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Problema 46: Calcule a integral ∫ (1/(x^2 + 1)) dx. a) tan^(-1)(x) + C b) (1/2) tan^(-1)(x) + C c) (1/x) + C d) ln|x| + C

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Questões Para a Compreensão

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166 hora da matematica 166
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Para calcular a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\), sabemos que a integral de \(\frac{1}{x^2 + 1}\) é uma forma padrão que resulta na função arco-tangente. Portanto, a integral é: \[ \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \tan^{-1}(x) + C \] Analisando as alternativas: a) \(\tan^{-1}(x) + C\) - Correta. b) \((1/2) \tan^{-1}(x) + C\) - Incorreta. c) \((1/x) + C\) - Incorreta. d) \(\ln|x| + C\) - Incorreta. A alternativa correta é: a) \(\tan^{-1}(x) + C\).

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b) x^3 - 2x + C
c) x^3 - 4x + C
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b) 1
c) 3
d) Não existe

Problema 47: Determine a derivada de f(x) = √(1 - x^2).

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c) e^(-x) (sin(x) + 2cos(x)) + C
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Problema 49: Determine o limite lim(x → 0) (sin(5x)/x).

a) 0
b) 1
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d) Não existe

Problema 50: Calcule a integral ∫ (4x^3 - 2x^2 + 3) dx.

a) x^4 - (2/3)x^3 + 3x + C
b) x^4 - (2/3)x^2 + 3x + C
c) x^4 - 2x^2 + 3x + C
d) 4x^4 - 2x^2 + 3x + C

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a) 1 + x + (x^2/2) + (x^3/6) + (x^4/24)
b) 1 + x + (x^2/2) + (x^3/3) + (x^4/24)
c) 1 + x + (x^2/2) + (x^3/6) + (x^4/12)
d) 1 + x + x^2 + x^3 + x^4

Problema 52: Calcule a integral ∫ (3x^2 + 2) dx.

a) x^3 + 2x + C
b) x^3 + x + C
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