Lista de Exercicios Fisica Básica (37)

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SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 73
49. A situação é mostrada na figura a seguir. 
Seja 

a a primeira parte da viagem (50,0 km para leste) e seja 

c a viagem desejada (90,0 km 
para o norte). Queremos determinar um vetor 

b tal que 
  
c a b= + .
(a) De acordo com o teorema de Pitágoras, a distância percorrida pelo barco deve ser
b = + =( , ) ( , )50 0 90 0 1032 2km km km.
(b) A direção deve ser
 = 



= °−tan
,
,
,1 50 0
90 0
29 1
km
km
a oeste do norte (o que equivale a 60,9° ao norte do oeste). 
Note que este problema também poderia ser resolvido expressando primeiro os vetores na no-
tação dos vetores unitários: 
 
a c= =( , )ˆ, ( , )ˆ.50 0 90 0km i km j Isso nos dá 
  
b c a= − = − +( , )ˆ ( , )ˆ50 0 90 0km i km j
  
b c a= − = − +( , )ˆ ( , )ˆ50 0 90 0km i km j
O ângulo entre 

b e o semieixo x positivo é 
u =
−




= °−tan
,
,
,1 90 0
50 0
119 1
km
km
A relação entre θ e φ é u = ° +90 .
50. Os vetores 

d1 e 

d2 são dados por 
 
d d d d1 1 2 2= − =ˆ ˆj e i.
(a) O vetor 

d d2 24 4/ ( / ) ˆ= i aponta na direção do semieixo x positivo. O fator de 1/4 não muda 
a orientação do vetor.
(b) O vetor 

d d1 14 4/ ( ) ( / )ˆ− = j aponta na direção do semieixo y positivo. O sinal negativo (do 
“−4”) inverte o sentido do vetor: −(–y) = + y.
(c) 
 
d d1 2 0⋅ = , já que ̂ ˆi j = 0⋅ ; o produto escalar de dois vetores perpendiculares é zero.
(d) 
   
d d d d1 2 1 24 4 0⋅ = ⋅ =( / ) ( ) / , como no item (c).
(e) 
 
d d d d d d1 2 1 2 1 2× = − ×(ˆ ˆ ˆj i ) = k, na direção do semieixo z positivo.
(f) 
 
d d d d d d2 1 2 1 1 2× = − × −(ˆ ˆ ˆi j ) = k, na direção do semieixo z negativo.
74 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS
(g) O módulo do vetor do item (e) é d d1 2 .
(h) O módulo do vetor do item (f) é d d1 2 .
(i) Como d d d d1 2 1 24 4× =( / ) ( / ) ˆ

k, o módulo é d d1 2 4/ .
(j) O vetor 
 
d d d d1 2 1 24 4× =( / ) ( / )k̂ aponta na direção do semieixo z positivo.
51. Embora seja possível pensar neste movimento como tridimensional, ele é se torna bidimen-
sional quando o deslocamento é considerado apenas no plano da falha.
(a) O módulo do deslocamento total é
AB AD AC
 
= + = + =2 2 2 217 0 22 0 27 8( , ) ( , ) , .m m m
(b) O módulo da componente vertical de AB
 
 é |AD| sen 52,0° = 13,4 m.
52. Os três vetores são

d
d
1
2
4 0 5 0 6 0
1 0 2 0 0
= + −
= − +
, ˆ , ˆ , ˆ
, ˆ , ˆ ˆ
i j k
i j+3, k
d3 4 0 3 0 0= +, ˆ , ˆ ˆi j+2, k
(a) 
   
r d d d= − + = + + −1 2 3 9 0 6 0 7 0( , )ˆ ( , )ˆ ( , )m i m j m ˆ̂k .
(b) O módulo de 

r é | | ( , ) ( , ) ( , )

r = + + − =9 0 6 0 7 02 2 2m m m 12,9 m. O ângulo entre 

r e o 
semieixo z positivo é dado por
cos
ˆ
| |
,
,
,u = ⋅ = − = −


r
r
k m
m
7 0
12 9
0 543
o que nos dá u = °123 .
(c) A componente de 

d1 em relação a 

d2 é dada por d d d

= ⋅1 1û = cos, onde  é o ângulo 
entre 

d1 e 

d2 e û é o vetor unitário na direção de 

d2. Usando as propriedades do produto es-
calar, temos:
d d
d d
d d
d d
d

   
= ⋅



⋅ = −
1
1 2
1 2
1 2
2
1
=
(4,0)( ,, ) ( , )( , ) ( , )( , )
( , ) ( , ) (
0 0 0 0 0
0 0
+ + −
− + +
5 2 6 3
1 22 2 33
12
142, )0
3,2m.= − = −
(d) Agora estamos interessados em encontrar uma componente d⊥ tal que d d1
2 24 0= + + − = = + ⊥( , ) ( . 
d d d2 2 2 25 0 6 0 77= + + − = = + ⊥) ( , ) ( , )  . Substituindo d pelo seu valor, calculado no item (c), temos:
d⊥ = − − =77 3 2 8 22m m m.2 ( , ) ,
Com isso, ficamos conhecendo o módulo da componente perpendicular (obteríamos o mesmo 
valor usando a Eq. 3-27), mas se quisermos mais informações, como a orientação do vetor ou 
uma especificação completa em termos dos vetores unitários, teremos que fazer um cálculo 
mais complexo.
53. Usamos a Eq. 3-20 e a Eq. 3-27 para calcular, respectivamente, o produto escalar e o pro-
duto vetorial dos dois vetores:
 
 a b ab
a b ab
⋅ =
× =
cos
| |

sen