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66. **Problema 66:** Determine o limite \(\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1}\). 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 0 
 d) Infinito 
 **Resposta:** b) 3 
 **Explicação:** O limite é uma indeterminação \(0/0\). Usamos a fatoração: \(\frac{(x - 
1)(x^2 + x + 1)}{x - 1} = x^2 + x + 1\). Assim, \(\lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 3\). 
 
67. **Problema 67:** Calcule a integral \(\int e^{-2x} \sin(3e^{-2x}) \, dx\). 
 a) \(-\frac{1}{13} e^{-2x} \sin(3e^{-2x}) + C\) 
 b) \(\frac{1}{13} e^{-2x} \cos(3e^{-2x}) + C\) 
 c) \(-\frac{1}{13} e^{-2x} \cos(3e^{-2x}) + C\) 
 d) \(\frac{1}{13} e^{-2x} \sin(3e^{-2x}) + C\) 
 **Resposta:** c) \(-\frac{1}{13} e^{-2x} \cos(3e^{-2x}) + C\) 
 **Explicação:** Usamos a técnica de integração por partes, onde \(u = \sin(3e^{-2x})\) e 
\(dv = e^{-2x}dx\). A integral se transforma em uma forma que pode ser resolvida por 
partes novamente. 
 
68. **Problema 68:** Calcule a integral \(\int_0^1 (x^5 - 2x^3 + x) \, dx\). 
 a) 0 
 b) \(\frac{1}{6}\) 
 c) \(\frac{1}{4}\) 
 d) \(\frac{1}{5}\) 
 **Resposta:** a) 0 
 **Explicação:** A primitiva é \(\int (x^5 - 2x^3 + x) \, dx = \frac{x^6}{6} - \frac{2x^4}{4} + 
\frac{x^2}{2} + C\). Avaliando de 0 a 1, temos \((\frac{1}{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) - 0 = 0\). 
 
69. **Problema 69:** Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(6x)}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 6 
 d) Infinito 
 **Resposta:** c) 6 
 **Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = 
k\). Aqui, \(k = 6\), então o limite é 6. 
 
70. **Problema 70:** Calcule a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C\) 
 b) \(\tan^{-1}(x) + C\) 
 c) \(\frac{1}{4} \tan^{-1}(x) + C\) 
 d) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C\) 
 **Explicação:** A integral pode ser resolvida usando a substituição \(u = \frac{x}{2}\), 
resultando em \(\frac{1}{2} \tan^{-1}(u) + C\). 
 
71. **Problema 71:** Determine a derivada de \(f(x) = x^5 \ln(x)\). 
 a) \(5x^4 \ln(x) + x^4\) 
 b) \(5x^4 \ln(x) + 5x^4\) 
 c) \(5x^4 \ln(x) + 4x^4\) 
 d) \(5x^4 \ln(x) + x^5\) 
 **Resposta:** a) \(5x^4 \ln(x) + x^4\) 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto: \(f'(x) = u'v + uv'\), onde \(u = x^5\) e \(v = 
\ln(x)\). Assim, \(u' = 5x^4\) e \(v' = \frac{1}{x}\). 
 
72. **Problema 72:** Calcule a integral \(\int_0^1 (3x^2 - 4x + 1) \, dx\). 
 a) 0 
 b) \(\frac{1}{4}\) 
 c) \(\frac{1}{3}\) 
 d) \(\frac{1}{2}\) 
 **Resposta:** a) 0 
 **Explicação:** A primitiva é \(\int (3x^2 - 4x + 1) \, dx = x^3 - 2x^2 + x + C\). Avaliando de 
0 a 1, temos \((1 - 2 + 1) - 0 = 0\). 
 
73. **Problema 73:** Determine o limite \(\lim_{x \to 1} \frac{x^4 - 1}{x - 1}\). 
 a) 1 
 b) 4 
 c) 0 
 d) Infinito 
 **Resposta:** b) 4 
 **Explicação:** O limite é uma indeterminação \(0/0\). Usamos a fatoração: \(\frac{(x - 
1)(x^3 + x^2 + x + 1)}{x - 1} = x^3 + x^2 + x + 1\). Assim, \(\lim_{x \to 1} (x^3 + x^2 + x + 1) = 
4\). 
 
74. **Problema 74:** Calcule a integral \(\int e^{-x} \cos(x) \, dx\). 
 a) \(-\frac{1}{2} e^{-x} \sin(x) - \frac{1}{2} e^{-x} \cos(x) + C\) 
 b) \(-e^{-x} \sin(x) + C\) 
 c) \(-e^{-x} \cos(x) + C\) 
 d) \(-\frac{1}{2} e^{-x} \cos(x) + C\) 
 **Resposta:** a) \(-\frac{1}{2} e^{-x} \sin(x) - \frac{1}{2} e^{-x} \cos(x) + C\) 
 **Explicação:** Usamos integração por partes duas vezes. A primeira parte resulta em 
\(e^{-x} \cos(x)\) e a segunda parte resolve para \(e^{-x} \sin(x)\). 
 
75. **Problema 75:** Determine a derivada de \(f(x) = e^{x^2} \sin(x)\). 
 a) \(2xe^{x^2} \sin(x) + e^{x^2} \cos(x)\) 
 b) \(2xe^{x^2} \cos(x) + e^{x^2} \sin(x)\) 
 c) \(e^{x^2} \sin(x)\) 
 d) \(2xe^{x^2} \sin(x) + e^{x^2} \cos(x)\) 
 **Resposta:** a) \(2xe^{x^2} \sin(x) + e^{x^2} \cos(x)\) 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto: \(f'(x) = u'v + uv'\), onde \(u = e^{x^2}\) e \(v = 
\sin(x)\). Assim, \(u' = 2xe^{x^2}\) e \(v' = \cos(x)\). 
 
76. **Problema 76:** Calcule a integral \(\int_0^1 (4x^4 - 2x^2 + 1) \, dx\). 
 a) 0 
 b) \(\frac{1}{5}\) 
 c) \(\frac{1}{2}\)