Métodos de Regressão na Produção

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CEDERJ – CENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR A DISTÂNCIA 
DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO 
 
 
 
CURSO: Engenharia de Produção DISCIPLINA: Planejamento e Controle da 
Produção I 
 
CONTEUDISTA: Rafael Garcia Barbastefano. 
 
AULA 4 – MÉTODOS DE REGRESSÃO 
 
 
META 
Apresentar os métodos econométricos, ou de regressão. 
 
 
OBJETIVOS 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de 
conhecer e aplicar o método de regressão linear simples e múltipla. 
 
PRÉ-REQUISITOS 
 
Ler e entender os conteúdos da Aula 3. Lembrar alguns conceitos de Álgebra 
Linear. 
 
 
 
 
 
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1. INTRODUÇÃO 
 
A análise de regressão é uma técnica de modelagem para analisar a relação entre 
uma variável dependente contínua (valor real) D e uma ou mais variáveis 
independentes P1, P2,. . . , Pk. O objetivo na análise de regressão é identificar uma 
função que descreva, tanto quanto possível, a relação entre essas variáveis para 
que possamos prever o valor que a variável dependente assumirá dado valores 
específicos para as variáveis independentes. Esta aula mostra como estimar 
essas funções e como usá-las para fazer previsões em um ambiente de negócios. 
 
Até agora, usamos métodos de previsão apenas baseados na demanda passada. 
Nesta aula, poderemos usar também outras variáveis determinantes da 
quantidade a ser vendida, como preço, taxa de juros, preço de concorrentes, entre 
outras. Este tipo de abordagem é importante quando se deseja tentar estabelecer 
previsões em situações em que um concorrente realiza uma promoção, por 
exemplo. 
 
 
2. REGRESSÃO LINEAR 
 
Sejam n pares de dados emparelhados (p1, d1), (p2, d2),. . . (pn, dn) pontos de 
dados emparelhados para as duas variáveis P e D. Suponha que di seja o valor 
observado da demanda de um produto, em uma data i, quando pi é o valor do 
preço praticado de D na mesma data. D é a chamada variável dependente e P é 
variável independente. Acreditamos que existe uma relação entre P e D que pode 
ser representada por uma linha reta. 
 
 3 
400
450
500
550
600
650
0 1 2 3 4 5 6
D
P
 
Figura 1: Vamos tentar achar uma linha reta D que se ajuste aos dados p1, p2, pn 
 
Interpretando D=a+bP como o valor previsto, o objetivo é encontrar os valores de 
a e b para que a linha reta da figura dê o melhor ajuste dos dados. Os valores de a 
e b são escolhidos de modo que a soma das distâncias quadradas entre a linha de 
regressão e os pontos de dados seja minimizada 
 
Vamos supor que pudéssemos ajustar perfeitamente os coeficientes a e b à reta 
da figura 1. Teríamos uma lista de observações dada por: 
 
 
 
 
 
 4 
Colocando as equações em forma matricial temos: 
 
Ou seja, , onde o vetor representa o vetor com os valores de demanda, 
é a matriz cujas colunas representam um vetor com todos os valores 1 e outro 
com um vetor representando os preços e é dado pelos coeficientes a e b da reta. 
O sistema possui mais equações do que incógnitas. Dessa forma, ele será, 
salvo em uma combinação absolutamente improvável de pares (p,d), impossível. 
 
O problema de se encontrar a solução do sistema passa a ser, na verdade, 
encontrar coeficientes que minimizem a norma do vetor . Da álgebra linear, 
podemos trazer o resultado que o valor | | é mínimo quando o vetor é 
perpendicular ao espaço imagem da matriz P. Quando isto ocorre, os vetores 
geradores de P (os vetores coluna da matriz) são perpendiculares ao vetor 
e, portanto, a matriz transposta de P, multiplicada por será igual a 
 . Isolando o vetor de coeficientes, temos seus valores: 
 
 
 
Os coeficientes do vetor c podem ser obtidos da seguinte maneira: 
 
 
 
 5 
 
 
 
 
 
 
Os coeficientes serão os seguintes: 
 
 
 
e 
 
 
 
EXEMPLO 1 
 
As vendas de um produto, em função do seu preço, são dadas pela tabela a 
seguir: 
Preço Vendas 
 R$ 1,00 634 
 R$ 1,50 627 
 R$ 2,00 620 
 R$ 2,50 616 
 R$ 3,00 600 
 6 
 
 
Ajuste uma reta pelos dados e diga qual seria o valor esperado das vendas caso o 
preço praticado fosse de R$ 2,20. 
 
Queremos encontrar os coeficientes a e b da equação d=a+bp. 
 
O vetor c será dado por (a,b). O vetor d será dado por: (634,627,620,616,600) e a 
matriz P e sua transposta serão dadas por: 
 
 
 
 
O vetor de coeficientes será dado por: 
 
 7 
 
 
Ou seja, a reta ajustada aos dados será d=651-15,8 p . 
 
Para um preço praticado de R$ 2,20, as vendas esperadas são de 616,2 
unidades. 
▀ 
 
EXERCíCIO 1 
 
Na tabela a seguir, são apresentados dados de vendas em função do tempo. 
Elabore um modelo de vendas do tipo d=a+dt e obtenha uma previsão para t=11. 
 
t Vendas 
1 5411 
2 5701 
3 6017 
4 6082 
5 6109 
6 6670 
7 6873 
8 6868 
9 7107 
10 7138 
 
 
3. REGRESSÃO MÚLTIPLA 
 
Mais de uma variável independente pode influenciar a demanda ao mesmo tempo. 
Isto acontece em casos de preços de produtos concorrentes ou substitutos, por 
exemplo. Nestes casos, um modelo de regressão linear que explique a demanda 
pode assumir a seguinte equação: 
 
 8 
 
 
Onde pc é o preço do concorrente. Modelos deste tipo são interessantes para 
estimar demanda quando concorrentes fazem promoções, por exemplo, apesar de 
que sempre se deve lembrar que existe necessidade de manter dados para 
elaborar os modelos. 
 
A fórmula de obtenção dos coeficientes em formato matricial é a mesma: 
 
 
 
A diferença é que, agora, a matriz P possui três colunas, uma relativa à coluna dos 
vetores com valor 1, uma relativa aos preços dos produtos e outra relativa aos 
preços dos concorrentes. Isto vai ficar mais claro no exemplo a seguir: 
 
EXEMPLO 2 
 
Apresentamos na tabela a seguir, dados da demanda de um produto e os 
correspondentes preço e preço de um produto concorrente. Elabore um modelo de 
regressão do tipo 
 
 
 
E diga qual seria a demanda do produto se o seu preço fosse de R$ 7,00, mas seu 
concorrente fizesse uma promoção, colocando o seu valor a R$ 5,00. 
 
 
 
 
 
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Preço do Produto Preço do Concorrente Demanda 
 R$ 5,00 R$ 6,37 1718 
 R$ 5,00 R$ 6,50 1673 
 R$ 6,00 R$ 6,91 1522 
 R$ 6,00 R$ 6,64 1528 
 R$ 7,00 R$ 7,34 1414 
 R$ 7,00 R$ 8,94 1552 
 R$ 8,00 R$ 8,68 1277 
 R$ 8,00 R$ 9,19 1351 
 R$ 9,00 R$ 9,44 1183 
 R$ 9,00 R$ 10,70 1341 
 R$ 10,00 R$ 9,22 929 
 R$ 10,00 R$ 10,27 1044 
 R$ 11,00 R$ 9,46 801 
 R$ 11,00 R$ 10,68 953 
 R$ 12,00 R$ 13,73 1024 
 R$ 12,00 R$ 10,07 664 
 R$ 13,00 R$ 13,10 745 
 R$ 13,00 R$ 14,30 879 
 R$ 14,00 R$ 12,32 448 
 R$ 14,00 R$ 12,47 453 
 
A matriz P, neste exemplo, será dada por: 
 
 
 
Entre na plataformae veja a planilha com todas as matrizes envolvidas. 
 
Os coeficientes do vetor c são dados por: 
 
(2055,7;-204,9;103,5) 
 
O modelo da demanda será, portanto: 
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Aplicando-se os dados de preço do exemplo, teremos uma demanda de 1138,8 
unidades. 
 
EXERCÍCIO 2 
 
As vendas de um produto, em conjunto com os preços praticados, bem como de 
um produto substituto são dadas na tabela abaixo: 
 
Preço Substituto Vendas 
 100,00 105,00 6000 
 110,00 102,00 3000 
 120,00 108,00 4500 
 130,00 107,00 4000 
 140,00 110,00 3000 
 150,00 120,00 1000 
 
Elabore um modelo linear das vendas em função dos preços do produto e de seu 
substituto. 
 
 
ATIVIDADE FINAL 
 
Aplique nos dados do exercício 1 o método do amortecimento exponencial com 
ajuste de tendência, usando o Solver e compare o Desvio Absoluto Médio com os 
dados obtidos via regressão linear. Qual foi o melhor? 
 
RESUMO 
 
A análise de regressão é uma técnica de modelagem para analisar a relação entre 
uma variável dependente contínua (valor real) D e uma ou mais variáveis 
independentes P1, P2,. . . , Pk. O objetivo na análise de regressão é identificar uma 
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função que descreva, tanto quanto possível, a relação entre essas variáveis para 
que possamos prever o valor que a variável dependente assumirá dado valores 
específicos para as variáveis independentes. 
 
 
INFORMAÇÕES SOBRE A PRÓXIMA AULA 
 
Na próxima aula, veremos como se deve tratar os efeitos sazonais nas previsões. 
Até lá! 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
Corrêa, Henrique, e Carlos Corrêa. Administração da Produção e Operações. São 
Paulo: Atlas, 2004. 
Corrêa, Henrique, Irineu Gianesi, e Mauro Caon. Planejamento, programação e 
controle da produção. São Paulo: Atlas, 2001. 
Heizer, Jay, e Barry Render. Administração de Operações: Bens e Serviços. 5a. 
Rio de Janeiro: LTC, 1999. 
Lustosa, Leonardo, Marco Mesquita, Osvaldo Quelhas, e Rodrigo Oliveira. 
Planejamento e Controle da Produção. Rio de Janeiro: Elsevier, 2008. 
Nahmias, Stephen. Production and operations analysis 6th ed. Singapore: 
McGraw-Hill, 2009. 
Slack, Nigel, Stuart Chambers, e Robert Johnston. Administração da Produção. 
2a. São Paulo: Atlas, 2002. 
Tubino, Dalvio. Planejamento e controle da produção: teoria e prática. São Paulo: 
Atlas, 2009.