Problema 43: Qual é a derivada de f(x) = x^2 ln(x)? a) 2x ln(x) + x b) 2x ln(x) - x c) ln(x^2) + 2x d) x^2 (1/x)

Para encontrar a derivada da função \( f(x) = x^2 \ln(x) \), vamos usar a regra do produto, que afirma que a derivada de um produto de duas funções \( u(x) \) e \( v(x) \) é dada por: \[ f'(x) = u'v + uv' \] Neste caso, temos: - \( u(x) = x^2 \) e \( u'(x) = 2x \) - \( v(x) = \ln(x) \) e \( v'(x) = \frac{1}{x} \) Agora, aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = (2x)(\ln(x)) + (x^2)\left(\frac{1}{x}\right) \] Simplificando a segunda parte: \[ f'(x) = 2x \ln(x) + x \] Portanto, a derivada de \( f(x) = x^2 \ln(x) \) é: a) 2x ln(x) + x Essa é a alternativa correta!