166 hora da matematica 166

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**Resposta**: a) \( \frac{1}{6}(2x + 3)^6 + C \) 
 **Explicação**: Usando a substituição \( u = 2x + 3 \), temos \( \int u^5 \frac{1}{2} du = 
\frac{1}{6}u^6 + C \). 
 
43. **Problema 43**: Qual é a derivada de \( f(x) = x^2 \ln(x) \)? 
 a) \( 2x \ln(x) + x \) 
 b) \( 2x \ln(x) - x \) 
 c) \( \ln(x^2) + 2x \) 
 d) \( x^2 \frac{1}{x} \) 
 **Resposta**: a) \( 2x \ln(x) + x \) 
 **Explicação**: Usando a regra do produto, temos \( f'(x) = 2x \ln(x) + x \). 
 
44. **Problema 44**: Calcule a integral \( \int (3x^2 - 4x + 1) \, dx \). 
 a) \( x^3 - 2x^2 + x + C \) 
 b) \( x^3 - 2x + C \) 
 c) \( x^3 - 4x + C \) 
 d) \( \frac{3}{4}x^4 - 2x^2 + x + C \) 
 **Resposta**: a) \( x^3 - 2x^2 + x + C \) 
 **Explicação**: A integral é calculada como \( \int 3x^2 \, dx = x^3 \), \( \int -4x \, dx = -
2x^2 \) e \( \int 1 \, dx = x \). 
 
45. **Problema 45**: Determine o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x + 1}{x^2 + 4} \). 
 a) 2 
 b) 1 
 c) 3 
 d) Não existe 
 **Resposta**: a) 2 
 **Explicação**: Dividindo o numerador e o denominador pelo maior grau de \( x^2 \), 
temos \( \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{4}{x^2}} = 2 \). 
 
46. **Problema 46**: Calcule a integral \( \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \). 
 a) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
 b) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C \) 
 c) \( \frac{1}{x} + C \) 
 d) \( \ln|x| + C \) 
 **Resposta**: a) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
 **Explicação**: A integral de \( \frac{1}{x^2 + 1} \) é \( \tan^{-1}(x) + C \). 
 
47. **Problema 47**: Determine a derivada de \( f(x) = \sqrt{1 - x^2} \). 
 a) \( -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \) 
 b) \( \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \) 
 c) \( -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \) 
 d) \( \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \) 
 **Resposta**: a) \( -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \) 
 **Explicação**: Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \). 
 
48. **Problema 48**: Calcule a integral \( \int e^{-x} \cos(x) \, dx \). 
 a) \( e^{-x} (\sin(x) + \cos(x)) + C \) 
 b) \( e^{-x} (\sin(x) - \cos(x)) + C \) 
 c) \( e^{-x} (\sin(x) + 2\cos(x)) + C \) 
 d) \( e^{-x} (\sin(x) - 2\cos(x)) + C \) 
 **Resposta**: a) \( e^{-x} (\sin(x) + \cos(x)) + C \) 
 **Explicação**: Usando a integração por partes, obtemos o resultado. 
 
49. **Problema 49**: Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 5 
 d) Não existe 
 **Resposta**: c) 5 
 **Explicação**: Usando a regra do limite fundamental, temos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\sin(5x)}{x} = 5 \). 
 
50. **Problema 50**: Calcule a integral \( \int (4x^3 - 2x^2 + 3) \, dx \). 
 a) \( x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 3x + C \) 
 b) \( x^4 - \frac{2}{3}x^2 + 3x + C \) 
 c) \( x^4 - 2x^2 + 3x + C \) 
 d) \( 4x^4 - 2x^2 + 3x + C \) 
 **Resposta**: a) \( x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 3x + C \) 
 **Explicação**: A integral é calculada como \( \int 4x^3 \, dx = x^4 \), \( \int -2x^2 \, dx = -
\frac{2}{3}x^3 \) e \( \int 3 \, dx = 3x \). 
 
51. **Problema 51**: Determine a série de Taylor de \( e^x \) em torno de \( x = 0 \) até o 
termo de \( x^4 \). 
 a) \( 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} \) 
 b) \( 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{24} \) 
 c) \( 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{12} \) 
 d) \( 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 \) 
 **Resposta**: a) \( 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} \) 
 **Explicação**: A série de Taylor é dada por \( e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \), e 
os primeiros quatro termos são \( 1, x, \frac{x^2}{2}, \frac{x^3}{6}, \frac{x^4}{24} \). 
 
52. **Problema 52**: Calcule a integral \( \int (3x^2 + 2) \, dx \). 
 a) \( x^3 + 2x + C \) 
 b) \( x^3 + x + C \) 
 c) \( x^3 + 2x^2 + C \) 
 d) \( 3x^3 + 2x + C \) 
 **Resposta**: a) \( x^3 + 2x + C \) 
 **Explicação**: A integral é calculada como \( \int 3x^2 \, dx = x^3 \) e \( \int 2 \, dx = 2x \). 
 
53. **Problema 53**: Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 3 
 d) Não existe