base móvel, basta multiplicar o índice 
de base fixa do período anterior pelo índice de base móvel atual, ns formas fracionárias. 
Para obter resultados na forma percentual, basta multiplicar o resultado por 100. Ou seja, 
100,,0,0 ××= ′′ tttt III 
%5,101, =
P
fevjanI 
0=dez, t=jan e 
fevt =′ %54,104100)015,103,1( 
,,,
=××=
×= fevjanjandezfevdez III
 
%6,100, =
P
marfevI 
0=dez, t=fev e 
mart =′ %17,105100)006,10454,1( 
,,,
=××=
×= marfevfevdezmardez III
 
%4,105, =
P
abrmarI 
0=dez, t=mar e 
abrt =′ %85,110100)054,10517,1( 
,,,
=××=
×= abrmarmardezabrdez III
 
 
 
Exemplo 6 
Encontre os índices de preço de base móvel (ou relativos de ligação), a partir da série de 
números de base fixa, dados na Tabela (1.5), abaixo. 
 
 
 
 
 
Tabela 1.5: Conversão de índice preço de base fixa, em índice de preço de base móvel. 
ÍNDICE DE PREÇO 
DE BASE FIXA (
P
tI ,0 ) 
SUB-ÍNDICES 
t′ , t e 0 
(Relação (1.24)) 
ÍNDICE DE PREÇO DE BASE MÓVEL 
( 100
,0
,0
, ×=
′
′
t
t
tt I
I
I , Relação (1.24)) 
%100, =dezdezI 
0=dez e t=dez 
dezt =′ 
%100100
100
100
100
,
,
, =×=×=
dezdez
dezdez
dezdez I
I
I 
Observação: Em resumo, para obter os números índices de base móvel (ou relativos de 
ligação) de um período, a partir de um número índice de base fixa, basta dividir o índice do 
período de interesse pelo índice do período imediatamente anterior (os resultados serão na 
forma fracionária, conforme Relação (1.23)). Mas, se desejar os resultados na forma 
percentual, conforme Relação (1.24), o resultado deve ser multiplicado por 100. 
%103, =jandezI 
0=dez, t=dez e 
jant =′ 
%103100
100
103
100
,
,
, =×=×=
dezdez
jandez
jandez I
I
I 
%54,104, =fevdezI
 
0=dez, t=jan e 
fevt =′ 
%49,101100
103
54,104
100
,
,
, =×=×=
jandez
fevdez
fevjan I
I
I 
%17,105, =mardezI
 
0=dez, t=fev e 
mart =′ 
%60,100100
54,104
17,105
100
,
,
, =×=×=
fevdez
mardez
marfev I
I
I 
%85,110, =abrdezI
 
0=dez, t=mar e 
abrt =′ 
%40,105100
17,105
85,110
100
,
,
, =×=×=
marcdez
abrdez
abrmar I
I
I 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 7 
Considere o Índice do Custo de Vida, ICV/DIEESE para o período de agosto de 2005 a Março de 
2006, representado por meio de suas taxas de variação, conforme apresentado na Tabela (1.6). 
Em seguida: 
a) Determine os números os números índices de base móvel (relativos de ligação), e; 
b) Determine os números índices de base fixa, tomando agosto/95 como base. 
Observação: De janeiro a fevereiro houve um aumento de 1,49% (101,49 - 100) no preço. 
De fevereiro a março houve um aumento de 0,60% (100,6-100) no preço. De março a abril 
houve um aumento de 5,4% (105,5-100) no preço. 
Observação: Usualmente, conhecemos apenas as variações de um índice e não o próprio 
índice. Neste caso, podemos facilmente criar o índice da forma mostrada no exemplo a 
seguir e trabalhar com ele normalmente, como a seguir: 
Tabela 1.6: Taxa de variação de preço do Custo de Vida, ICV/DIEESE para o período de agosto 
de 2005 a Março de 2006, conversão das taxas de variações para de índice preço de base móvel 
e estimativas dos índices de preço de base fixa. 
TAXA DE 
VARIAÇÃO DO 
ICV/DIEESE 
(%) 
ÍNDICE DE PREÇO DE 
BASE MÓVEL 
(%) 
ÍNDICE DE PREÇO DE BASE FIXA 
( tttt III ′′ ×= ,,0,0 ,Relação (1.22)) 
(%) 
0),( =AgoAgoθ 100),( =AgoAgoI 
100),( =AgoAgoI (propriedade de identidade, 
Tabela (1.1)) 
85,1),( =SetAgoθ 101,85 
)85,1100(),(
=
+=SetAgoI
 
%85,101100)0185,10,1( 
,,,
=××=
×= SetAgoAgoAgoSetAgo III
 
50,1),( =OutSetθ 101,50 
)50,1100(),(
=
+=SetAgoI
 
%37,103100)015,10185,1( 
,,,
=××=
×= OutSetSetAgoOutAgo III
 
79,2),( =NovOutθ 102,79 
)79,2100(),(
=
+=NovOutI
 
%25,106100)0279,10337,1( 
,,,
=××=
×= NovOutoutAgoNovAgo III
 
89,1),( =DezNovθ 101,89 
)89,1100(),(
=
+=DezNovI
 
%25,108100)0189,10625,1( 
,,,
=××=
×= DezNovNovAgoDezAgo III
 
59,4),( =JanDezθ 104,59 
)59,4100(),(
=
+=JanDezI
 
%21,113100)0459,10825,1( 
,,,
=××=
×= JanDezDezAgoJanAgo III
 
05,0),( =FevJanθ 100,05 
)05,0100(),(
=
+=FevJanI
 
%26,113100)0005,11321,1( 
,,,
=××=
×= FevJanJanAgoFevAgo III
 
04,1),( =MarFevθ 101,4 
)04,1100(),(
=
+=MarFevI
 
%84,114100)014,11326,1( 
,,,
=××=
×= MarFevFevAgoMarAgo III
 
 
 
Exemplo 7 
 
 
Na Tabela (1.7), abaixo, apresenta uma série de número-índice de preço de base fixa, tendo 
como base 2004. Mudar a base da série para 2006. 
Tabela 1.7: Ilustração de mudança de base de uma série de números índices de base fixa. 
P
tI ,04 
(%) 
 ( 100
,0
,0
, ×=
′
′
t
t
tt I
I
I , Relação (1.25)) 
10004,04 =
PI 82,87100
86,113
100
100
06,04
04,04
04,06 =×=×= I
I
I p 
12,10905,04 =
PI 83,95100
86,113
12,109
100
06,04
05,04
05,06 =×=×= I
I
I p 
86,11306,04 =
PI 10006,06 =
pI 
69,11607,04 =
PI 48,102100
86,113
69,116
100
06,04
07,04
07,06 =×=×= I
I
I p 
20,12308,04 =
PI 20,108100
86,113
20,123
100
06,04
08,04
08,06 =×=×= I
I
I p 
 
 
 
 
Exemplo 8: 
Considere os dados da Tabela (1.7) abaixo, para o período de 2003-2006 e determine os índices 
de preço e de quantidade agregados simples de Bradstreet-Dutot, de Sauerbeck, média 
geométrica e média harmônica, tomando como base o ano de 2003. 
Tabela 1.7 – Dados de preços e quantidade de três produtos, para o período de 2003 a 2006 e cálculos 
preliminares para estimativas dos números índices, nas linhas em cinza da tabela. 
PREÇO 
 
 
ARTIGO 
2003 2004 2005 2006 
Preço 
(R$) 
Quantidade 
Preço 
(R$) 
Quantidade 
Preço 
(R$) 
Quantidade 
Preço 
(R$) 
Quantidade 
A 
(Tonelada) 
12,0 4 15,0 6 18,0 9 20,0 15 
B (Dúzia) 3,0 1000 4,0 1200 4,0 1320 5,0 1450 
C (Quilo) 5,0 200 6,0 320 5,0 480 7,0 550 
( )∑
=
n
i
i
tp
1
. 
ou 
( )∑
=
n
i
i
tq
1
. 
20,0 1204 25,0 1526 27,0 1809 32,0 2015 
∑
=





n
i
i
t
p
p
1 0
 
ou 
∑
=





n
i
i
t
q
q
1 0
 
3
5
5
3
3
12
12
=






+





+





 
3
200
200
1000
1000
4
4
=






+





+





 
783,3
5
6
3
4
12
15
=






+





+





 
3,4
200
320
1000
1200
4
6
=






+





+





 
833,3
5
5
3
4
12
18
=






+




+





 
97,5
200
480
1000
1320
4
9
=






+





+





 
733,4
5
7
3
5
12
20
=






+





+





 
95,7
200
550
1000
1450
4
15
=






+





+





 
i
t
n
i p
p






Π
= 01
 
1
5
5
3
3
12
12
=






×





×





 
1
200
200
1000
1000
4
4
=






×





×





 
2
5
6
3
4
12
15
=






×





×





 
88,2
200
320
1000
1200
4
6
=






×





×





 
2
5
5
3
4
12
18
=






×





×





 
128,7
200
480
1000
1320
4
9
=






×





×





 
888,3
5
7
3
5
12
20
=






×





×





 
953,14
200
550
1000
1450
4
15
=






×





×





 
∑
=





n
i
i
tp
p
1
0 
ou 
∑
=





n
i
i
tq
q
1
0 
3
5
5
3
3
12
12
=






+





+





 
3
200
200
1000
1000
4
4
=






+





+





 
383,2
6
5
4
3
15
12
=






+





+





 
125,2
320
200
1200
1000
6
4
=






+





+





 
416,2
5
5
4
3
18
12
=






+





+





 
618,1
480
200
1320
1000
9
4
=






+





+





 
914,1
7
5
5
3
20
12
=






+





+





 
319,1
550
200
1450
1000
15
4
=






+





+





 
Solução 
Na determinação dos números índices, utilizaremos os dados de preços e quantidade de três 
produtos, para o período de 2003 a 2006 e os cálculos preliminares para Estimativas dos números 
índices, nas linhas em cinza da Tabela (1.7). Os resultados das estimativas dos números-índices 
de preços serão condensados na Tabela (1.8) e para os números índices de quantidade, na Tabela 
(1.9). 
Tabela 1.8: estimativas dos números índices de preço de Bradstreet-Dutot, de Sauerbeck, Média Geometrica e 
Média Harmônica, para os dados da Tabela (1.7). 
Badstreet-Dutot 
( )
( )
100
1
0
1
,0 ×














=
∑
∑
=
=
k
i
i
n
i
i
t
p
t
p
p
BD
 
Sauerbeck 
100
1
1 0
,0 ×





= ∑
=
n
i
i
tp
t p
p
n
S 
Média Geométrica 
100
01
,0 ×





= Π
=
n
i
t
n
i
p
t p
p
MG 
Média Harmônica 
100
1
0
,0 ×






=
∑
=
n
i
i
t
p
t
p
p
n
MH 
( )
( )
%100100
20
20
 
100
3
1
03
3
1
03
03,03
=×=
×
∑
∑
=
=
=
i
i
i
i
p
p
p
BD
 
%1001003
3
1
 
100
1
1 03
03
03,03
=××=
×





= ∑
=
n
i
i
p
p
p
n
S
 
 
100%1001 
5
5
3
3
12
12
 
100
3
3
3
03
03
03
03
03
03
03,03
=×=






×





×





=
×

















=
=
CBA
p
p
p
p
p
p
p
MG
 
%100100
3
3
100
3
03
03
03
03
03
03
03,03
=×=
×






+





+





=
=
CBA
p
p
p
p
p
p
p
MH
 
( )
( )
%125100
20
25
 
100
3
1
03
3
1
04
04,03
=×=
×
∑
∑
=
=
=
i
i
i
i
p
p
p
BD
 
%1,126 
100783,3
3
1
 
100
1
1 03
04
04,03
=
××=
×





= ∑
=
n
i
i
p
p
p
n
S
 
%99,1251002
100
5
6
3
4
12
15
 
100 
 
3
3
3
03
04
03
04
03
04
04,03
=×=
=×

















=
×

















=
=
CBA
p
p
p
p
p
p
p
MG
 
125,87%100
383,2
3
 
100
6
5
4
3
15
12
3
 
10
3
04
03
04
03
04
03
04,03
=×=
×






+





+





=
×






+





+





=
=
CBA
p
p
p
p
p
p
p
MH
( )
( )
%135100
20
27
 
100
3
1
03
3
1
05
05,03
=×=
×
∑
∑
=
=
=
i
i
i
i
p
p
p
BD
 
%76,127 
100833,3
3
1
 
100
1
1 03
05
05,03
=
××=
×





= ∑
=
n
i
i
p
p
p
n
S
 %99,12510012
100
5
5
3
4
12
18
100
3
3
3
03
05
03
05
03
05
05,03
=×=
×




×




×




=
×

















=
=
CBA
p
p
p
p
p
p
p
MG
 %13,124100
416,2
3
100
5
5
4
3
18
12
3
100
3
05
03
05
03
05
03
05,03
=×=
×






+





+





=
×






+





+





=
=
CBA
p
p
p
p
p
p
p
MH
 
( )
( )
%160100
20
32
 
100
3
1
03
3
1
06
06,03
=×=
×
∑
∑
=
=
=
i
i
i
i
p
p
p
BD
 
%76,157 
100733,4
3
1
 
100
1
1 03
05
06,03
=
××=
×





= ∑
=
n
i
i
p
p
p
n
S
 %25,157100888,3
100
5
7
3
5
12
20
100
3
3
3
03
06
03
06
03
06
06,03
=×=
×





×





×





=
×

















=
=
CBA
p
p
p
p
p
p
p
MG
 %71,156100914,1
3
100
7
5
5
3
20
12
3
100
3
06
03
06
03
06
03
06,03
=×=
×






+





+





=
×






+





+





=
=
CBA
p
p
p
p
p
p
p
MH
 
 
 
Tabela 1.9: estimativas dos números índices de quantidade de Bradstreet-Dutot, de Sauerbeck, Média Geometrica 
e Média Harmônica, para os dados da Tabela (1.7). 
Badstreet-Dutot 
( )
( )
100
1
0
1
,0 ×
















=
∑
∑
=
=
k
i
i
n
i
i
t
q
t
q
q
BD
 
Sauerbeck 
100
1
1 0
,0 ×





= ∑
=
n
i
i
tq
t q
q
n
S 
Média Geométrica 
100
01
,0 ×





= Π
=
n
i
t
n
i
q
t q
q
MG 
Média Harmônica 
100
1
0
,0 ×






=
∑
=
n
i
i
t
q
t
q
q
n
MH 
( )
( )
%100100
1204
1204
100
3
1
03
3
1
03
03,03
=×=
×
∑
∑
=
=
=
i
i
i
i
q
q
q
BD
 
%1001003
3
1
100
3
1 3
1 03
03
03,03
=××=
×





= ∑
=i
i
q
q
q
S
 
 %1001001
100
5
5
3
3
12
12
100
3
3
3
03
03
03
03
03
03
03,03
=×=
×





×





×





=
×

















=
=
CBA
q
q
q
q
q
q
q
MG
 
%100100
3
3
100
3
03
03
03
03
03
03,03
=×=
×








+





+





=
=
CBA
q
q
q
q
q
q
q
MH 
( )
( )
%7,126100
1204
1526
100
3
1
03
3
1
04
04,03
=×=
×
∑
∑
=
=
=
i
i
i
i
q
q
q
BD
 
%33,143100
3
3,4
 100
3
1 3
1 04
03
04,03
=×=
×





= ∑
=i
i
q
q
q
S
 
%27,14210088,2
100
200
320
1000
1200
4
6
100
3
3
3
03
03
03
03
03
03
03,03
=×=
×




×




×




=
×

















=
=
CBA
q
q
q
q
q
q
q
MG
 
%17,141100
125,2
3
100
320
200
1200
1000
6
4
3
100
3
03
03
03
03
03
03
03,03
=×=
=×






+





+





=
×






+





+





=
=
CBA
q
q
q
q
q
q
q
MH
 
( )
( )
%24,150100
1204
1809
 
100
3
1
03
3
1
05
05,03
=×=
×
∑
∑
=
=
=
i
i
i
i
q
q
q
BD
 
%199100
3
97,5
 100
053
1 3
1
03
05,03
=×=
×





= ∑
=
i
i
q
q
q
S
 
%45,192100128,7
100
200
480
1000
1320
4
9
100
3
3
3
05
03
05
03
05
03
05,03
=×=
×




×




×




=
×

















=
=
CBA
q
q
q
q
q
q
q
MG
 
%33,185100
618,1
3
100
480
200
1320
1000
9
4
3
100
3
05
03
05
03
05
03
05,03
=×=
×





+




+





==
×






+





+





=
=
CBA
q
q
q
q
q
q
q
MH
 
( )
( )
%35,167100
1204
2015
100
3
1
03
3
1
06
06,03
=×=
×
∑
∑
=
=
=
i
i
i
i
q
q
q
BD
 
%2651003
95,7
 100
3
1 3
1 06
03
06,03
=×=
×





= ∑
=i
i
q
q
q
S
 
%36,24610095,14
100
200
550
1000
1450
4
15
100
3
3
3
06
03
06
03
06
03
06,03
=×=
×




×




×




=
×

















=
CBA
q
q
q
q
q
q
q
MG
 
%27,227100
319,1
3
100
550
200
1450
1000
15
4
3
100
3
06
03
06
03
06
03
06,03
=×=
×






+





+





=
×






+





+





=
=
CBA
q
q
q
q
q
q
q
MH
 
 
 
Exemplo 9: 
 
Considere os dados da tabela (1.11) a seguir e usando 2006 como base e obtenha: (a) os índices 
de Laspeyres de preço e quantidade; (b) o índice de Valor e; (iii) os Índices de Paasche de preço 
e quantidade. E analise o comportamento destes números índices. 
 
 
 
Tabela 1.11: Dados sobre preços e quantidade para três artigos, no período de 2006 a 2008. 
Artigos 2006 2007 2008 
Preço Quantidade Preço Quantidade Preço Quantidade 
1 2 4 2 5 3 6 
2 3 3 4 2 6 3 
3 5 2 6 5 8 6 
Solução: 
Devemos usar as fórmulas dos Índices de Laspeyres, do Índice de Valor e dos Índices de 
Paasche, tomando 2006 como base. Os resultados das estimativas destes números índices estão 
representados nas Tabelas (1.12), (1.13) e (1.14), respectivamente. 
 
Tabela 1.12: Estimativas dos números índices de Laspeyres de preço e de quantidade, para o 
período de 2006 a 2008. 
NÚMERO INDICE DE LASPEYRES DE PREÇO 
( )∑
=
×
n
i
i
t qp
1
0 ( )
( ) ( ) ( )
27
253324
3
1
0606
=
×+×+×
=×∑
=i
iqp
 
( )
( ) ( ) ( )
32
263442
3
1
0607
=
×+×+×
=×∑
=i
iqp
 
( )
( ) ( ) ( )
46
283643
3
1
0608
=
×+×+×
=×∑
=i
iqp
 
( )
( )
100
1
00
1
0
,0
×
×
×
=
=
∑
∑
=
=
n
i
i
n
i
i
t
p
t
qp
qp
L
 ( )
( )
%100100
27
27
100
3
1
0606
3
1
0606
06,06
=×=
×
×
×
=
=
∑
∑
=
=
i
i
i
i
p
qp
qp
L
 
( )
( )
%52,118100
27
32
100
3
1
0606
3
1
0607
07,06
=×=
×
×
×
=
=
∑
∑
=
=
i
i
i
i
p
qp
qp
L
 
( )
( )
%37,170100
27
46
100
3
1
0606
3
1
0608
08,06
=×=
×
×
×
=
=
∑
∑
=
=
i
i
i
i
p
qp
qp
L
 
NÚMERO INDICE DE LASPEYRES DE QUANTIDADE 
( )∑
=
×
n
i
i
tqp
1
0 ( )
( ) ( ) ( )
27
253324
3
1
0606
=
×+×+×
=×∑
=i
iqp
 
( )
( ) ( ) ( )
41
553225
3
1
0706
×+×+×
=×∑
=i
iqp
 
( )
( ) ( ) ( )
51
563326
3
1
0806
=
×+×+×
=×∑
=i
iqp
 
( )
( )
100
1
00
1
0
,0
×
×
×
=
=
∑
∑
=
=
n
i
i
n
i
i
t
q
t
qp
qp
L
 ( )
( )
%100100
27
27
100
3
1
0606
3
1
0606
06,06
=×=
×
×
×
=
=
∑
∑
=
=
i
i
i
i
q
qp
qp
L
 
( )
( )
%85,151100
27
41
100
3
1
0606
3
1
0706
07,06
=×=
×
×
×
=
=
∑
∑
=
=
i
i
i
i
q
qp
qp
L
 
( )
( )
%89,188100
27
51
100
3
1
0606
3
1
0806
08,06
=×=
×
×
×
=
=
∑
∑
=
=
i
i
i
i
q
qp
qp
L
 
Tabela 1.13: Estimativas dos números índices de Valor, para o período de 2006 a 2008. 
NÚMERO INDICE DE VALOR 
( )∑
=
×
n
i
i
tt qp
1
 ( )
( ) ( ) ( )
27
253324
3
1
0606
=
×+×+×
=×∑
=i
iqp
 
( )
( ) ( ) ( )
48
562452
3
1
0707
=
×+×+×=
×∑
=i
iqp
 
( )
( ) ( ) ( )
84
683663
3
1
0808
=
×+×+×=
×∑
=i
iqp
 
( )
( )
100
1
00
1
,0
×
×
×
=
∑
∑
=
=
k
i
i
k
i
i
tt
t
qp
qp
IV
 
( )
( )
%100100
27
27
100
3
1
0606
3
1
0606
06,06
=×
×
×
×
=
∑
∑
=
=
i
i
i
i
qp
qp
IV
 
( )
( )
%77,177100
27
48
100
03
1
0606
3
1
0707
07,06
=×
×
×
×
=
∑
∑
=
=
i
i
i
i
qp
qp
IV
 
( )
( )
%11,311100
27
84
100
3
1
0606
3
1
0808
08,08
=×
×
×
×
=
∑
∑
=
=
i
i
i
i
qp
qp
IV
 
 
 
 
Tabela 1.14: Estimativas dos números índices de Paasche de preço e de quantidade, para o 
período de 2006 a 2008. 
( )∑
=
×
n
i
i
tt qp
1
 ( )
( ) ( ) ( )
27
253324
3
1
0606
=
×+×+×
=×∑
=i
iqp
 
( )
( ) ( ) ( )
48
562452
3
1
0707
=
×+×+×=
×∑
=i
iqp
 
( )
( ) ( ) ( )
84
683663
3
1
0808
=
×+×+×=
×∑
=i
iqp
 
( )∑
=
×
n
i
i
tqp
1
0 ( )
( ) ( ) ( )
27
253324
3
1
0606
=
×+×+×
=×∑
=i
iqp
 
( )
( ) ( ) ( )
41
552352
3
1
0706
=
×+×+×=
×∑
=i
iqp
 
( )
( ) ( ) ( )
51
653362
3
1
0806
=
×+×+×=
×∑
=i
iqp
 
( )∑
=
×
n
i
tpq
1
0 ( )
( ) ( ) ( )
27
253324
3
1
0606
=
×+×+×
=×∑
=i
iqp
 
( )
( ) ( ) ( )
32
624324
3
1
0607
=
×+×+×=
×∑
=i
iqp
 
( )
( ) ( ) ( )
46
826334
3
1
0608
=
×+×+×=
×∑
=i
iqp
 
NÚMERO INDICE DE PAASCHE DE PREÇO 
( )
( )
100
3
1
0
1
,0
×
×
×
=
=
∑
∑
=
=
i
i
t
n
i
i
tt
p
t
qp
qp
PA
 
( )
( )
%100100
27
27
100
3
1
0606
3
1
0606
06,06
=×=
×
×
×
=
∑
∑
=
=
i
i
i
i
p
qp
qp
PA
 
( )
( )
%07,117100
41
48
100
3
1
0706
3
1
0707
07,06
=×=
×
×
×
=
∑
∑
=
=
i
i
i
i
p
qp
qp
PA
 
( )
( )
%71,164100
51
84
100
3
1
0806
3
1
0808
08,06
=×=
×
×
×
=
∑
∑
=
=
i
i
i
i
p
qp
qp
PA
 
NÚMERO INDICE DE PAASCHE DE QUANTIDADE 
( )
( )
100
3
1
0
1
,0
×
×
×
=
∑
∑
=
=
i
i
t
n
i
i
tt
q
t
qp
qp
PA
 ( )
( )
%100100
27
27
100
3
1
0606
3
1
0606
06,06
=×=
×
×
×
=
∑
∑
=
=
i
i
i
i
q
qp
qp
PA
 
( )
( )
%150100
32
48
100
3
1
0607
3
1
0707
07,06
=×=
×
×
×
=
∑
∑
=
=
i
i
i
i
q
qp
qp
PA
 
( )
( )
%61,182100
46
84
100
3
1
0608
3
1
0808
08,06
=×=
×
×
×
=
∑
∑
=
=
i
i
i
i
q
qp
qp
PA
 
 
A Tabela (1.15) faz um resumo dos números índices de preço e quantidade, de Laspeyres, de 
Paasche e de Valor, assim como dos respectivos produtos dos índices de preços e de quantidade 
para os índices de Laspeyres e de Paasche. 
Tabela 1.15: Números índices de Laspeyres, Paasche e de Valor de três produtos, para o período 
de 2006 a 2008. 
Números 
Índices 
De Laspeyres (%) De Paasche (%) 
De 
Valor 
 
p
tL ,0 
(%) 
q
tL ,0 
(%) 
q
t
p
t LL ,0,0 × 
(%) 
p
tPA ,0 
(%) 
q
tPA ,0 
(%) 
q
t
p
t PAPA ,0,0 × 
(%) 
tIV ,0 
(%) 
1996-
1996 
100,0 100,0 
0,100
1000,10,1
=
××
 100,0 100,0 
00,100
1000,10,1
=
××
 100,0 
1996-
1997 
118,5 151,8 
0,180
100518,1185,1
≈
××
 117,0 150,0 
5,175
1005,117,1
≈
××
 177,8 
1996-
1998 
170,3 188,9 
5,321
100888,1703,1
≈
××
 164,7 182,6 
7,300
100826,1647,1
≈
××
 311,1 
 
O que se observa a partir da Tabela (1.15) é que a multiplicação dos respectivos índices de preço 
e quantidade de Laspeyres e de Paasche conduz aos valores, os quais correspondem aos valores 
esperados do Índice de Valor. Contudo, conforme se observa na Tabela (1.15), tem-se que a 
seguinte relação prevalece: 
q
t
p
tt
q
t
p
t LLIVPAPA ,0,0,0,0,0 ×<<× (1.46) 
Esses comportamentos dos números índices de Laspeyres e de Paasche demonstram que eles não 
satisfazem a propriedade de decomposição das causas (ou decomposição dos fatores). 
Contudo, a multiplicação do Índice de Laspeyres de Preço ( p tL ,0 ) pelo Índice de Paasche de 
Preço ( q tPA ,0 ), ou vice-versa, conduz ao Índice de Valor ( tIV ,0 ); 
 
Exemplo 8: 
Utilizando os dados dos Exemplos 1.8 (transportados para a Tabela (1.16)) e usando dados 2006 
como base, obtenha os Índices de preço e de quantidade de Marshal-Edgeworth, de Fisher e de 
Drobish. Compare-os com os índices de Laspeyres e de Paasche, obtidos no exemplo (1.8), com 
os mesmos dados e estabeleça uma análise sobre os seus comportamentos. 
Tabela 1.16: Dados sobre preços e quantidade para três artigos, no período de 2006 a 2008. 
Artigos 2006 2007 2008 
Preço Quant. Preço Quant. Preço Quant. 
1 2 4 2 5 3 6 
2 3 3 4 2 6 3 
3 5 2 6 5 8 6 
Solução: 
Os resultados das estimativas, juntamente com as estimativas do exemplo (1.8) encontram-se 
apresentados nas seguintes tabelas: 
� A Tabela (1.17) mostra os cálculos necessários para a aplicação das fórmulas 
correspondentes aos números de Marshal-Edgeworth de preço e quantidades, dadas pelas 
Eq. (1.54) e (1.55); 
� A Tabela (1.18) evidencia a comparação entre os Números índicesde preço de Laspeyres, 
de Paasche, de Marshal-Edgeworth, de Fisher e de Drobish (estimados na própria tabela), 
para os produtos da Tabela (1.16), para o período de 2006 a 2008; 
� A Tabela (1.19) evidencia a comparação entre os números índices de quantidade de 
Laspeyres, de Paasche, de Marshal-Edgeworth, de Fisher e de Drobish, para os produtos da 
Tabela (1.16), para o período de 2006 a 2008; 
� A Tabela (1.20) evidencia a comparação entre os números índices de valor de Laspeyres, 
de Paasche, de Marshal-Edgeworth, de Fisher e de Drobish, para os produtos da Tabela 
(1.16), para o período de 2006 a 2008; 
Tabela 1.17: Estimativas necessárias para a aplicação das fórmulas correspondentes aos números de Marshal-
Edgeworth de preço e quantidades, dadas pelas Eq. (1.54) e (1.55) e as respectivas estimativas destes números 
índices. 
( )∑
=
+
n
i
i
tt qqp
1
0 ( )
( ) ( )
( )
63)202716(
225
333442
3
1
060606
=++=
+×+
+×++×=
=+∑
=i
iqqp
 
( )
( ) ( )
( )
80)422018(
526
234542
3
1
070607
=++=
+×+
+×++×=
=+∑
=i
iqqp
 
( )
( ) ( )
( )
130)643630(
628
336643
3
1
080608
=++=
+×+
+×++×=
=+∑
=i
iqqp
 
( )∑
=
+
n
i
i
tqqp
1
00 ( )
( ) ( )
( )
63)202716(
225
333442
3
1
060606
=++=
+×+
+×++×=
=+∑
=i
iqqp
 
( )
( ) ( )
( )
68)351518(
525
233542
3
1
070606
=++=
+×+
+×++×=
=+∑
=i
iqqp
 
( )
( ) ( )
( )
87)402720(
625
333642
3
1
080608
=++=
+×+
+×++×=
=+∑
=i
iqqp
 
NÚMERO INDICE DE MARSHAL-EDGEWORTH DE PREÇO 
( )
( )
100
1
00
1
0
,0
×
+
+
=
=
∑
∑
=
=
n
i
i
t
n
i
i
tt
p
t
qqp
qqp
ME
 
( )
( )
%100100
63
63
100
1
060606
1
060606
06,06
=×=
×
+
+
=
=
∑
∑
=
=
n
i
i
n
i
i
p
qqp
qqp
ME
 
( )
( )
%64,117100
68
80
100
1
070606
1
070607
07,06
=×=
×
+
+
=
=
∑
∑
=
=
n
i
i
n
i
i
p
qqp
qqp
ME
 
( )
( )
%90,165100
87
130
100
1
080606
1
080608
08,06
=×=
×
+
+
=
=
∑
∑
=
=
n
i
i
n
i
i
p
qqp
qqp
ME
 
NÚMERO INDICE DE MARSHAL-EDGEWORTH DE QUANTIDADE 
( )∑
=
+
n
i
i
tt ppq
1
0 ( )
( ) ( )
( )
63)202716(
552
333224
3
1
060606
=++=
+×+
+×++×=
=+∑
=i
iqqp
 
( )
( ) ( )
( )
89)551420(
655
432225
3
1
070607
=++=
+×+
+×++×=
=+∑
=i
ippq
 
( )
( ) ( )
( )
135)782730(
856
633326
3
1
080608
=++=
+×+
+×++×=
=+∑
=i
iqqp
 
( )∑
=
+
n
i
i
tppq
1
00 ( )
( ) ( )
( )
63202716
552
333224
1
969696
=++=
+×+
+×++×=
+∑
=
n
i
ippq
 
( )
( ) ( )
( )
59222116
652
433224
1
070606
=++=
+×+
+×++×=
+∑
=
n
i
ippq
 
( )
( ) ( )
( )
73262720
852
633324
1
070606
=++=
+×+
+×++×=
+∑
=
n
i
ippq
 
( )
( )
100
1
00
1
0
,0
×
+
+
=
∑
∑
=
=
n
i
i
t
n
i
i
tt
q
t
ppq
ppq
ME
 ( )
( )
%100100
100
63
63
3
1
060606
3
1
060606
06,06
=×=
×
+
+
=
∑
∑
=
=
i
i
i
i
q
ppq
ppq
ME
 
( )
( )
%84,150100
100
59
89
3
1
070606
3
1
070607
07,06
=×=
×
+
+
=
∑
∑
=
=
i
i
i
i
q
ppq
ppq
ME
 
( )
( )
%93,184100
100
73
135
3
1
080606
3
1
080608
08,06
=×=
×
+
+
=
∑
∑
=
=
i
i
i
i
q
ppq
ppq
ME
 
 
Tabela 1.18: Números índices de preço de Laspeyres, de Paasche, de Marshal-Edgeworth, de 
Fisher e de Drobish para três produtos, para o período de 2006 a 2007, conforme cálculos neste 
exemplo e no exemplo (1.8), acima. 
Números 
Índices de 
preço 
De 
Laspeyres 
(%) 
De 
Paasche 
(%) 
De 
Marshal-
Edgworth 
(%) 
De Fisher (%) 
De Drobish 
(%) 
 
p
tL ,0 
(%) 
p
tPA ,0 
(%) 
p
tME ,0 
(%) 
p
tF ,0 
(%) 
p
tDr ,0 
(%) 
2006-2006 100,0 100,0 100 100,0 100,0 
2006-2007 118,5 117,0 117,64 
74,117
10017,1185,12
≈
××
 
( )
75,117
2
1175,118
≈
+
 
2006-2007 170,3 164,7 165,90 
47,167
100647,1703,12
≈
××
 
( )
7,167
2
7,1643,170
≈
+
 
 
 
 
Tabela 1.19: Números índices de quantidade de Laspeyres, de Paasche, de Marshal-Edgeworth, 
de Fisher e de Drobish e de Valor de três produtos, para o período de 1996 a 1998, conforme 
cálculos acima. 
Números 
Índices de 
quantidade 
De 
Laspeyres 
(%) 
De 
Paasche 
(%) 
De 
Marshal-
Edgworth 
(%) 
De Fisher (%) 
De Drobish 
(%) 
q
tL ,0 
(%) 
q
tPA ,0 
(%) 
q
tME ,0 
(%) 
q
tF ,0 
(%) 
q
tDr ,0 
(%) 
2006-2006 100,0 100,0 100 100,0 100,0 
2006-2007 151,8 150,0 150,84 
89,150
1005,1518,12
≈
××
 
( )
9,150
2
1508,151
≈
+
 
2006-2007 188,9 182,6 184,93 
72,185
100826,1889,12
≈
××
 
( )
75,185
2
6,1829,188
≈
+
 
 
 
 
 
Tabela 1.20: Números índices de valor de Laspeyres, de Paasche, de Marshal-Edgeworth, de Fisher e de Drobish e de 
Valor, para três produtos, para o período de 2006 a 2008, conforme cálculos acima e no exemplo (1.8). 
Estimativas 
dos 
Números 
Índices de 
Valor 
De Laspeyres 
(%) 
De Paasche 
(%) 
De Marshal-
Edgworth 
(%) 
De Fisher 
 (%) 
De Drobish 
(%) 
De 
Valor 
(%) 
q
t
p
t LL ,0,0 × 
(%) 
q
t
p
t PAPA ,0,0 × 
(%) 
q
t
p
t MEME ,0,0 × 
(%) 
 
q
t
p
t FF ,0,0 × 
(%) 
 
 
q
t
p
t DrDr ,0,0 × 
(%) 
 
t,IV0 
(%) 
2006-2006 
0100
1000101
,
,,
=
××
 
00100
1000101
,
,,
=
××
 
0100
1000101
,
,,
=
××
 
0100
1000101
,
,,
=
××
 
0100
1000101
,
,,
=
××
 
100,0 
2006-2007 0180
10051811851
,
,,
≈
××
 
5175
10051171
,
,,
≈
××
 
38,177
1005084,1176,1
≈
××
 
54176
10050891171
,
,,
≈
××
 
30177
10050911751
,
,,
≈
××
 
177,8 
2006-2007 5321
10088817031
,
,,
≈
××
 
7300
10082616471
,
,,
≈
××
 
749306
10084916591
,
,,
≈
××
 
 
23311
10085716761
,
,,
≈
××
 
4311
10085716771
,
,,
≈
××
 
311,1 
 
O que se observa a partir das Tabelas (1.18) e (1.19) são os resultados de várias definições de 
números índices de preço e quantidade e na Tabela (1.20), os respectivos números índices de 
valor. Ou seja, todas estas definições de números índices tratam de tentativas de obter 
precisamente, as componentes de impactos monetários e de quantidades, os quais se encontram 
integrados no número índice de valor. 
Portanto, pergunta-se: ppoorr qquuee nnããoo eessttiimmaarr oo nnúúmmeerroo íínnddiiccee ddee vvaalloorr ddiirreettaammeennttee?? PPoorr ddooiiss 
mmoottiivvooss:: 
i. Primeiro, porque o que interessa nas análises econômicas são os impactos monetários e 
sócio-econômicos decompostos (ou seja, separadamente); 
ii. Segundo, porque sempre se pretende atender ao fato do item (i) acima, mas também 
atender facilitar a implementação das estimativas do número índice, com relação ao tempo 
e custo. 
Portanto, concluímos por meio das Tabelas (1.18), (1.19) e (1.20) que os números índices 
especiais, como Marshal-Edgeworth, Fisher e Drobish estimam de forma mais precisa os seus 
números índices de preço, de quantidade e de valor, que as clássicas formulações de Laspeyres e 
de Paasche (assumindo valores intermediários entre estes dois números). Contudo, como já 
comentado, eles apresentam os mesmos custos operacionais que os índices de valor e de 
Paasche. Portanto, não atendendo o requisito do item (ii) acima especificado; 
 
 
Exemplo 9: 
Utilizando os dados dos Exemplos 1.8 (transportados para a Tabela (1.21)), obtenha: 
a) Os índices de preço e quantidade, usando os seguintes métodos: Laspeyres de Base Móvel, 
Theil e Bureau (Laspeyres de base móvel modificado), e; 
b) Análise o comportamento destes índices, com relação aos critérios de inversão e circular. 
 
 
Tabela 1.21: Dados sobre preços e quantidade para três artigos, no período de 2006 a 2008. 
Artigo 2006 2007 2008 
 Preço Qtde Preço Qtde Preço Qtde 
1 2 4 2 5 3 6 
2 3 3 4 2 6 3 
3 5 2 6 5 8 6 
 
Solução: 
Primeiramente, para a estimativa dos números índices de preço e quantidade, usando os métodos 
de Laspeyres de Base Móvel, de Theil e de Bureau (Laspeyres de base móvel modificado), torna 
necessário estimar as bases de ponderação. 
A Tabela (1.22) apresenta os resumos das estimativas para as ponderações ii ww 060 = (ou 
ii ww 06,060 = ). Da mesma forma, as Tabelas(1.23), (1.24) e (1.25) apresentam, respectivamente, 
as estimativas para as ponderações ii ww 070 = , 
ii ww 080 = e 
ii ww 07,060 = . Finalmente, a Tabela 
(1.26) apresenta o resumo dos cálculos dos preços e de quantidades relativas necessárias ás 
estimativas dos Índices de Preço e Quantidade de Theil, de Laspeyres de base móvel e Bureau. 
 
 
 
 
Tabela 1.22: Estimativas das bases de ponderação iw06 . Finalmente, 
Artigos ip06 
iq06 
ii qP 0606 × 
∑
=
×
×
=
n
i
ii
ii
i
qP
qP
w
1
0606
0606
06 
ou 
iw 06,06 
1 2 4 8 8/27 = 0,2963 
2 3 3 9 9/27 = 0,333 
3 5 2 10 10/27 = 0,3704 
- - - ( ) 273
1
0606 =×∑
=i
ii qP ∑
=
=
3
3
06 1
i
iw 
 
Tabela 1.23: Estimativas das bases de ponderação para iw07 . 
Artigos ip07 
iq07 
ii qP 0707 × 
∑
=
×
×
=
n
i
ii
ii
i
qP
qP
w
1
0707
0707
07 
1 2 5 10 10/48 = 0,2083 
2 4 2 8 8/48 = 0,166 
3 6 5 30 30/48 = 0,625 
 ( ) 483
1
0707 =×∑
=i
ii qP ∑
=
=
3
3
07 1
i
iw 
 
Tabela 1.24: Estimativas das bases de ponderação para iw08 . 
Artigos ip08 
iq08 
ii qP 0808 × 
∑
=
×
×
=
n
i
ii
ii
i
qP
qP
w
1
0808
0808
08 
1 3 6 18 18/84 = 0,2142 
2 6 3 18 18/84 = 0,2142 
3 8 6 48 48/84 = 0,5714 
 ( ) 843
1
0808 =×∑
=i
ii qP ∑
=
=
3
3
08 1
i
iw 
 
 
 
Tabela 1.25: Estimativas das bases de ponderação para iw 07,06 . 
Artigos ip07 
iq06 
ii qP 0607 × 
∑
=
×
×
=
n
i
ii
ii
i
qP
qP
w
1
0607
0607
07,06 
1 2 4 8 8/32 = 0,250 
2 4 3 12 12/32 = 0,375 
3 6 2 12 12/32 = 0,375 
 ( ) 323
1
0607 =×∑
=i
ii qP ∑
=
=
3
3
07,06 1
i
iw 
 
 
Tabela 1.26 Resumos dos cálculos dos preços e quantidades relativas necessárias ás estimativas 
dos Índices de Preço e Quantidade de Theil, de Laspeyres de base móvel e Bureau. 
 2006 2007 2008 
Artigo 
i
i
P
P
06
06 
i
i
q
q
06
06 
i
i
P
P
06
07 
i
i
q
q
06
07 
i
i
P
P
07
08 
i
i
q
q
07
08 
1 1 1 2/2=1 5/4=1,25 3/2=1,50 6/5=1,2 
2 1 1 4/3=1,333 2/3=0,666 6/4=1,50 3/2=1,5 
3 1 1 6/5=1,2 5/2=2,5 8/6=1,33 6/5=1,2 
 
Estimativas dos Índices de Preço e de quantidade de Theil: 
Como esse número índice utiliza as relações (1.53) e (1.54) para estimar, respectivamente, os 
números índices de preço e quantidade de base móvel, então, utilizaremos nas suas estimativas, 
as bases de ponderação dadas pelas Tabelas (1.22) a (1.24) e as estimativas dos preços e 
quantidades relativas dados na Tabela (1.26), cujos procedimentos de cálculos e resultados 
encontram-se resumidos na Tabela (1.26), abaixo. 
 
 
Tabela 1.27: Estimativas dos Índices de Preço e de Quantidade de Theil. 
Índice de Preço de Theil ( p ttT ,1− ) 
Propriedade de Identidade (Tabela (1.1) 
%100
06,06
=
pT 
Eq. 
(1.53) 
( ) ( ) ( )
→×××=
+++
100
2
06
07
2
06
07
2
06
07
07,06
3
07
3
06
2
07
2
06
1
07
1
06 wwwwwwP
p
p
p
p
p
p
T 
( ) ( ) ( ) →×××= +++ 1002,1333,11 2625,03704,02166,0333,022083,02563,007,06
PT 
%64,1171002,1333,11 4977,02495,02323,007,06 =×××=
PT 
%64,117
07,06
=
pT
 
Observação: A base de ponderação estimada na Tabela (1.22) será utilizada nas estimativas 
dos índices de Theil, de Laspeyres de base móvel e de Bureau. As ponderações apresentadas 
nas Tabelas (1.23) e (1.24) serão utilizadas nos cálculos do índice de Theil e por outro lado, a 
ponderação da Tabela (1.25) será utilizada na estimativa do índice de Bureau. 
Eq. 
(1.53) 
( ) ( ) ( )
→×××=
+++
100
2
07
08
2
07
08
2
07
08
08,07
3
08
3
07
2
08
2
07
1
08
1
07 wwwwwwP
p
p
p
p
p
p
T 
( ) ( ) ( ) →×××= +++ 1003333,15,15,1 25714,0625,022142,0166,022142,02083,008,07
PT 
%76,1391003333,15,15,1 5982,01901,021125,008,07 =×××=
PT 
%76,139
08,07
=
pT
 
Índice de Quantidade de Theil ( q ttT ,1− ) 
Propriedade de Identidade (Tabela (1.1) 
%100
06,06
=
qT 
Eq. 
(1.54) 
( ) ( ) ( )
→×××=
+++
100
2
06
07
2
06
07
2
06
07
07,06
3
07
3
06
2
97
2
96
1
07
1
06 wwwwwwq
q
q
q
q
q
q
T 
( ) ( ) ( ) →×××= +++ 1005,2666,025,1 2625,03704,02166,0333,022083,02563,007,06
PT 
%64,1331005,2666,025,1 4977,02495,02323,007,06 =×××=
PT 
%64,133
07,06
=
qT
 
 
Eq. 
(1.54) 
( ) ( ) ( )
→×××=
+++
100
2
07
08
2
07
08
2
07
08
08,07
3
08
3
07
2
08
2
07
1
08
1
07 wwwwwwq
q
q
q
q
q
q
T 
( ) ( ) ( ) →×××= +++ 1002,15,12,1 25714,0625,022142,0166,022142,02083,008,07
qT 
%18,1251002,15,12,1 5982,01901,021125,008,07 =×××=
qT 
%18,125
08,07
=
qT
 
 
 
 
Estimativas dos Índices de Preço e de quantidade de Laspeyres de base móvel: 
 
Como esse número índice utiliza as relações (1.57) e (1.58) para estimar, respectivamente, os 
números índices de preço e quantidade de base móvel, então, utilizaremos nas suas estimativas a 
base de ponderação dada pela Tabela (1.22) e as estimativas dos preços e quantidades relativas 
dados na Tabela (1.26), cujos procedimentos de cálculos e resultados encontram-se resumidos na 
Tabela (1.28), abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 1.28: Estimativas dos Índices de Preço e de Quantidade de Laspeyres de base móvel. 
Índice de Preço de Laspeyres ( p ttT ,1− ) 
Propriedade de Identidade (Tabela (1.1) 
%100
06,06
=
pLM 
Eq. 
(1.57) 
→××








= ∑
=
10006
1 06
07
07,06
i
n
i
i
i
p w
p
p
LM 
( ) %50,1181003704,02,1333,0333,12963,0107,06 =××+×+×=
PLM 
%50,118
07,06
=
pLM
 
Eq. 
(1.57) 
→××








= ∑
=
10006
1 07
08
08,07
i
n
i
i
i
p w
p
p
LM 
( ) %76,1431003704,0333,1333,05,12963,05,108,07 =××+×+×=
pLM 
%76,143
08,07
=
pLM
 
Índice de Quantidade de Laspeyres ( q ttT ,1− ) 
Propriedade de Identidade (Tabela (1.1) 
%100
06,06
=
qLM 
Eq. 
(1.58) 
→××








= ∑
=
10006
1 06
07
07,06
i
n
i
i
i
q w
q
q
LM 
( ) %85,1511003704,05,2333,0666,02963,025,107,06 =××+×+×=
qLM 
%81,151
07,06
=
qLM
 
 
Eq. 
(1.58) 
→××








= ∑
=
10006
1 07
08
08,07
i
n
i
i
i
q w
q
q
LM 
( ) %99,1291003704,02,1333,05,12963,02,108,07 =××+×+×=
qLM 
%99,129
08,07
=
qLM
 
 
 
 
 
Estimativas dos Índices de Preço e de quantidade de Laspeyres de base móvel: 
 
Esse número índice utiliza as relações (1.57) e (1.58) para estimar, respectivamente, os números 
índices de preço e quantidade de base móvel, então, utilizaremos nas suas estimativas a base de 
ponderação dada pela Tabela (1.22) e as estimativas dos preços e quantidades relativas dados na 
Tabela (1.26), cujos procedimentos de cálculos e resultados encontram-se resumidos na Tabela 
(1.28), abaixo. 
 
 
 
 
Tabela 1.29: Estimativas dos Índices de Preço e de Quantidade de Bureau.. 
Índice de Preço de Bureau ( p ttB ,1− ) 
Propriedade de Identidade (Tabela (1.1) 
%100
06,06
=
pB 
Eq. 
(1.57) 
→××








= ∑
=
10006,06
1 06
07
07,06
i
n
i
i
i
p w
p
p
B 
( ) %50,1181003704,02,1333,0333,12963,0107,06 =××+×+×=
PB 
%50,118
07,06
=
pB
 
Eq. 
(1.57) 
→××








= ∑
=
10007,06
1 07
08
08,07
i
n
i
i
i
p w
p
p
B 
( ) %73,143100375,0333,1375,05,1250,05,108,07 =××+×+×=
pLM 
%73,143
08,07
=
pB
 
Índice de Quantidade de Bureau ( q ttB ,1− ) 
Propriedade de Identidade (Tabela (1.1) 
%100
06,06
=
qB 
Eq. 
(1.58) 
→××








= ∑
=
10006,06
1 06
07
07,06
i
n
i
i
i
q w
q
q
B 
( ) %85,1511003704,05,2333,0666,02963,025,107,06 =××+×+×=
qLM 
%81,151
07,06
=
qB
 
 
Eq. 
(1.58) 
→××








= ∑
=
10007,06
1 07
08
08,07
i
n
i
i
i
q w
q
q
B 
( ) %25,131100375,02,1375,05,1250,02,108,07 =××+×+×=
qLM 
%25,131
08,07
=
qB
 
 
 
Considerações: 
 
Os Índices de Bureau, de Laspeyres modificado e o Índice de Theil são índices de base móvel, 
portanto, são comparados na Tabela (1.30), abaixo. 
 
Tabela 1.30: Comparação entre as estimativas dos Índices de Preço e de Quantidades de base 
móvel, de Theil, de Laspeyres e de Bureau. 
 Laspeyres Bureau Theil 
p
ttLM ,1− 
q
ttLM ,1− 
p
ttB ,1− 
q
ttB ,1− 
p
ttT ,1− 
q
ttT ,1−06-07 118,50% 151,81% 118,5% 151,81% 117,64% 133,64% 
07-08 143,76% 129,95% 143,73% 131,25% 139,76% 125,18% 
O que se observa na Tabela (1.30) é que os índices de Laspeyres e de Bureau são maiores que os 
correspondentes índices de Theil. Logicamente, tal comportamento é esperado, tendo em vista 
que os números índices de Laspeyres e de Bureau são médias aritméticas e o índice de Bureau é 
definido por uma média geométrica ponderada. 
A questão a ser respondida é: qquuee ffóórrmmuullaa ddee nnúúmmeerroo íínnddiiccee ddee bbaassee mmóóvveell ddeevveerráá sseerr uuttiilliizzaaddaa?? 
 
Como para os números índices agregados simples, a escolha deve ser feita com com base na 
distribuição de probabilidade subjacente aos dados de observados: (i) se os relativos de preços 
(ou de quantidade) seguir uma distribuição normal, utilizar-se-á um índice, formulado, por meio 
de média aritmética (Índice de Laspeyres de base móvel ou o Índice de Bureau); (ii) se o 
logaritmo dos relativos de preços (ou de quantidade) seguir uma distribuição normal, utilizar-se-
á um índice com formulação baseada na média geométrica, no caso, o índice de Theil e; (iii) Se 
o inverso dos relativos de preços (ou de quantidade) seguir uma distribuição normal, utilizar-se-á 
um índice, com formulação baseada numa média harmônica, no caso, o índice Paasche (Eq. 
(1.44) e (1.45)), considerando do período base 0 como o período (t-1). 
 
 
Exemplo 10: 
A Tabela (1.30) contém, hipoteticamente, os gastos médios com alimentação (em bilhões de 
reais) das famílias brasileiras e o Índice de Preço ao Consumidor Amplo, IPCA (Fonte: IPEA). 
Faça a deflação da série temporal e avalie os resultados encontrados. 
Tabela 1.30: Dados hipotéticos sobre gastos médios com alimentação (em bilhões de reais) das 
famílias brasileiras e o Índice de Preço ao Consumidor Amplo, (IPCA), para o período de 1995-
2008. 
Ano Consumo nominal 
(em bilhões de RS$) 
IPCA Ano Consumo nominal 
(em bilhões de RS$) 
IPCA 
1995 247093,3 100 2002 468287,2 163,94 
1996 26815,57 109,56 2003 514122,3 179,19 
1997 288894,7 115,29 2004 559334,2 192,80 
1998 313903,3 117,20 2005 593287,2 203,77 
1999 348292,4 127,67 2006 624122,3 210,18 
2000 379253,2 135,30 2007 659334,2 219,54 
2001 415125,4 145,68 2008 710334,2 232,50 
 
Solução: 
Tomando-se os dados de consumo agregado nominal das famílias brasileiras e o IPCA com base 
em 1995 (Tabela (1.30)), pode-se obter o consumo real agregado, dividindo-se o consumo pelo 
deflator IPCA (deve lembrar-se que o deflator deve ser de base fixa). O resultado é resumido na 
Tabela (1.31). 
Tabela 1.31: Ilustração do procedimento de deflação do consumo agregado, para o período de 
1995 a 2008. 
Ano Consumo nominal 
(em bilhões de RS$) 
IPC Consumo real 
(em bilhões de RS$) 
1995 247093,3 100 (247093,3/100) × 100 = 247093,26 
1996 26815,57 109,56 (26815,57/109,56) × 100 = 246263,42 
1997 288894,7 115,29 (288894,7/115,29) × 100 = 250584,74 
1998 313903,3 117,20 (313903,3/117,20) × 100 = 267842,48 
1999 348292,4 127,67 (348292,4/127,67) × 100 = 272797,56 
2000 379253,2 135,30 (379253,2/135,30) × 100 = 280301,20 
2001 415125,4 145,68 (415125,4/145,68) × 100 = 284949,02 
2002 468287,2 163,94 (468287,2/163,94) × 100 = 285647,56 
2003 514122,3 179,19 (514122,3/179,19) × 100 = 286922,58 
2004 559334,2 192,80 (559334,2/192,80) × 100 = 290104,70 
2005 593287,2 203,77 (593287,2/203,77) × 100 = 291149,19 
2006 624122,3 210,18 (624122,3/210,18) × 100 = 296951,63 
2007 659334,2 219,54 (659334,2/219,54) × 100 = 300318,90 
2008 710334,2 232,50 (710334,2/232,50) × 100 = 305516,27 
 
 
Percebe-se na Tabela (1.31), claramente, que os valores após a deflação estão substancialmente 
abaixo dos valores originais (nominais), indicando que o aumento nos gastos anuais com 
alimentação não foi tão significativo. Veja-se o gráfico da série acima, conforme Figura (1.1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.1 - Gastos com alimentação nos EUA: dados originais e deflacionados. 
Observe na Figura (1.1) que as duas linhas têm inclinações diferentes, ou seja, os gastos 
nominais com alimentação subiram bastante de 1995 a 2008, em parte porque as pessoas dos 
EUA estejam realmente consumindo mais produtos e em parte porque houve uma inflação 
considerável no período. 
Exemplo 11: 
Na tabela abaixo se encontra os faturamentos de uma empresa hipotética, bem como o índice de 
inflação IGP-DI2, Índice Geral de Preço, no período de 2000 a 2005. Portanto, determine: (a) o 
faturamento real da empresa no período 2000-2005, a preço de 2000; (b) a taxa real de 
faturamento da empresa, no período 2000-2005; (c) a taxa real de variação do faturamento, ano a 
ano, e; (d) a taxa média anual de variação do faturamento, para o período da série; 
 
2
 O Índice Geral de Preço - Disponibilidade Interna, IGP-DI, considera as variações de preços que afetam 
diretamente as atividades econômicas localizadas no território brasileiro. Não se considera as variações de preços 
dos produtos exportados que é considerado somente no caso da variação no aspecto de Oferta Global. Portanto, 
utilizado como deflator para receitas ou custos de produtos comercializados no atacado. 
Tabela 1.32: Dados de faturamento a preços correntes e IGP-DI, de 2000 a 2005, para uma 
determinada empresa. 
Ano Faturamento a preços correntes 
(em R$) 
IGP-DI 
(2000=100)) 
2000 1.600.000,00 100 
2001 1.800.000,00 120 
2002 2.400.000,00 150 
2003 2.800.000,00 160 
2004 3.000.000,00 180 
2005 3.200.000,00 187 
Solução: 
 
A Tabela (1.33) apresenta as estimativas do faturamento real da empresa, assim os índices de 
quantidades, com base em 2000. Portanto, como evidenciado na Tabela (1.33), tem-se a resposta 
da questão (a), e a partir os índices de quantidade com base em 2000, tem-se que a taxa real de 
crescimento no faturamento da empresa, para o período de 2000 a 2007, foi de 7%. 
 
Tabela 1.33: Faturamento a preços consistentes e índice de quantidade, relativo à base 2000. 
Ano Faturamento a preços consistentes de 
2000 (*) 
(Resposta (a)) 
Índice de quantidade 
(2000=100) 
(Resposta (b)) 
2000 1.600.000/100×100 = 1.600.000 1.600.000/1.600.000×100 = 100% 
2001 1.800.000/120×100 = 1.500.000 1.500.000/1.600.000×100 = 94% 
2002 2.400.000/150×100 = 1.600.000 1.600.000/1.600.000×100 = 100% 
2003 2.800.000/160×100 = 1.750.000 1.750.000/1.600.000×100 = 109% 
2004 3.000.000/180×100 = 1.666.667 1.666.667/1.600.000×100 = 104% 
2005 3.200.000/187×100 = 1.711.230 1.711.230/1.600.000×100 = 107% 
(*) Faturamento em termos dos preços que vigoraram em 2000 (faturamento real), facilitando as comparações. 
 
A taxa real de variação do faturamento, ano a ano, conforme questão (c), pode ser obtido por 
meio do Índice de Quantidade de base móvel, estimado na Tabela (1.34) e diminuindo o seu 
valor de 100. Este resultado é apresentado também na Tabela (1.34). 
 
 
 
 
 
Tabela 1.34: Faturamento a preços consistentes e índice de quantidade, relativo de base móvel 
deflacionado (Índice de Quantidade). 
Ano Faturamento a preços 
consistentes de 2000 (*) 
 
Índice de quantidade de 
base móvel 
(%) 
Taxa real de 
variação do 
faturamento, ano 
a ano (%) 
Resposta (c) 
2000 1.600.000/100×100 = 
1.600.000 
- - 
2001 1.800.000/120×100 = 
1.500.000 
(1.500.000/1.600.000)×100 = 
93,75% 
(93,75-100)= 
-6,25% 
2002 2.400.000/150×100 = 
1.600.000 
(1.600.000/1.500.000)×00 = 
106,66% 
(106,66-100)= 
6,66% 
2003 2.800.000/160×100 = 
1.750.000 
(1.750.000/1.600.000)×100 = 
109,37% 
(109,37-100)= 
9,37% 
2004 3.000.000/180×100 = 
1.666.667 
(1.666.667/1.750.000)×100 = 
95,23% 
(95,23-100)= 
-4,77% 
2005 3.200.000/187×100 = 
1.711.230 
(1.711.230/1.666.667)×100 = 
102,67% 
(102,67-100)= 
2,67% 
 
Finalmente, a taxa média anual de variação do faturamento, conforme questão (d), é estimado 
por meio de uma média geométrica (mais apropriada para estimativas de médias de números 
relativos)dos números índices de quantidades de base móvel. Esta estimativa é a seguinte: 
 
→−××××= 10067,10223,9537,10966,10675,935TMA %34,110034,101 ≈−=TMA 
 
Portanto, a Resposta (d) é 1,34%. Ou seja,a taxa média anual de variação do faturamento da 
empresa para o período da série foi de 1,34%. 
 
A estimativa somente do índice de valor não é de interesse, pois ele nos aporta, conjuntamente, 
impactos monetários e de hábitos de consumo. Portanto, devemos estimar conjuntamente a este 
índice, algum número índice de quantidade ou de preço, para que possamos decompor as 
causas, conforme requisito do (i) acima. 
 
 
 
Exemplo 12: 
Determine o poder de aquisição de R$1,00, considerando como deflator o Índice de Preço ao 
Consumidor Amplo (IPCA). Os dados da série IPCA, de 1995-2008, são apresentados na Tabela 
(1.35), abaixo. 
 
Tabela 1.35: Índice de Preço ao Consumidor (IPCA), de 1995 a 2008. 
ANO IPCA (1995 = 100) ANO IPCA (1995= 100) 
1995 100 2002 163,94 
1996 109,56 2003 179,19 
1997 115,29 2004 192,80 
1998 117,20 2005 203,77 
1999 127,67 2006 210,18 
2000 135,30 2007 219,54 
2001 145,68 2008 232,50 
 
Solução: 
Aplicando-se a Relação (1.72) aos dados do IPCA, apresentados na Tabela (1.35), obtém-se os 
resultados apresentados na Tabela (1.36), abaixo. Conclui-se, a partir dos resultados desta tabela 
que a perda média do poder aquisitivo, para as famílias brasileiras, foi de (1,00-0,43)=0,57 por 
real. 
Tabela 1.36: Índice de Preço ao Consumidor Amplo (IPCA), de 1995 a 2008 e Poder de 
Aquisição de R$1,00. 
Ano IPC (1995 = 100) Poder aquisitivo de R$1,00 
1995 100 (1/100)×100=1,00 
1996 109,56 (1/109,56)×100=0,91 
1997 115,29 (1/115,29)×100=0,87 
1998 117,20 (1/117,20)×100=0,85 
1999 127,67 (1/127,67)×100=0,78 
2000 135,30 (1/135,30)×100=0,74 
2001 145,68 (1/145,68)×100=0,69 
2002 163,94 (1/163,94)×100=0,61 
2003 179,19 (1/179,19)×100=0,56 
2004 192,80 (1/192,80)×100=0,52 
2005 203,77 (1/203,77)×100=0,49 
2006 210,18 (1/210,18)×100=0,48 
2007 219,54 (1/219,54)×100=0,46 
2008 232,50 (1/232,50)×100=0,43 
 
 
Exemplo 13: 
Uma pessoa adquiriu, em 1996, uma letra de câmbio por R$40.000,00, resgatando-a ao final do 
período de aplicação, em 2006, por R$64.000,00. A inflação no período acusou uma variação de 
50%. Calcular a taxa de juros. 
Solução: 
A taxa nominal de juros é estimada como segue: 
Capital aplicado = 40.000,00 
 → 61,061,1)1(61,1
000.40
000.64
=⇒=+⇒= ii 
Capital recebido = 64.000,00 
O Índice de inflação é o seguinte: 
Taxa de inflação = 0,50 → Índice de preço (i+j) = 1,50 
 
Ou seja, o deflator é (1+j)=1,50. Portanto, oo ddeeffllaacciioonnaammeennttoo ddoo íínnddiiccee qquuee iinntteerrpprreettaa aa 
vvaarriiaaççããoo nnoommiinnaall éé: 
 
0733,1
50,1
61,1
1
1
==
+
+
j
i
 
Ou seja, 
%33,7%33,7100)10733,1(1001
1
1
=⇒=×−=×





−
+
+
= r
j
i
r 
Exemplo 14: 
O salário de um indivíduo foi majorado em 15% em um dado período, enquanto a inflação 
acusou uma elevação de 22%, no mesmo período. Qual foi a perda de poder aquisitivo do 
salário desse indivíduo? 
Solução: 
Conforme dados do exercício, tem-se uma taxa nominal de i = 15% e uma taxa de inflação j = 
22%. Portanto, 
%941001
22,01
15,01
1001
1
1
=×





−
+
+
=⇒×





−
+
+
= r
j
i
r 
O que implica numa perda do poder aquisitivo de (100-94)=6%. 
Exemplo 15: 
A Tabela (1.38) reproduz a evolução do faturamento de uma empresa e o IGP-DI (Índice Geral 
de Preço - disponibilidade interna), no período de 2003 a 2006. 
a) Calcular o faturamento real da empresa no período, a preço de 2003. 
b) Calcular a taxa real de variação de faturamento, ano a ano. 
c) Calcular a taxa média anual de variação do faturamento, para o período da série. 
Tabela 1.38: Faturamento a preços correntes, em milhares de reais e o IGP-DI (2003-2006). 
Ano Faturamento a preços correntes (nominal) 
(em milhares de R$) 
IGP - DI 
2004=100 
2003 10.000,00 92,10 
2004 11.200,00 100,00 
2005 14.100,00 108,70 
2006 16300,00 113,50 
Solução: 
Passo 1: Mudança de base de 2004 para 2003, conforme apresentado na Tabela (1.39). 
 
Tabela 1.39 Mudança de base de 2004 para 2003. 
Ano Faturamento a preços correntes 
(em milhares de R$) 
IGP - DI 
2004=100 
IGP – DI 
2003 = 100 
2003 10.000,00 92,10 (92,10/92,10) ×100 =100,00 
2004 11.200,00 100,00 (100/92,10)×100 =108,57 
2005 14.100,00 108,70 (108,70/92,10)×100 = 118,02 
2006 16.300,00 113,50 (113,50/92,10)×100 = 123,23 
Passo 2: o faturamento a preço constante de 2003 (resposta (a)), índice de quantidade com base 
móvel e taxa de variação do faturamento real, ano a ano (resposta (b)), encontram-se 
apresentados na Tabela (1.40). 
Tabela 1.40: Resumo das estimativas do faturamento a preço constante de 2003, índice de 
quantidade e taxa de variação do faturamento real, ano a ano. 
Ano Resposta (a) Variação real Resposta (b) 
Faturamento a preço de 
2003 (R$ 1.000,00) 
Índice de quantidade 
(%) 
Taxa de Variação ano 
a ano (%) 
 
 
2003 
 
(10.000/100)×100 = 
10.000,00 
 
(10.000/10.000)×100 = 100 
 
100 - 100 = 
0,00% 
 
2004 
 
(15.000/108,57)×100 = 
10.315,20 
 
(10.315,20/10.000)×100 = 
103,15 
 
103,15 - 100 = 3,15% 
 
2005 
 
(19.000/118,02)×100 = 
11.946,73 
 
(11.946,73/10.315,20)×100 = 
115,81 
 
115,81 - 100 = 
15,81% 
 
2006 
 
(31.000/123,23)×100 = 
13.226,70 
 
(13.226,70/11.946,73)×100 = 
110,71 
 
110,71 - 100 = 10,71 % 
 
Outra maneira de calcular a taxa real (Resposta (b)), é por meio da estimativa da taxa real (Eq. 
(1.73)), como segue: 
1001
1
1
×





−
+
+
=
j
i
r 
No caso, deve-se estimar (1+i) e (1+j),como segue: 
 
� ;
)1(
)1(
−
=+
tanonoofaturament
tanonoofaturament
i 
� 
)1(
)1(
−−
−
=+
tanonoDIIGPM
tanonoDIIGPM
j , Em qualquer base fixa. 
Por exemplo, a taxa de variação de 2005 e 2006 pode ser obtida, estimando (i+1) e (1+j), como 
segue: 
i. Tomando dados com relação ao IGP-DI com base em 2004: 
%72,101001
044,1
156,1
044,1
70,108
50,113
)1(
156,1
100.14
300.16
)1(
=×





−=→











==+
==+
r
j
e
i
 
ou 
 
ii. Tomando dados com relação ao IGP-DI com base em 2003: 
%72,101001
044,1
156,1
044,1
02,118
23,123
)1(
156,1
100.14
300.16
)1(
=×





−=→











==+
==+
r
j
e
i
 
Ou seja, o índice de inflação pode ser estimado a partir do número índice em qualquer base, 
conforme evidenciou nas estimativas acima. 
Passo 3: Taxa média anual de variação do faturamento (Resposta (c)). 
A taxa média anual de variação do faturamento é calculada a partir do índice de variação real 
(índice de quantidade, conforme Tabela (1.40)). Neste caso, calcula-se a média geométrica dos 
valores do índice, subtraindo-se 100 do resultado, como segue: 
%76,910076,1091001003225,11001001071,11581,10315,1 33 =−=−×=−××× 
Ou seja, a economia cresceu em média, a uma taxa de 9,76%. 
Exemplo 16: 
Os Produtos Interno Bruto (PIB) do Brasil, em 2005 e 2006, foram, respectivamente, iguais a 
3.410.019,00 de milhões de reais e 5.511.654,00, também, de milhões de reais. Em 2006, relativo 
a 2005, a taxa de crescimento real do PIB, medido pelo critério de Laspeyres foi de 6,41%. Obter 
a partir desses dados, o Deflator Implícito. 
Solução: 
Considere os dados sobre o PIB brasileiro em valores correntes, em milhões de reais, para os 
anos de 2005 e 2006, e a taxa de crescimento real do Brasil, em 2006 (definida pelo índice de 
quantidade), conforme enunciado e resumido na Tabela (1.43), abaixo. 
Tabela 1.43: PIB brasileiro de 2005 e 2006. 
 Dados do PIB e Índices 2005 2006 
Dados 
PIB correntes 
(em milhões de R$) 
2.147.239,00 2.369.797,00 
Índice de Quantum 100,00% 103,97% 
Estimado abaixo 
(passo I). 
Índice de Valor ( 06,05V ) 100% 110,36% 
Estimado abaixo 
(passo II). 
Deflator Implícito (
06,05DI ) 
100% 106,14% 
Estimado abaixo 
(passo III). 
PIB real a preço constante 
de 2005 
(emmilhões de R$) 
2.147.239,00 68,708.232.2 
Os resultados apresentados na Tabela (1.43), em cor cinza são estimados nos passos seguintes: 
� Passo I: Estimativa do Índice de Valor ( tV ,0 ). Ou seja, 
⇒×
×
×
=⇒×
×
×
=
∑
∑
∑
∑
=
=
=
= 100100
1
0505
06
1
06
06,05
1
00
1
,0 n
i
ii
n
i
n
i
ii
i
t
n
i
i
t
t
qP
QP
V
qP
qP
V 
%36,110100
00,239.147.2
00,797.369.2
 V05,06 =×= 
� Passo II: Estimativa do Deflator Implícito ( 06,05DI ). Ou seja, 
⇒=× t
p
t
q
t VPAL ,0,0,0 ⇒=× tt
q
t VDIL ,0,0,0 ⇒×= 100
,0
,0
,0 q
t
t
t
L
V
DI 
%14,106100
97,103
36,110
06,05 =×=DI 
� Passo III: PIB real a preço constante de 2005, em milhões de reais. Isto é, 
 
⇒×= 100
correntes preços a 
REAL 
,0
t0,
tDI
PIB
PIB 
68,708.232.2100
14,106
00,797.369.2
REAL 05,06 =×=PIB 
� Passo IV: Comprovações dos resultados. 
⇒×
×
×
=
∑
∑
=
= 100
1
00
0
1
,0 n
i
ii
i
n
i
i
t
q
t
qp
pq
L %98,103100
00,239.147.2
68,708.232.2
1
0505
05
1
06
06,05 =×=
×
×
=
∑
∑
=
=
n
i
ii
i
n
i
i
q
qP
pq
L 
E, conforme o critério de decomposição das causas tem-se: 
110,36%1000398,11,061406,0506,0506,05 =××=×=
qp LPAV 
Exemplo 17: 
Na Tabela (1.44), abaixo, encontram-se as estimativas do PIB brasileiro, em milhões de reais, e 
do Índice de Quantum (índice de quantidade de base móvel, determinado a partir das taxas de 
crescimento do PIB), para o período de 1997 a 2006. Portanto, utilizando os dados da Tabela 
(1.44), deduza: (a) o PIB Real ano a ano; (b) o Deflator Implícito do Produto, e; (c) o PIB real a 
preço de 2006. 
Tabela 1.44: PIB a preços correntes, Índice de Quantum e Taxa de variação anual real. 
Ano 
PIB a preços correntes 
(em milhões de Reais) 
Índice de Quantum (
ttIQ ,1− ) 
( %) 
Taxa de variação 
anual real 
(%) 
1997 939146,62 100,00 - 
1998 979275,75 100,04 0,04 
1999 1064999,71 100,25 0,25 
2000 1179482,00 104,31 4,31 
2001 1302136,00 101,31 1,31 
2002 1477822,00 102,66 2,66 
2003 1699948,00 101,15 1,15 
2004 1941498,00 105,71 5,71 
2005 2147239,00 103,16 3,16 
2006 2369797,00 103,97 3,97 
 
Solução: 
Os resultados das soluções dos itens (a) e (b) encontram-se apresentados na Tabela (1.45), abaixo 
e os resultados do item (c) encontram-se apresentados na Tabela (1.46). 
 
Tabela 1.45: Estimativas do Índice de Valor e do Deflator Implícito. 
Ano 
PIB a preços 
correntes 
(em milhões 
de Reais) 
Índice de 
Quantum 
( t,tIQ 1−
) 
( %) 
Índice de Valor: 
100
1
11
1
1 ×
×
×
=
∑
∑
=
−−
=
− n
i
i
t
i
t
i
t
n
i
i
t
t,t
qP
qP
V 
(%) 
Deflator Implícito 
100
1
1
1 ×=
−
−
−
t,t
t,t
t,t
IQ
V
DI 
(%) 
1997 939146,62 100,00 100 100 
1998 
979275,75 100,04 %27,104
100
62,146.939
00,275.979
=
×=
 
22,104100
04,100
27,104
=×= 
1999 
1064999,71 100,25 %75,108
100
75,275.976
71,999.064.1
=
×=
 
47,110100
25,100
75,110
=×= 
2000 
1179482,00 104,31 %75,110
100
71,999.064.1
00,482.179.1
=
×=
 
17,106100
31,104
75,110
=×= 
2001 
1302136,00 101,31 %40,110
100
00,482.179.1
00,136.302.1
=
×=
 
97,,108100
31,101
40,110
=×= 
2002 
1477822,00 102,66 %49,113
100
00,136.302.1
00,822.477.1
=
×=
 
54,,110100
66,102
49,113
=×= 
2003 
1699948,00 101,15 %03,115
100
00,822.477.1
00,948.699.1
=
×=
 
72,,113100
15,101
03,115
=×= 
2004 
1941498,00 105,71 %21,114
100
00,948.699.1
00,498.941.1
=
×=
 
04,,108100
71,105
21,114
=×= 
2005 
2147239,00 103,16 %60,110
100
00,498.1941.1
00,239.147.2
=
×=
 
97,106100
16,103
36,110
=×= 
2006 
2369797,00 103,97 %36,110
100
00,239.147.2
00,797.369.2
=
×=
 
14,106100
97,103
36,110
=×= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 1.46: Estimativas do PIB REAL a preço de 2006. 
 
Ano 
PIB a 
preços 
correntes 
(em 
milhões de 
Reais) 
Deflator 
Implícito 
ttDI ,1− 
(%) 
100
correntes preços 
REAL 
,1
t1,-t
×
=
− ttDI
PIB
PIB
 
tDI ,0 
(2006=100%) t0,
REAL PIB 
(a preço de 2006) 
 PER. % 
1997 939146,62 100 
62,146.939
100
100
314662.2939
=
×=
 06-97 
33,205
1000,10533,2
=
××
 
75,349.928.1
62,146.9390533,2
=
×
 
1998 979275,75 104,22 
63,623.939
100
22,104
75,275.979
=
×=
 06-98 
33,205
1000422,19702,1
=
××
 
99,329.929.1
63,623.9390533,2
=
×
 
1999 1064999,71 110,47 
37,062.964
100
47,110
71,999.064.1
=
×=
 06-99 
02,197
1001047,17835,1
=
××
 
68,395.899.1
37,062.9649702,1
=
×
 
2000 1179482,00 106,17 
17,937..110.1
100
17,106
00,482.179.1
=
×=
 06-00 
35,178
1000617,16799,1
=
××
 
44,356.981.1
17,937.110.17835,1
=
×
 
2001 1302136,00 108,97 
06,949.194.1
100
97,108
00,136.302.1
=
×=
 06-01 
99,167
1000897,15417,1
=
××
 
92,394.007.2
06,949.194.16799,1
=
×
 
2002 1477822,00 110,54 
52,911.336.1
100
54,110
00,822.477.1
=
×=
 06-02 
17,154
1001054,13947,1
=
××
 
49,116.061.2
52,911.336.15417,1
=
×
 
2003 1699948,00 113,72 
02,854.499.1
100
72,113
00,948.699.1
=
×=
 06-03 
47,139
1001372,12265,1
=
××
 
40,846.091.2
02,854.499.13947,1
=
×
 
2004 1941498,00 108,04 
77,017.797.1
100
04,108
00,498.941.1
=
×=
 06-04 
65,122
1000804,11353,1
=
××
 
29,042.204.2
77,017.797.12265,1
=
×
 
2005 2147239,00 106,97 
22,328.007.2
100
97,106
00,239.147.2
=
×=
 06-05 
53,113
1000697,10614,1
=
××
 
72,919.278.2
22,328.007.21353,1
=
×
 
2006 2369797,00 106,14 
68,708.232.2
100
14,106
00,797.369.2
=
×=
 06-06 106,14 
99,796.369.2
68,708.232.20614,1
=
×