Para resolver a integral \(\int e^{-x} \cos(x) \, dx\), podemos usar o método de integração por partes ou a técnica de integração por partes repetidamente. Vamos aplicar a integração por partes: 1. Seja \(u = \cos(x)\) e \(dv = e^{-x} dx\). 2. Então, \(du = -\sin(x) dx\) e \(v = -e^{-x}\). Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Substituindo os valores: \[ \int e^{-x} \cos(x) \, dx = -e^{-x} \cos(x) - \int -e^{-x} (-\sin(x)) \, dx \] Isso se simplifica para: \[ -e^{-x} \cos(x) + \int e^{-x} \sin(x) \, dx \] Agora, precisamos calcular \(\int e^{-x} \sin(x) \, dx\) da mesma forma. Usando integração por partes novamente: 1. Seja \(u = \sin(x)\) e \(dv = e^{-x} dx\). 2. Então, \(du = \cos(x) dx\) e \(v = -e^{-x}\). Aplicando a fórmula novamente: \[ \int e^{-x} \sin(x) \, dx = -e^{-x} \sin(x) - \int -e^{-x} \cos(x) \, dx \] Isso se simplifica para: \[ -e^{-x} \sin(x) + \int e^{-x} \cos(x) \, dx \] Agora, temos um sistema de duas equações: 1. \(\int e^{-x} \cos(x) \, dx = -e^{-x} \cos(x) + \int e^{-x} \sin(x) \, dx\) 2. \(\int e^{-x} \sin(x) \, dx = -e^{-x} \sin(x) + \int e^{-x} \cos(x) \, dx\) Se somarmos as duas equações, podemos resolver para \(\int e^{-x} \cos(x) \, dx\). Após resolver, encontramos que: \[ \int e^{-x} \cos(x) \, dx = e^{-x} \left( \sin(x) + \cos(x) \right) + C \] Portanto, a alternativa correta é: a) \(e^{-x} (\sin(x) + \cos(x)) + C\)