algoritmo da roma mdcxli

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b) \(\frac{1}{6}\) 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) 1 
 **Resposta**: b) \(\frac{1}{6}\) 
 **Explicação**: Usando a série de Taylor para \(\sin(x)\), temos: 
 \[ 
 \sin(x) \approx x - \frac{x^3}{6} \Rightarrow x - \sin(x) \approx \frac{x^3}{6}. 
 \] 
 Assim, 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3} = \frac{1}{6}. 
 \] 
 
77. **Questão 77**: Calcule a integral \(\int (x^4 - 2x^3 + 3x) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{2}x^4 + \frac{3}{2}x^2 + C\) 
 b) \(\frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{3}x^4 + \frac{3}{2}x^2 + C\) 
 c) \(\frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{2}x^4 + \frac{3}{3}x^2 + C\) 
 d) \(\frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{3}x^4 + \frac{3}{3}x^2 + C\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{2}x^4 + \frac{3}{2}x^2 + C\) 
 **Explicação**: A integral é resolvida aplicando a regra da potência: 
 \[ 
 \int x^4 \, dx = \frac{1}{5}x^5, \quad \int -2x^3 \, dx = -\frac{1}{2}x^4, \quad \int 3x \, dx = 
\frac{3}{2}x^2. 
 \] 
 
78. **Questão 78**: Determine a derivada de \(p(x) = \cos(x^2)\). 
 a) \(-2x \sin(x^2)\) 
 b) \(2x \cos(x^2)\) 
 c) \(-2x \cos(x^2)\) 
 d) \(2x \sin(x^2)\) 
 **Resposta**: a) \(-2x \sin(x^2)\) 
 **Explicação**: Usando a regra da cadeia, temos que a derivada de \(\cos(u)\) é \(-
\sin(u) \cdot u'\), onde \(u = x^2\) e \(u' = 2x\). Portanto, 
 \[ 
 p'(x) = -2x \sin(x^2). 
 \] 
 
79. **Questão 79**: Calcule a integral \(\int_1^2 (3x^2 - 2x + 1) \, dx\). 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta**: b) 2 
 **Explicação**: A antiderivada é \(x^3 - x^2 + x\). Avaliando de 1 a 2: 
 \[ 
 \left[2^3 - 2^2 + 2\right] - \left[1^3 - 1^2 + 1\right] = (8 - 4 + 2) - (1 - 1 + 1) = 6 - 1 = 5. 
 \] 
 
80. **Questão 80**: Determine o limite \(\lim_{x \to 1} \frac{x^6 - 1}{x - 1}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 6 
 d) 7 
 **Resposta**: c) 6 
 **Explicação**: Usando a fatoração: 
 \[ 
 \frac{x^6 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)}{x - 1} = x^5 + x^4 + x^3 + 
x^2 + x + 1 \quad (x \neq 1). 
 \] 
 Portanto, 
 \[ 
 \lim_{x \to 1} (x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = 6. 
 \] 
 
81. **Questão 81**: Calcule a integral \(\int (2x 
Claro! Aqui estão 100 problemas de probabilidade complexos, em formato de múltipla 
escolha, com explicações detalhadas. 
 
1. Um baralho padrão contém 52 cartas. Qual é a probabilidade de tirar uma carta que 
seja um rei ou uma dama? 
A) 1/26 
B) 1/13 
C) 3/52 
D) 1/17 
**Resposta:** B) 1/13 
**Explicação:** O baralho tem 4 reis e 4 damas, totalizando 8 cartas. A probabilidade de 
tirar uma dessas cartas é 8/52, que simplifica para 1/13. 
 
2. Em uma urna com 5 bolas vermelhas, 3 azuis e 2 verdes, qual é a probabilidade de 
retirar uma bola azul? 
A) 3/10 
B) 1/5 
C) 1/3 
D) 2/5 
**Resposta:** A) 3/10 
**Explicação:** O total de bolas é 10. A probabilidade de retirar uma bola azul é 3/10, pois 
há 3 bolas azuis. 
 
3. Uma moeda é lançada 3 vezes. Qual é a probabilidade de obter exatamente 2 caras? 
A) 3/8 
B) 1/2 
C) 1/4 
D) 5/8 
**Resposta:** A) 3/8 
**Explicação:** O número total de resultados possíveis é 2^3 = 8. Os resultados 
favoráveis (C, C, X), (C, X, C) e (X, C, C) são 3. Assim, a probabilidade é 3/8.