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<p>DEFINIÇÃO</p><p>O conceito de vetores e espaço vetorial no plano e no espaço.</p><p>PROPÓSITO</p><p>Compreender o conceito de vetor e espaço vetorial, aplicando as propriedades e operações vetoriais no plano e no espaço.</p><p>PREPARAÇÃO</p><p>Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica, ou use a calculadora de seu</p><p>smartphone/computador.</p><p>OBJETIVOS</p><p>Identificar o conceito de vetor, suas caracterizações e operações básicas</p><p>Identificar o conceito de vetor no plano e no espaço</p><p>Aplicar os produtos escalares, vetoriais e misto</p><p>Aplicar o conceito do ângulo vetorial nas condições de paralelismo e ortogonalidade</p><p> Identificar o conceito de vetor, suas caracterizações e operações básicas.</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Em várias aplicações da ciência e da Matemática, torna-se necessária a definição de um elemento que requer na sua concepção, além de</p><p>seu tamanho, sua orientação (direção e sentido).</p><p>Por exemplo, ao se afirmar que um veículo está se locomovendo a uma velocidade de 80km/h, falta a informação de direção e sentido que</p><p>ele está se encaminhando, para que se tenha um dado completo do problema.</p><p>Este elemento, que tem na sua concepção o tamanho e a orientação, é o vetor. O conjunto dos vetores, atendendo a algumas operações</p><p>básicas, irá definir o espaço vetorial.</p><p>Fonte:Pixabay</p><p>Neste estudo, vamos definir o espaço vetorial, o vetor e as suas operações básicas e, posteriormente, aplicar estes conceitos na resolução</p><p>de alguns problemas</p><p>ESPAÇO VETORIAL</p><p>O espaço vetorial V consiste em um conjunto, não vazio, de elementos (objetos) que atendem a operações da adição e de multiplicação por</p><p>um número real.</p><p>SEJAM U E V ELEMENTOS DE V, NÃO VAZIO. ASSIM, V SERÁ UM ESPAÇO VETORIAL, SE E</p><p>SOMENTE SE:</p><p>Se u e v pertencem a V então u + v pertence a V;</p><p>Se u pertence a V e k é um número real, então ku pertence a V.</p><p>Estas duas propriedades nos dizem que o espaço vetorial é fechado para operação da adição e multiplicação por real, pois ao operarmos</p><p>com elementos do espaço, o resultado fornece um outro elemento do mesmo conjunto.</p><p>Na Álgebra, podemos definir espaços vetoriais de vários tipos de elementos, como por exemplo de matrizes de n linhas e m colunas, de</p><p>funções reais de variável real e o espaço vetorial real de n dimensões (Rn).</p><p>Um espaço vetorial muito trabalhado nas aplicações em Geometria Analítica e de Álgebra Linear é o espaço vetorial Rn. Este espaço vetorial</p><p>será composto por elementos de n-dimensões reais, isto é</p><p>Para n = 2 e n = 3, consegue-se associar uma análise geométrica ao estudo analítico do Rn. A partir de n > 3 as representações geométricas</p><p>não são mais possíveis.</p><p>Desta forma, particularmente para problemas no plano e no espaço, trabalharemos com R² e R³, respectivamente.</p><p>EXEMPLO</p><p>1. Seja o conjunto C = {(x , 5) / x número real}. Verifique se o conjunto C é um espaço vetorial.</p><p>SOLUÇÃO</p><p>Para ser espaço vetorial, deve ser um conjunto não vazio de elementos que atende a duas operações básicas.</p><p>Quando x = 2, o elemento (2,5) pertence a C, assim prova-se que o conjunto C é um conjunto não vazio.</p><p>Seja um número real k = 2.</p><p>Se u = (2, 5), então 2u = (2.2, 5.2) = (4, 10) = v.</p><p>Mas v (4, 10) ≠ (x,5) para todo x. Portanto, v não pertence ao conjunto C.</p><p>Desta forma, a operação de multiplicação por real não é fechada para o conjunto C. Então, C não é espaço vetorial.</p><p>Pode-se também verificar que a operação de adição igualmente não é fechada para o conjunto C.</p><p>Se u = (2, 5) e v = (3, 5), ambos pertencem a C. Mas u + v = (2 + 3, 5 + 5) = (5, 10) não pertencerá a C.</p><p>2. Seja o conjunto M composto de todas as Matrizes 2 x 2 com elementos reais. Verifique se o conjunto C é um espaço vetorial.</p><p>SOLUÇÃO</p><p>Para ser espaço vetorial, deve ser um conjunto não vazio de elementos que atende a duas operações básicas.</p><p>Seja m ={</p><p>x y</p><p>z w</p><p>} o elemento do conjunto M, onde x, y, z e w são reais.</p><p>Fazendo x = y = z = w = 1 tem-se o elemento m =[</p><p>1 1</p><p>1 1</p><p>] que pelo menos um elemento existe no conjunto m, portanto ele não é vazio.</p><p>Vamos supor k real.</p><p>Ao multiplicarmos uma matriz por um número real, multiplica-se cada elemento da matriz por este número. Assim n = k × m = [</p><p>kx ky</p><p>kz kw</p><p>].</p><p>Mas kx, ky, kz e kw são número reais, portanto, n também é um elemento do conjunto M demostrando que a operação de multiplicação por</p><p>real é fechada no conjunto M.</p><p>Sejam m = [</p><p>x y</p><p>z w</p><p>] e n = [</p><p>a b</p><p>d c</p><p>] dois elementos de M e p = m + n.</p><p>Ao somarmos duas matrizes, somamos elemento a elemento, assim:</p><p>p = m + n = [</p><p>x+a y+b</p><p>z+d w+c</p><p>]</p><p>Como x + a, y + b, z + d e w + c são número reais, então p pertence a M, demonstrando também que a operação da adição é fechada para o</p><p>conjunto M.</p><p>Desta forma, verifica-se que o conjunto M é um espaço vetorial.</p><p>VETORES E OPERAÇÕES BÁSICAS</p><p>Existem dois tipos de grandeza: escalares e vetoriais.</p><p>GRANDEZA ESCALAR</p><p>A grandeza escalar é um ente matemático definido completamente pelo seu valor (magnitude, módulo, valor ou amplitude). A temperatura de</p><p>uma sala ou a massa de um objeto são exemplos de grandezas escalares.</p><p></p><p>GRANDEZA VETORIAL</p><p>A grandeza vetorial, denominada de vetor, é um ente matemático que, para ser definido completamente, necessita, além da sua magnitude</p><p>(módulo, valor ou amplitude), da definição da direção e do sentido. A velocidade de um carro ou a força atuante em um objeto são exemplos</p><p>de grandeza vetorial.</p><p>O vetor é amplamente utilizado na Geometria Analítica e na Álgebra Linear e será o objeto (elemento) do espaço vetorial Rn, definido no item</p><p>anterior. O vetor será representado pelos seus componentes.</p><p> ATENÇÃO</p><p>Assim sendo, um vetor de Rn será definido por n componentes reais, representado por (x1, x2, ..., xn). Cada componente real xi representa</p><p>um tamanho da projeção do vetor na i-ésima dimensão. A combinação das n-componentes do vetor irá definir a orientação deste, dentro do</p><p>espaço vetorial Rn.</p><p>Para nosso caso particular do R² e R³ podemos dar uma definição geométrica para o vetor através de um segmento de reta orientado.</p><p>Seja o seguimento orientado de reta (AB→ ), no plano ou no espaço, que seria um segmento de reta que apresenta um sentido definido.</p><p>O ponto A é denominado de origem ou ponto inicial. O ponto B é chamado de extremidade ou ponto final. Este segmento orientado é definido</p><p>pelo seu módulo (tamanho), direção e sentido.</p><p>SE DOIS SEGMENTOS ORIENTADOS TIVEREM MÓDULOS, DIREÇÕES E SENTIDOS IGUAIS SERÃO SEGMENTOS</p><p>EQUIPOLENTES OU EQUIVALENTES.</p><p>Fonte:Autor</p><p> IMPORTANTE!</p><p>O conjunto de todos os segmentos orientados equivalentes é denominado de vetor. Assim, vetor será representado geometricamente por um</p><p>segmento orientado que apresenta um módulo, uma direção e um sentido determinado.</p><p>O vetor será representado por vetor v→ ou pelos dois pontos que são suas extremidades na ordem do seu sentido, vetor .</p><p>Dessa forma, os vetores AB→ e BA→ são dois vetores diferentes. Eles terão mesmo módulo, mesma direção, mas sentidos opostos.</p><p>−−→</p><p>AB :</p><p>⎧⎪</p><p>⎨</p><p>⎪⎩</p><p>Direção :  Reta Δ</p><p>Sentido :  A para B</p><p>Módulo :  Medida de ̄ ¯̄¯̄¯AB</p><p>−−→</p><p>AB</p><p>OPERAÇÕES BÁSICAS</p><p>Como já visto, os vetores são objetos do espaço vetorial. Logo, podemos definir algumas operações básicas contidas no espaço vetorial:</p><p>1- IGUALDADE ENTRE VETORES</p><p>Sejam u→ = (x1, x2, ..., xn) e v→ = (y1, y2, ..., yn) vetores do Rn.</p><p>Assim u→ = v→ ↔ x1 = y1, x2 = y2, ..., xn = yn, para todo i = 1, 2, ..., n</p><p>2 - ADIÇÃO ENTRE VETORES</p><p>Sejam u→ = (x1, x2, ..., xn) e v→ = (y1, y2, ..., yn) dois vetores pertencentes ao Rn.</p><p>Se w→ = u→ + v→ → (w1, w2, ..., wn) = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn) , para todo i = 1, 2, ..., n</p><p>w também pertence ao Rn.</p><p>3 - MULTIPLICAÇÃO POR NÚMERO REAL</p><p>Seja u→ = (x1, x2, ..., xn) vetor do Rn e k um número real.</p><p>Se w→ = ku→ → (w1, w2, ..., wn) = (kx1, kx2, ..., kxn) para todo i = 1, 2, ..., n</p><p>w também pertence ao Rn.</p><p>Algumas propriedades podem ser definidas através da adição e multiplicação por um número real k:</p><p>Associativa na Adição: w→ + u→ + v→ = w→ + ( u→ + v→ ) = ( w→ + u→ ) + v→</p><p>Comutativa: u→ + v→ = v→ + u→</p><p>Existência do Elemento Neutro na Adição (0, denominado de elemento nulo): u→ + 0 = u→</p><p>Existência do Elemento Oposto na Adição: u→ + (−u→ ) = 0</p><p>Distributiva por Vetor: k→ ( u→ + v→ = ku→ + kv→</p><p>Distributiva por Escalar: ( k + h ) u→ = ku→ + hu→</p><p>Associativa na Multiplicação por Real: (kh)u→ = k(hu→ ) = h(ku→ )</p><p>Existência do Elemento Neutro na Multiplicação (1, denominado de elemento unitário): 1u→ = u→</p><p> IMPORTANTE!</p><p>Para realizar a subtração de dois vetores u→ − v→ , seria semelhante a multiplicar o vetor v→ por −1 e somar ao vetor u→</p><p>EXEMPLO</p><p>1. Determine o valor de b e d para que os vetores u→ ( 4, b + d, 0, 1) e v→ ( 4 , 5 , 0, b − d) sejam iguais.</p><p>SOLUÇÃO</p><p>Para que dois vetores sejam iguais, todos os seus elementos devem ser iguais.</p><p>Assim: {</p><p>b + d = 5</p><p>b − d = 1</p><p>Resolvendo o sistema, através da segunda equação tem-se b = 1 + d</p><p>Substituindo na primeira, 1 + d + d = 5 → 2d = 5 − 1 = 4 → d = 2</p><p>Então, b = 1 + d = 1 + 2 = 3</p><p> ATENÇÃO!</p><p>Este exercício só foi possível porque o primeiro componente, que vale 4, e o terceiro, que vale 0, eram iguais nos dois vetores. Se um dos</p><p>dois fosse diferente, o exercício seria impossível.</p><p>TEORIA NA PRÁTICA</p><p>Em uma determinada região do espaço, um avião tem velocidade, em km/h, dada por vetor v1→ (100, b, 300). Um segundo avião apresenta</p><p>uma velocidade, em km/h, dada por v2→ (50+a, 80, 300). Determine o valor de a + b para que os aviões tenham a mesma velocidade.</p><p> Clique no botão para ver as informações.</p><p>SOLUÇÃO</p><p>No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.</p><p>MÃO NA MASSA</p><p>1. UM CONJUNTO B É UM ESPAÇO VETORIAL. MARQUE A ALTERNATIVA QUE NÃO ESTÁ CORRETA EM</p><p>RELAÇÃO AO CONJUNTO B.</p><p>A) Tem pelo menos um elemento.</p><p>B) É fechado em relação à operação de adição.</p><p>C) Se u e v pertencem a V então u - v pode não pertencer a V.</p><p>D) Se u pertence a V e k é um número real, então ku pertence a V.</p><p>2. SEJAM OS VETORES U→ (2, 3, 0, −1, 1) E V→ (−1, 2, 1, 3, 0). DETERMINE O VALOR DE W→ = 2V→ − U→</p><p>A) (−4, 1, 2, 7, −1)</p><p>B) (4, 2, 1, 6, 0)</p><p>C) (2, 3, 2, −1, 1)</p><p>D) (0, 2, 7, 1, 1)</p><p>3. A FORÇA F→ = (10, X + Y) AGE EM UM OBJETO. ESTE OBJETO DE MASSA (M) DE 1KG ADQUIRE UMA</p><p>ACELERAÇÃO IGUAL À A→ = (2X − Y, 5). SABENDO QUE F→ = MA→ , DETERMINE O VALOR DE X E Y</p><p>RESPECTIVAMENTE.</p><p>A) 5 e 0</p><p>B) 0 e 5</p><p>C) 10 e 15</p><p>D) 2 e 4</p><p>4. SEJAM OS VETORES U→ (A, B), V→ (B, A) E W→ (2 − 2B, 0) COM A E B NÚMEROS REAIS. DETERMINE A E B</p><p>RESPECTIVAMENTE, SABENDO QUE 3(U→ + V→ ) + W→ = 0</p><p>A) 0 e 0</p><p>B) −1 e 1</p><p>C) 1 e −1</p><p>D) 0 e 1</p><p>5. QUATRO VETORES DO R³, U→ (A, A+B, A−C), V→ (1, C, −B), W→ (1, 0, 2C + B) E M→ (B, 8, 5), COM A E B REAIS,</p><p>SATISFAZEM A SEGUINTE EQUAÇÃO: U→ − 3V→ = 2W→ + M→ . DETERMINE O VALOR DE A + B + C.</p><p>A) 12</p><p>B) 13</p><p>C) 14</p><p>D) 15</p><p>6. SEJAM OS VETORES U→ (A, B, C), V→ (B, A, C) E W→ (2B, 0, B+C), COM A, B E C NÚMEROS REAIS.</p><p>DETERMINE A SOMA DE A + B + C, SABENDO QUE O VETOR M→ = 2U→ + 3V→ − 2W→ É EQUIVALENTE AO</p><p>VETOR (2, 3, 3).</p><p>A) 1</p><p>B) 2</p><p>C) 3</p><p>D) 4</p><p>GABARITO</p><p>1. Um conjunto B é um espaço vetorial. Marque a alternativa que NÃO está correta em relação ao conjunto B.</p><p>A alternativa "C " está correta.</p><p>Parabéns! Você entendeu o conceito de espaço vetorial</p><p>Se o conjunto B é um espaço vetorial, então consiste em um conjunto, não vazio, de elementos (objetos) que atendem a operações da adição</p><p>e de multiplicação por um número real.</p><p>Assim, a letra A, B e D são verdadeiras</p><p>Em relação à letra C , u − v é uma operação de multiplicar um elemento por −1 e depois somar dois elementos do conjunto, logo,</p><p>obrigatoriamente, este resultado pertence ao conjunto B. Esta afirmativa é verdadeira.</p><p>2. Sejam os vetores u→ (2, 3, 0, −1, 1) e v→ (−1, 2, 1, 3, 0). Determine o valor de w→ = 2v→ − u→</p><p>A alternativa "A " está correta.</p><p>Parabéns! Você entendeu a operação de vetores.</p><p>w→ (x, y, z, m, n) = 2v→ − u→ = (−1×2, 2×2, 1×2, 3×2, 0×2) × (2, 3, 0, −1, 1)</p><p>Assim,</p><p>x = −2 − 2 = −4</p><p>y = 4 − 3 = 1</p><p>z = 2 − 0 = 2</p><p>m = 6 − (−1) = 7</p><p>n = 0 − 1 = −1</p><p>Portanto,</p><p>w→ (−4, 1, 2, 7, −1)</p><p>3. A força F→ = (10, x + y) age em um objeto. Este objeto de massa (m) de 1kg adquire uma aceleração igual à a→ = (2x − y, 5). Sabendo</p><p>que F→ = ma→ , determine o valor de x e y respectivamente.</p><p>A alternativa "A " está correta.</p><p>No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.</p><p>4. Sejam os vetores u→ (a, b), v→ (b, a) e w→ (2 − 2b, 0) com a e b números reais. Determine a e b respectivamente, sabendo que 3(u→ + v→</p><p>) + w→ = 0</p><p>A alternativa "B " está correta.</p><p>Parabéns! Você entendeu a operação de vetores.</p><p>Usando as propriedades vistas:</p><p>3(u→ + v→ ) + w→ = 0 → 3u→ + 3v→ + w→ = 0</p><p>Usando as operações vetoriais e sabendo que 0 é representado por (0,0):</p><p>Assim, substituindo a segunda questão na primeira se tem</p><p>3a→ − a = −2 → a = −1</p><p>b→ = −a → b = 1</p><p>5. Quatro vetores do R³, u→ (a, a+b, a−c), v→ (1, c, −b), w→ (1, 0, 2c + b) e m→ (b, 8, 5), com a e b reais, satisfazem a seguinte equação: u→</p><p>− 3v→ = 2w→ + m→ . Determine o valor de a + b + c.</p><p>A alternativa "C " está correta.</p><p>No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.</p><p>6. Sejam os vetores u→ (a, b, c), v→ (b, a, c) e w→ (2b, 0, b+c), com a, b e c números reais. Determine a soma de a + b + c, sabendo que o</p><p>vetor m→ = 2u→ + 3v→ − 2w→ é equivalente ao vetor (2, 3, 3).</p><p>A alternativa "B " está correta.</p><p>Parabéns! Você entendeu a operação de vetores.</p><p>Usando as propriedades vistas, se o vetor m→ é equivalente ao vetor (2, 3, 3), eles terão as mesmas coordenadas.</p><p>Usando as operações vetoriais para se obter as coordenadas do vetor m→ = 2u→ + 3v→ − 2w→</p><p>Igualando ao vetor (2, 3, 3)</p><p>Multiplicando a primeira equação por 2: 4a−2b=4, somando a segunda equação</p><p>4a + 3a = 4 + 3 → 7a = 7 → a = 1 e b = 2a − 2 = 2 − 2 = 0</p><p>Substituindo na terceira equação 3c = 3 + 2b = 3 + 0 = 3 &rightarrow c = 1</p><p>Assim,</p><p>a + b + c = 2</p><p>VERIFICANDO O APRENDIZADO</p><p>1. SEJA O VETOR M→ 1(150, A+B, 100) E O VETOR M→ 2(150, 450, A−B). DETERMINE O VALOR DE 2A − B, ONDE</p><p>A E B SÃO NÚMEROS REAIS, PARA QUE M→ 1 E M→ 2.</p><p>A) 175</p><p>B) 215</p><p>C) 375</p><p>D) 470</p><p>2. SEJAM OS VETORES U, V E W ELEMENTOS DO ESPAÇO VETORIAL R4. SABE-SE QUE 2U − 3V + W É</p><p>EQUIVALENTE AO ELEMENTO NULO. DEFINIMOS U(0, 1, A, B + C), V(1, B, 2, B − C) E W(3 , − 13A, 8C, 0), COM</p><p>A, B E C NÚMEROS REAIS. DETERMINE O VALOR DE A + B + C.</p><p>A) 1</p><p>B) 3</p><p>C) 5</p><p>D) impossível, 2u - 3v + w = 0</p><p>GABARITO</p><p>1. Seja o vetor m→ 1(150, a+b, 100) e o vetor m→ 2(150, 450, a−b). Determine o valor de 2a − b, onde a e b são números reais, para que</p><p>m→ 1 e m→ 2.</p><p>A alternativa "C " está correta.</p><p>Parabéns! Você entendeu a operação de vetores.</p><p>Para que m→ 1 = m→ 2, as componentes devem ser iguais nas três dimensões.</p><p>Assim a + b = 450 e a − b = 100</p><p>Somando as duas equações 2a = 550 → a = 275</p><p>Então, b = 450 − a = 450 − 275 = 175</p><p>Assim, 2a − b = 550 − 175 = 375</p><p>2. Sejam os vetores u, v e w elementos do espaço vetorial R4. Sabe-se que 2u − 3v + w é equivalente ao elemento nulo. Definimos</p><p>u(0, 1, a, b + c), v(1, b, 2, b − c) e w(3 , − 13a, 8c, 0), com a, b e c números reais. Determine o valor de a + b + c.</p><p>A alternativa "C " está correta.</p><p>Parabéns! Você entendeu a operação e propriedades dos vetores.</p><p>Para que v→ 1 = m→ 2, as componentes devem ser iguais nas três dimensões.</p><p>2u − 3v + w = 0</p><p>Assim:</p><p>2×0 − 3×1 + 3 = 0 → 0 = 0 (ok, se aqui desse algo diferente disso a resposta seria impossível)</p><p>2×1 − 3×b − 13×a = 0 → 3b + 13a = 2</p><p>2×a − 3×2 + 8×c = 0 → 2a + 8c = 6</p><p>2×(b+c) − 3×(b−c) + 0 = 0 → 2b + 2c − 3b + 3c = 0 → 5c − b = 0 → b = 5c</p><p>Substituindo a quarta equação na segunda se tem:</p><p>3×5c + 13a = 2 → 15c + 13a = 2</p><p>Mas na terceira equação:</p><p>2a = 6 − 8c → a = 3 − 4c</p><p>Substituindo na anterior:</p><p>15c + 13×(3−4c) = 2 → 15c + 39 − 52c = 2 → 37c = 37 → c = 1</p><p>Se</p><p>c = 1 → a = 3 − 4×1 = 3 − 4 = −1</p><p>E</p><p>b = 5c = 5×1 = 5</p><p>Portanto</p><p>a + b + c = −1 + 5 + 1 = 5</p><p> Identificar o conceito de vetor no plano e no espaço.</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>NAS APLICAÇÕES DA GEOMETRIA ANALÍTICA, UTILIZA-SE UMA INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA, ALÉM DO CÁLCULO</p><p>ANALÍTICO. ASSIM, PARA SE TRABALHAR NO PLANO OU NO ESPAÇO, USA-SE</p><p>OS ESPAÇOS VETORIAIS R² E R³.</p><p>Os vetores, sujeitos às mesmas operações descritas no módulo anterior, terão neste caso uma representação por segmento orientado de reta</p><p>e necessitarão de referências para serem definidos. Dessa forma, será apresentado o sistema cartesiano como um sistema de representação</p><p>e referência para nossos estudos.</p><p>Por fim, a definição de direções e sentidos é importante em várias aplicações, sendo necessária, portanto, a definição de vetores unitários</p><p>que terão este objetivo.</p><p>VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO</p><p>Como já visto no módulo anterior, a representação geométrica de um vetor será um segmento orientado de reta. Desse modo, torna-se</p><p>necessário definir direções e sentidos, isto é, definir referências. Estas referências devem ser tanto para posição quanto para direção/sentido.</p><p>Por isso, vamos adotar o sistema cartesiano para referenciarmos o espaço vetorial R² e R³.</p><p>No caso do R³, serão utilizados três eixos ortogonais, x, y e z, com valores reais, para referenciar as três dimensões. Qualquer</p><p>direção/sentido no espaço pode ser definida por três direções ortogonais. A origem do sistema será definida no cruzamento dos eixos, ponto</p><p>0. O eixo x é denominado de abscissa, o eixo y de ordenada e o eixo z de cota. A seta de cada eixo define o sentido positivo de cada</p><p>direção de referência.</p><p>Fonte:Autor</p><p>No caso do R², serão utilizados apenas dois eixos ortogonais, x e y, com valores reais, para referenciar as suas duas dimensões. Qualquer</p><p>direção/sentido no plano pode ser definida por duas direções ortogonais.</p><p> ATENÇÃO</p><p>Antes de definirmos como representar um vetor no plano ou no espaço, necessitamos definir a representação de um ponto nestas regiões.</p><p>Um ponto P do R³ será representado por 3 componentes, que denominaremos de coordenadas. Cada coordenada representa as distâncias</p><p>que o ponto tem em relação aos três planos que definem o espaço.</p><p>Seja o Ponto P (X, Y, Z), com X, Y e Z números reais. X representa a distância de P ao plano YZ, Y a distância de P ao plano XZ e Z a</p><p>distância de P ao plano XY.</p><p>Se o ponto estiver do lado oposto do plano, antes da origem, os sinais serão negativos.</p><p>Na figura ao lado estão representados os pontos</p><p>P (1, 2, 2), Q (−1, −2, 1), R (1 , 2, −2) e S (1, −2, −2).</p><p>A origem dos eixos será representada por O (0, 0, 0)..</p><p>Fonte:Autor</p><p>O R² é um caso particular do R³, assim, os pontos no R² apresentam apenas valores para abscissa e ordenada, ou seja, P(X,Y).</p><p>Para representarmos um vetor, é preciso conhecer a sua projeção nas três direções representadas pelos eixos que definem o sistema de</p><p>coordenadas. Veja a figura, o vetor v→ projetado na direção do eixo x apresenta um tamanho vx, na direção do eixo y apresenta um tamanho</p><p>vy e na direção do eixo z um tamanho vz.</p><p>Fonte:Autor</p><p>Caso a projeção em relação a um dos eixos seja contrária ao sentido positivo do eixo, o sinal da coordenada será negativo. Portanto, o vetor</p><p>v→ terá coordenadas (vx, vy , vz) , em que vx, vy e vz são número reais. No caso do R², caso particular do R³, o vetor não terá a componente</p><p>vz.</p><p>Podemos representar, também, as coordenadas de um vetor através de uma matriz coluna, ou seja, v→ = (</p><p>vx</p><p>vy</p><p>vz</p><p>)</p><p>Na figura a seguir temos a representação, no plano, dos vetores v→ (3, 1), w→ (−1, 1) e u→ (1, −3).</p><p>Fonte:Autor</p><p>Podemos observar que os segmentos OP→ e AB→ apresentam o mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido, sendo representações,</p><p>portanto, do mesmo vetor v→ . Por isso, terão as mesmas coordenadas (3, 1).</p><p> IMPORTANTE!</p><p>A notação de Grassmann nos mostra que as coordenadas de um vetor podem ser obtidas com as coordenadas dos seus pontos extremos,</p><p>isto é, sua origem e sua extremidade.</p><p>Assim, AB→ = B − A</p><p>Se a origem do vetor for a origem dos eixos coordenados O(0, 0, 0), a coordenada do vetor será igual à coordenada de sua extremidade.</p><p>Logo, OP→ = P − O = P</p><p>HERMANN GRASSMANN (1809-1877)</p><p>Matemático e físico alemão responsável pela criação da Álgebra Linear.</p><p>EXEMPLO</p><p>1. Represente no sistema cartesiano os pontos P(1, 2), Q(−1, 2) e R(1, −1)</p><p>SOLUÇÃO</p><p>javascript:void(0)</p><p>Fonte:Autor</p><p>2. Represente no sistema cartesiano os vetores:</p><p>a) v→ (1, 0) com ponto inicial no ponto (1, 2);</p><p>b) w→ (0, −2) com ponto inicial no ponto (1, 0);</p><p>c) u→ (1, −1) com ponto inicial no ponto −1, 2).</p><p>SOLUÇÃO</p><p>Fonte:Autor</p><p>3. Determine as coordenadas do vetor u→ que tem origem no ponto A(2, 3, −1) e extremidade no ponto B(0, 2, 1). Determine também o vetor</p><p>v→ = −u→ .</p><p>SOLUÇÃO</p><p>Usando a notação de Grassmann:</p><p>u→ = AB→ = B − A = ( 0 − 2, 2 − 3, 1 − (− 1)) = ( −2, −1, 2)</p><p>v→ = −u→ = BA→ = A − B = ( 2 − 0, 3 − 2, −1 −1) = ( 2, 1, −2)</p><p>Como v→ = −u→ poderia também se usar a propriedade de multiplicação por real.</p><p>MÓDULO OU NORMA DE UM VETOR</p><p>DENOMINAMOS O TAMANHO DE UM VETOR POR MÓDULO OU NORMA. O MÓDULO DO VETOR V→ SERÁ</p><p>REPRESENTADO POR</p><p>| V→ | OU V</p><p>Observe a figura do item anterior, que apresenta as componentes do vetor. O módulo do vetor será dado pelo tamanho do segmento OP,</p><p>assim v→ será representado por | v→ | = OP.</p><p>Fonte:Autor</p><p>Ao aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo OPQ e verificar que o tamanho de PQ é a componente z do vetor v→ , isto é, vz tem-se que</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Aplicando agora o Teorema de Pitágoras no triângulo OQR, obtém-se.</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>O tamanho de OR será a componente x do vetor v→ , isto é, vx e o tamanho de QR será igual ao tamanho de OS que é a componente y do</p><p>vetor v→ , isto é, vy.</p><p>Desta forma:</p><p>Obtendo-se, assim, a fórmula que determina o módulo ou norma através das componentes do vetor:</p><p>EXEMPLO</p><p>Determine o módulo dos vetores u→ (0, −3, 4) e v→ (−2, 1, √3):</p><p>SOLUÇÃO</p><p>SAIBA MAIS</p><p>Seja um triângulo ABC</p><p>Fonte:Autor</p><p>Na Geometria existe um teorema que diz que o comprimento de um dos lados é sempre menor do que a soma dos outros dois lados. Repare</p><p>que, se um dos lados fosse a soma dos outros, não haveria um triângulo formado.</p><p>Se u→ = AB→ e v→ = BC→ , então AC será a soma dos dois vetores: u→ + v→ = AC→</p><p>Dessa forma, os lados dos triângulos serão os módulos dos vetores |u→ |, |v→ | e |u→ + v→ |. Usando o mesmo teorema da Geometria,</p><p>obtemos |u→ + v→ | ≤ |u→ | + |v→ |, que é denominada de Desigualdade Triangular.</p><p>Desta desigualdade podemos definir outras:</p><p>a) Se substituirmos v→ por −v→</p><p>|u→ + v→ | ≤ |u→ | + |v→ |</p><p>|u→ − v→ | ≤ |u→ | + |−v→ |</p><p>Então</p><p>|u→ − v→ | ≤ |u→ | + |v→ |</p><p>b) Se substituirmos o vetor u→ por u→ − v→</p><p>|u→ + v→ | ≤ |u→ | + |v→ |</p><p>|u→ − v→ + v→ | ≤ |u→ − v→ | + |v→ |</p><p>|u→ | ≤ |u→ − v→ | + |v→ |</p><p>|u→ − v→ | ≥ |u→ | − |v→ |</p><p>OPERAÇÕES BÁSICAS NO PLANO OU NO ESPAÇO</p><p>Retornando às operações básicas dos vetores, vistas no módulo anterior, vamos agora aplicá-las para o caso do R² e R³. Assim, temos:</p><p>MULTIPLICAÇÃO POR NÚMERO REAL</p><p>Seja u→ (xu, yu, zu) e w→ (xw, yw, zw) = ku→ , onde k é o número real.</p><p>Então: {</p><p>xw = kxw</p><p>yw = kyw, k real</p><p>zw = kzw</p><p>Fonte:Autor</p><p>A multiplicação por um número real positivo tem como resultado um vetor de mesma direção, mesmo sentido e de tamanho alterado para k</p><p>vezes o módulo do vetor original. Caso o k seja negativo, o vetor altera também o sentido. Se |k| > 1, o novo vetor aumenta em relação ao</p><p>anterior, porém, se |k| < 1, ocorre uma redução do tamanho.</p><p>ADIÇÃO ENTRE VETORES</p><p>Seja u→ (xu, yu, zu), v→ (xv, yv, zv) e w→ (xw, yw, zw) = u→ + v→</p><p>Então: {</p><p>xw = xu + xv</p><p>yw = yu + yv</p><p>zw = zu + zv</p><p>Se w→ (xw, yw, zw) = u→ − v→ , seria semelhante a multiplicar o vetor v→ por -1 e somar ao vetor u→</p><p>Então: {</p><p>xw = xu − xv</p><p>yw = yu − yv</p><p>zw = zu − zv</p><p>Geometricamente, podemos representar a soma e a subtração de vetores, no plano ou no espaço, pela regra do paralelogramo.</p><p>Fonte:Autor</p><p>Pode-se usar a Lei de Cossenos para calcular o módulo da soma dos vetores, u→ + v→ = QS→ , e da diferença dos vetores, u→ − v→ =</p><p>RP→ .</p><p>EXEMPLO</p><p>1. Determine o módulo do vetor w→ = 2u→ + v→ , sendo u→ (1 ,2 , −1) e v→ (0 ,1 ,3).</p><p>SOLUÇÃO</p><p>w→ = 2u→ + v→ = (2×1 + 0, 2×2</p><p>+ 1, 2(−1) + 3) = (2, 5, 1)</p><p>Assim,</p><p>VERSOR DE UM VETOR</p><p>ÀS VEZES TORNA-SE NECESSÁRIO DEFINIR-SE UM VETOR UNITÁRIO EM UMA DETERMINADA DIREÇÃO E SENTIDO.</p><p>ESTE VETOR UNITÁRIO É CONHECIDO POR VERSOR.</p><p>Um vetor v→ pode ser representado pela forma AB→ = |v→ |, isto é, seu módulo multiplicado pelo versor que define a sua direção e sentido.</p><p>Por exemplo, imagine que eu queira um vetor w→ que tenha a mesma direção e sentido do que o vetor v→ , mas que tenha módulo k. Se eu</p><p>definir w→ = k v→ estaria errado, pois |w→ | = k |v→ |, e o módulo de w→ só seria k se o módulo de v→ fosse unitário.</p><p>Preciso, portanto, definir o vetor unitário que tenha a direção e o sentido do vetor v→ , com notação v→ ou v^ , que é denominado de versor:</p><p>v^ =</p><p>v^</p><p>v^</p><p>Como</p><p>1</p><p>v</p><p>é uma constante positiva, v^ terá a mesma direção e sentido do que v→ , mas com módulo v^ =</p><p>v^</p><p>v^</p><p>= 1</p><p>Retornando ao nosso exemplo, o correto, então, é definir que w→ = kv^ , pois |w→ | = k|v^ | = k. Agora, sim, ele teria a mesma direção e</p><p>sentido do que v^ , que são os mesmos do que v→ e módulo k.</p><p> ATENÇÃO!</p><p>Uma aplicação direta do versor é a definição dos vetores unitários canônicos que definem as direções e sentidos do sistema cartesiano.</p><p>Desse modo, a direção de x é definida pelo vetor x^ = (1, 0, 0), a direção de y por w^ = (0, 1, 0) e a direção de z por z^ = (0, 0, 1). No caso do</p><p>plano, haveria os vetores x^ = (1, 0) e y^ = (0, 1).</p><p>Qualquer vetor pode ser representado através dos vetores unitários canônicos, pois podemos considerar um vetor como sendo a soma de</p><p>três vetores ortogonais.</p><p>Seja v→ = (xv, yv, zv), vamos definir os vetores v→ x = (xv, 0, 0), v→ y = (0, yv, 0) e v→ z = (0, 0, zv), assim, v→ = v→ x + v→ y + v→ z</p><p>Mas, podemos definir estes vetores através dos vetores unitários</p><p>EXEMPLO</p><p>1. Determine o versor do vetor u→ (3, 0, -4):</p><p>SOLUÇÃO</p><p>TEORIA NA PRÁTICA</p><p>Uma caixa de 2√2kg de massa percorre um piso liso com uma aceleração de 2m/s². A direção e o sentido do movimento são definidos pelo</p><p>vetor unitário</p><p>√2</p><p>2</p><p>, −</p><p>√2</p><p>2</p><p>, a força que gera o movimento tem vetor representado por F→ (a, b), com a real. Determine o valor de a e b.</p><p> Clique no botão para ver as informações.</p><p>SOLUÇÃO</p><p>No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.</p><p>MÃO NA MASSA</p><p>1. O VETOR U→ TEM ORIGEM NO PONTO D (4, 6, −2) E EXTREMIDADE NO PONTO C (2, 0, 1). DETERMINE O</p><p>VETOR V→ = −U→ .</p><p>A) (−2, −6, 3))</p><p>B) (0, 6, 3)</p><p>C) (2, 6, −3)</p><p>D) (6, 1, −3)</p><p>2. DETERMINE O MÓDULO DO VETOR (2, 4, −5).</p><p>A) 3√5</p><p>B) 45</p><p>C) 1</p><p>D) 5√3</p><p>3. SEJA Û O VERSOR DO VETOR U→ (3, 0, −4). DETERMINE AS COORDENADAS DO VETOR Û .</p><p>A) (3, 0, −4)</p><p>B) (3/5, 1/5, 4/5)</p><p>C) (3/5, 0, −4/5)</p><p>D) (−3/5, 0, 4/5)</p><p>4. DETERMINE O VETOR W→ QUE TEM MÓDULO 6 E TEM A MESMA DIREÇÃO E SENTIDO DO VETOR U→ = 2X̂ −</p><p>Ŷ + Ẑ .</p><p>A) (−2√6, √6, −√6)</p><p>B) (2√6, √6, −√6)</p><p>C) (−2√6, √6, √6)</p><p>D) (2√6, −√6, √6)</p><p>5. DETERMINE O MÓDULO DA DIFERENÇA DE V→ POR U→ . SABE-SE QUE O MÓDULO DE U→ VALE 5 E O</p><p>MÓDULO DE V→ VALE 12. OS DOIS VETORES SÃO ORTOGONAIS.</p><p>A) 12</p><p>B) 15</p><p>C) 13</p><p>D) 10</p><p>6. DETERMINE O MÓDULO DA DIFERENÇA DE U→ POR V→ . SABE-SE QUE O MÓDULO DE U→ VALE 3 , O</p><p>MÓDULO V→ VALE 4 E O ÂNGULO FORMADO POR ELES VALE 60O.</p><p>A) √15</p><p>B) √13</p><p>C) √17</p><p>D) √11</p><p>GABARITO</p><p>1. O vetor u→ tem origem no ponto D (4, 6, −2) e extremidade no ponto C (2, 0, 1). Determine o vetor v→ = −u→ .</p><p>A alternativa "C " está correta.</p><p>Parabéns! Você entendeu o conceito de vetores no plano e espaço.</p><p>u→ = DC→ = C − D = (2 − 4, 0 − 6, 1 − (−2)) = (−2, −6, 3) → v→ = −u→ = (2, 6, −3)</p><p>Outra forma de fazer é que como</p><p>v→ = −u→ = CD→ = D − C = (4 − 2, 6 − 0, −2 − 1) = (2, 6, −3)</p><p>2. Determine o módulo do vetor (2, 4, −5).</p><p>A alternativa "A " está correta.</p><p>Parabéns! Você entendeu o conceito de módulo ou norma de um vetor.</p><p>Se v→ (2, 4, −5)</p><p>3. Seja û o versor do vetor u→ (3, 0, −4). Determine as coordenadas do vetor û .</p><p>A alternativa "C " está correta.</p><p>No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.</p><p>4. Determine o vetor w→ que tem módulo 6 e tem a mesma direção e sentido do vetor u→ = 2x̂ − ŷ + ẑ .</p><p>A alternativa "D " está correta.</p><p>Parabéns! Você entendeu o conceito de versor de um vetor.</p><p>5. Determine o módulo da diferença de v→ por u→ . Sabe-se que o módulo de u→ vale 5 e o módulo de v→ vale 12. Os dois vetores são</p><p>ortogonais.</p><p>A alternativa "C " está correta.</p><p>No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.</p><p>6. Determine o módulo da diferença de u→ por v→ . Sabe-se que o módulo de u→ vale 3 , o módulo v→ vale 4 e o ângulo formado por eles</p><p>vale 60o.</p><p>A alternativa "B " está correta.</p><p>Parabéns! Você entendeu o conceito de módulo ou norma de um vetor.</p><p>Usando a Lei dos cossenos</p><p>Assim, |u→ | + |v→ | = √37</p><p>Assim, |u→ | − |v→ | = √13</p><p>VERIFICANDO O APRENDIZADO</p><p>1. DETERMINE O MÓDULO DO VETOR U→ QUE TEM ORIGEM NO PONTO A(−2, 4, 1) E EXTREMIDADE NA</p><p>ORIGEM DOS EIXOS.</p><p>A) 21</p><p>B) √21</p><p>C) 3</p><p>D) √3</p><p>2. O VETOR W→ (0, 2A, 2B), COM A E B REAIS POSITIVOS, TEM MÓDULO 10 E APRESENTA A MESMA</p><p>DIREÇÃO E SENTIDO DO QUE O VETOR V→ . DETERMINE O VALOR DE (A + B), SABENDO QUE O VETOR V→</p><p>(0, P, 4) TÊM MÓDULO 5.</p><p>A) 1</p><p>B) 7</p><p>C) 9</p><p>D) 11</p><p>GABARITO</p><p>1. Determine o módulo do vetor u→ que tem origem no ponto A(−2, 4, 1) e extremidade na origem dos eixos.</p><p>A alternativa "B " está correta.</p><p>Parabéns! Você entendeu o conceito de vetores no plano e no espaço e módulo de um vetor.</p><p>u→ = AO→ = O − A = (2, −4, −1)</p><p>2. O vetor w→ (0, 2a, 2b), com a e b reais positivos, tem módulo 10 e apresenta a mesma direção e sentido do que o vetor v→ .</p><p>Determine o valor de (a + b), sabendo que o vetor v→ (0, p, 4) têm módulo 5.</p><p>A alternativa "B " está correta.</p><p>Parabéns! Você entendeu o conceito de módulo de um vetor.</p><p>w→ = 10v̂ = 10/5(0, ±3, 4) = (0, ±6, 8), mas como a e b são positivos, 2a = 6 e 2b = 8, então a = 3 e b = 4.</p><p>Assim, a + b = 7</p><p> Aplicar os produtos escalares, vetoriais e misto.</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>A operação matemática de multiplicação (produto) entre dois vetores não é definida. Em compensação, definimos três tipos de produtos entre</p><p>dois elementos vetoriais:</p><p>PRODUTO ESCALAR</p><p></p><p>PRODUTO VETORIAL</p><p></p><p>PRODUTO MISTO</p><p>Neste módulo, iremos definir estes produtos e apresentar algumas de suas aplicações.</p><p>PRODUTO ESCALAR OU PRODUTO INTERNO</p><p>Sejam os vetores v→ (xu, yu, zu) e v→ (xv, yv, zv) do R³.</p><p>Define-se o produto escalar entre u→ e v→ como:</p><p>u→ × v→ = xu xv + yu yv + zu zv</p><p>COMO FOI OBSERVADO, O PRODUTO ESCALAR TEM COMO RESULTADO UM ESCALAR, ISTO É, UM NÚMERO QUE</p><p>PODE SER POSITIVO, NEGATIVO OU ZERO. O PRODUTO ESCALAR PODE SER DEFINIDO PARA VETORES DO RN.</p><p>PARA N > 3, ESTA OPERAÇÃO SERÁ DENOMINADA APENAS DE PRODUTO INTERNO.</p><p>O produto escalar apresenta algumas propriedades:</p><p>COMUTATIVA MULTIPLICAÇÃO POR REAL DISTRIBUTIVA</p><p>u→ × v→ = v→ × u→ k(u→ × v→ ) = (ku→ × v→ ) = (u→ × kv→ ), onde k é real u→ × (v→ + w→ ) = u→ × v→ + u→ × w→</p><p> IMPORTANTE!</p><p>Repare que u→ × u→ = xu xu + yu yu = x²u + y²u = |u→ |²</p><p>Assim, |u→ |² = √(x²u + y²u) = √(u→ × u→ )</p><p>EXEMPLO</p><p>1. Dados os vetores u→ (2, 2) e v→ (− 1, 3), determine o produto escalar entre os vetores 3u→ e −v→ .</p><p>SOLUÇÃO</p><p>3u→ × (− v→ ) = (3)×(−1)×(u→ × v→ ) = (−3)×[2×(−1)+2×3] = (−3)[−2+6] = −12</p><p>PRODUTO VETORIAL OU PRODUTO EXTERNO</p><p>Sejam os vetores u→ (xu, yu, zu) e v→ (xv, yv, zv) do R³. Considere que o ângulo entre u→ e v→ vale α(alpha).</p><p>Define-se o produto vetorial entre u→ e v→ , com notação u→ × v→ , tal que:</p><p>direção u→ × v→ ortogonal a u→ e a v→</p><p>sentido: regra da mão direita</p><p>COMO O NOME INFORMA, O RESULTADO DO PRODUTO VETORIAL É UM VETOR QUE TEM DIREÇÃO</p><p>PERPENDICULAR AOS DOIS VETORES INICIAIS, SENDO, PORTANTO, UM VETOR PERPENDICULAR AO PLANO</p><p>FORMADO PELOS VETORES U→ E V→ .</p><p>Fonte:ShutterStock</p><p>A regra da mão direita permite identificarmos o sentido do vetor u→ × v→ .</p><p>Fonte:ShutterStock</p><p>Na regra da mão direita, o dedo indicador fica na direção/sentido do primeiro vetor do produto e o dedo médio do segundo vetor. Assim, v→ ×</p><p>u→ será apontado para baixo, diferente de u→ × v→ .</p><p>O produto vetorial, de forma diferente do produto</p><p>escalar, só é definido para o R³.</p><p> IMPORTANTE!</p><p>O vetor u→ × v→ ≠ v→ × u→ . Eles terão mesmo módulo e mesma direção, mas pela regra da mão direita, mudando a ordem de u→ e v→ ,</p><p>terão sentidos contrários.</p><p>O produto vetorial apresenta algumas propriedades</p><p>a) Multiplicação por real: k (u→ X v→ ) = (ku→ X v→ ) = (u→ X kv→ ), onde k é real</p><p>b) Distributiva pelo produto vetorial: u→ X (v→ + w→ ) = u→ X v→ + u→ X w→</p><p>c) Se v→ = ku→ , isto é, se v→ é paralelo a u→ : u→ X v→ = 0</p><p>d) u→ X u→ = 0</p><p>e) u→ X v→ = (u→ X v→ )</p><p>Seja w→ = u→ × v→ , ao se resolver analiticamente a busca do vetor w→ que atende às definições de produto vetorial, obtêm-se que:</p><p> DICA</p><p>O sistema acima pode ser representado pelo cálculo de um determinante:</p><p>EXEMPLO</p><p>1. Determine o vetor u→ × v→ , sabendo que u→ ( 1, 2, −1) e v→ (0, 1, −2)</p><p>SOLUÇÃO</p><p>Você pode aplicar diretamente as equações, mas fazendo através do determinante, fica mais prático: u→ × v→ =</p><p>PRODUTO MISTO</p><p>Sejam os vetores u→ (xu, yu, zu), v→ (xv, yv, zv), w→ (xw, yw, zw) do R³.</p><p>O produto misto, cuja notação é [u→ , v→ , w→ ], é definido através de uma combinação entre produto escalar e produto vetorial.</p><p>[u→ , v→ , w→ ] = (u→ × v→ ) . w→ = u→ . (v→ × w→ )</p><p> ATENÇÃO!</p><p>O produto misto só é definido no R³, e por ser o resultado de um produto escalar, fornece como resultado um escalar.</p><p>Ao se resolver analiticamente o produto misto, obtém-se uma expressão que pode ser representada pelo cálculo do seguinte determinante:</p><p>[u→ , v→ , w→ ] = |</p><p>xu yu zu</p><p>xv yv zv</p><p>xw yw zw</p><p>|</p><p> IMPORTANTE!</p><p>Se o produto misto é nulo, quer dizer que um dos três vetores é combinação linear dos outros dois. Em outras palavras, os três vetores fazem</p><p>parte de um mesmo plano no espaço. Assim, três vetores serão coplanares, isto é, pertencerão ao mesmo plano, se e somente se, [u→ , v→</p><p>, w→ ] = 0</p><p>O produto misto apresenta algumas propriedades:</p><p>a) Multiplicação por real (k): [u→ , v→ , w→ ] = [ku→ , v→ , w→ ] = [u→ , kv→ , w→ ] = [u→ , v→ , kw→ ]</p><p>b) [u→ , v→ , w→ ] = [w→ , u→ , v→ ] = [v→ , w→ , u→ ]</p><p>c) [u→ , v→ , w→ ] = − [u→ , w→ , v→ ] = − [v→ , u→ , w→ ] = − [w→ , v→ , u→ ]</p><p>EXEMPLO</p><p>1. Dados os vetores u→ (0, 2, −5 ), v→ (1, −1, 2) e w→ (2, 0, −1 ). Determine o produto misto entre os vetores u→ , v→ e w→ , nesta</p><p>ordem.</p><p>SOLUÇÃO</p><p>[u→ , v→ , w→ ] = |</p><p>xu yu zu</p><p>xv yv zv</p><p>xw yw zw</p><p>| = |</p><p>0 2 −5</p><p>1 −1 2</p><p>2 0 −1</p><p>|</p><p>0 × (−1) × (−1) × + (−5) × 1 × 0 + 2 × 2 × 2 −0 × 0 × 2 − (−1) × 1 × 2 − (−5) × (−1) × 2 = 8 + 2 − 10 = 0</p><p>TEORIA NA PRÁTICA</p><p>Três aeronaves, que realizam um movimento retilíneo, têm velocidades dadas pelos vetores u→ (a, 1, −1), v→ (0, 2, 1) e w→ (1, 0, 2 ). Elas</p><p>desejam voar de tal forma que as direções de seus movimentos formem um plano. Determine o valor de a, real, para que isso ocorra.</p><p> Clique no botão para ver as informações.</p><p>SOLUÇÃO</p><p>No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.</p><p>MÃO NA MASSA</p><p>1. SEJAM U→ (1, 2, −3) E V→ (2, −2, 4). DETERMINE O PRODUTO ESCALAR ENTRE 2U→ E −3V→ :</p><p>A) −14</p><p>B) 70</p><p>C) −84</p><p>D) 84</p><p>2. DETERMINE O MÓDULO DO VETOR U→ + V→ , SABENDO QUE QUE U→ (0, 12 , −5) E V→ (0 , −4, 3).</p><p>A) √68</p><p>B) √78</p><p>C) 144</p><p>D) 68</p><p>3. DETERMINE O VALOR DE 2U→ × (−4V→ ). SENDO U→ (1, −1, 0) E V→ (2, 2, 1):</p><p>A) (8, 8, −32)</p><p>B) (−8, −8, 32)</p><p>C) (24, 24, −32)</p><p>D) (8, −12, −32)</p><p>4. DADOS OS VETORES U→ (1, 2, 3), V→ (1, 1, 0) E W→ (2, 1, −1), DETERMINE O PRODUTO MISTO ENTRE OS</p><p>VETORES U→ , V→ E W→ , NESTA ORDEM:</p><p>A) 2</p><p>B) −4</p><p>C) −2</p><p>D) 4</p><p>5. SEJAM OS VETORES U→ (K, K, K), V→ (2, 2, 1) E W→ (2, −1, 2). DETERMINE O VALOR DE K, SABENDO QUE O</p><p>PRODUTO MISTO [U→ , W→ , V→ ] VALE O PRODUTO ESCALAR U→ × V→ SOMADO A 6.</p><p>A) 3/4</p><p>B) −3</p><p>C) 3</p><p>D) 1/2</p><p>6. SEJAM OS VETORES U→ (1, 2, 1) E V→ (2, 1, 1). SABE-SE QUE W→ VALE DUAS VEZES O PRODUTO</p><p>VETORIAL DE U→ COM V→ . DETERMINE O MÓDULO DO VETOR W→ :</p><p>A) √11</p><p>B) 2√11</p><p>C) 2√13</p><p>D) √13</p><p>GABARITO</p><p>1. Sejam u→ (1, 2, −3) e v→ (2, −2, 4). Determine o produto escalar entre 2u→ e −3v→ :</p><p>A alternativa "D " está correta.</p><p>Parabéns! Você entendeu o conceito do produto escalar.</p><p>2u→ × (−3v→ ) = 2 × (−3)u→ × v→ = 6u→ × v→</p><p>u→ × v = 1×2 + 2×(−2) + (−3)×4 = 2 − 4 − 12 = − 14</p><p>Assim, 2u→ × (−3v) = u→ × v→ = (−6) × (×14) = 84</p><p>2. Determine o módulo do vetor u→ + v→ , sabendo que que u→ (0, 12 , −5) e v→ (0 , −4, 3).</p><p>A alternativa "A " está correta.</p><p>Parabéns! Você entendeu o conceito do produto escalar.</p><p>u→ + v→ = (0+0, 12−4, −5+3) = (0, 8, −2)</p><p>(u→ + v→ ) × (u→ + v→ ) = 0×0 + 8×8 + (−2)×(−2) = 64 + 4 = 68</p><p>3. Determine o valor de 2u→ × (−4v→ ). Sendo u→ (1, −1, 0) e v→ (2, 2, 1):</p><p>A alternativa "A " está correta.</p><p>Parabéns! Você entendeu o conceito do produto vetorial.</p><p>2u→ × (×4v→ ) = 2 × (−4) u→ × v→ = (×8) (u→ × v→ )</p><p>(−8)×(u→ × v→ ) = ((−8)×(−1), (−8)×(−1), (−9)×4) = (8, 8, −32)</p><p>4. Dados os vetores u→ (1, 2, 3), v→ (1, 1, 0) e w→ (2, 1, −1), determine o produto misto entre os vetores u→ , v→ e w→ , nesta ordem:</p><p>A alternativa "C " está correta.</p><p>No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.</p><p>5. Sejam os vetores u→ (k, k, k), v→ (2, 2, 1) e w→ (2, −1, 2). Determine o valor de k, sabendo que o produto misto [u→ , w→ , v→ ] vale o</p><p>produto escalar u→ × v→ somado a 6.</p><p>A alternativa "B " está correta.</p><p>[u→ , v→ , w→ ] = k×(−1)−1 + 2×2×k + 2×2×k − 1×2×k − 2×2×k − 2×(−1)×k = 3k</p><p>u→ × v→ = k×2 + k×2 + k×1 = 5k</p><p>Assim, 3k = 5k + 6 → 2k = −6 → k = −3</p><p>6. Sejam os vetores u→ (1, 2, 1) e v→ (2, 1, 1). Sabe-se que w→ vale duas vezes o produto vetorial de u→ com v→ . Determine o módulo do</p><p>vetor w→ :</p><p>A alternativa "B " está correta.</p><p>No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.</p><p>VERIFICANDO O APRENDIZADO</p><p>1. SENDO U→ (1, 3, −2), V→ (2, 0, 2) E W→ (1, 1, 1), DETERMINE O PRODUTO ESCALAR ENTRE O VETOR 2U→ + V→</p><p>E O VETOR W→ :</p><p>A) 4</p><p>B) 6</p><p>C) 10</p><p>D) 8</p><p>2. SENDO U→ (B, A, ×1) E V→ (2, 0, 2), DETERMINE O VALOR DE A + B SABENDO QUE U→ × V→ = (2, 4, −2):</p><p>A) −2</p><p>B) −4</p><p>C) 2</p><p>D) 4</p><p>GABARITO</p><p>1. Sendo u→ (1, 3, −2), v→ (2, 0, 2) e w→ (1, 1, 1), determine o produto escalar entre o vetor 2u→ + v→ e o vetor w→ :</p><p>A alternativa "D " está correta.</p><p>Parabéns! Você entendeu o conceito do produto escalar.</p><p>(2u→ + v→ ) × w→ = 2u→ × w→ + v→ × w→</p><p>u→ × w→ = 1×1 + 3×1 + (−2)×1 = 1 + 3 − 2 = 2</p><p>v→ × w = 2×1 + 0×1 + 2×1 = 2 + 0 + 2 = 4</p><p>Assim 2×2 + 4 = 8</p><p>2. Sendo u→ (b, a, ×1) e v→ (2, 0, 2), determine o valor de a + b sabendo que u→ × v→ = (2, 4, −2):</p><p>A alternativa "A " está correta.</p><p>Parabéns! Você entendeu o conceito do produto vetorial.</p><p>Assim</p><p> Aplicar o conceito do ângulo vetorial nas condições de paralelismo e ortogonalidade</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>O CONHECIMENTO DO ÂNGULO FORMADO POR DOIS VETORES PODE TER ALGUMAS APLICAÇÕES PRÁTICAS, POR</p><p>EXEMPLO, A VERIFICAÇÃO SE OS VETORES SÃO PARALELOS OU ORTOGONAIS.</p><p>Assim, torna-se necessária uma forma de obter o ângulo através das coordenadas vetoriais.</p><p>ÂNGULO ENTRE VETORES</p><p>O ângulo entre dois vetores é aquele definido entre suas orientações positivas, ou seja, suas setas.</p><p>Fonte:Autor</p><p>No módulo anterior, aprendemos a usar a Lei de Cossenos, então, uma forma para obter o ângulo dos vetores é através desta solução:</p><p>Fonte:Autor</p><p>ou</p><p>Fonte:Autor</p><p>No entanto, existe uma forma mais simples para cálculo do ângulo entre vetores através do produto escalar. Pode ser provado que u→ × v→</p><p>= |u→ | |v→ | cos α(alpha)</p><p>Assim, cos α(alpha) = (u→ × v→ ) ÷( |u→ | |v→ | )</p><p>Se conhecemos o ângulo entre dois vetores, podemos verificar o sinal do produto escalar através da equação dada:</p><p>a) Se 0 ≤ α(alpha) < 90, se tem cos α(alpha) > 0, então u→ × v→ > 0</p><p>b) Se 0 = 90, se tem cos α(alpha) = 0 , então u→ × v→ = 0</p><p>c) Se 0 < α(alpha) ≤ 90 se tem cos α(alpha) < 0, então u→ × v→ < 0</p><p>EXEMPLO</p><p>1. Determine o cosseno do ângulo formado entre os vetores u→ (2, 2) e v→ (-1, 3):</p><p>SOLUÇÃO</p><p>Fonte:Autor</p><p>PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE OUTRO</p><p>Uma aplicação direta do produto escalar, versor e ângulo entre vetores é a determinação da projeção de um vetor sobre o outro. Sejam dois</p><p>vetores u→ e v→ que formam um ângulo α(alpha) entre si. A projeção de u→ sobre v→ será</p><p>denominada de P→ uv</p><p>Fonte:Autor</p><p>Fonte:Autor</p><p>EXEMPLO</p><p>1. Determine a projeção do vetor u→ (1, 1, 1) sobre o vetor v→ (3, 0, −4):</p><p>SOLUÇÃO</p><p>Fonte:Autor</p><p>Assim,</p><p>Fonte:Autor</p><p>CONDIÇÃO DE PARALELISMOS E ORTOGONALIDADE</p><p>A equação dada no item anterior nos permite conhecer o ângulo através do produto escalar, assim: cos α(alpha) =(u→ v→ ) ÷ (|u→ | |v→ |)</p><p>Desse modo, se dois vetores u→ e v→ são ortogonais, isto é, com ângulo entre si de 90o, então u→ × v→ = 0 sendo esta a condição de</p><p>ortogonalidade.</p><p>Se dois vetores u→ e v→ são paralelos entre si, então v→ = ku→ , com k real.</p><p>Como já visto, neste caso u→ x v→ = 0. Sendo esta uma possível condição de paralelismo.</p><p>Outra opção é que se v→ = k u→ , k real, usando as propriedades básicas do vetor:</p><p>Fonte:Autor</p><p> IMPORTANTE!</p><p>As condições de ortogonalidade e paralelismo podem ser extrapoladas para a dimensão do Rn. Assim, dois vetores em Rn serão ortogonais</p><p>se seu produto interno for zero e serão paralelos se suas coordenadas forem proporcionais.</p><p>EXEMPLO</p><p>1. Determine o valor de b para que os vetores u→ (2, b, 0) e v→ (−1, 1, 3) sejam ortogonais.</p><p>SOLUÇÃO</p><p>u→ × v→ = 2×(−1) + b×1 + 0×3 = −2 + b</p><p>Para serem ortogonais,</p><p>u→ × v→ = 0 → −2 + b = 0 → b = 2</p><p>2. Determine o valor de a e b para que os vetores u→ (2, b, a) e v→ (−1, 1, 3) sejam paralelos.</p><p>SOLUÇÃO</p><p>Se u e v são paralelos, então</p><p>Fonte:Autor</p><p>Assim,</p><p>b = −2 e a = (−3) × 2 = −6</p><p>TEORIA NA PRÁTICA</p><p>O trabalho de uma força (w), medido em Joule (J), é um conceito de Física que mede o efeito de uma força sobre um deslocamento, logo, w</p><p>= F→ × d→ , em que F→ é a força aplicada ao objeto e d→ o vetor deslocamento feito pelo objeto. Uma caixa de massa 2kg sofre o efeito de</p><p>uma força F→ (2, −2, 2)N. Com a aplicação desta força, a caixa se desloca do ponto A(− 1, 0, 2) até o ponto B (3, 0, 1). Determine o trabalho</p><p>provocado por esta força na caixa durante este deslocamento.</p><p> Clique no botão para ver as informações.</p><p>SOLUÇÃO</p><p>No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.</p><p>MÃO NA MASSA</p><p>1. DETERMINE O ÂNGULO FORMADO PELOS VETORES U→ (1, 1, 1) E V→ (½, ½, 0):</p><p>A) arc cos √3/2</p><p>B) arc cos √2/2</p><p>C) arc cos √6/2</p><p>D) arc cos √2/3</p><p>2. DETERMINE K + P PARA QUE OS VETORES U→ (3, K, P+1) E V→ (1, 2, −2) SEJAM PARALELOS:</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) −1</p><p>D) −2</p><p>3. DETERMINE K PARA QUE OS VETORES U→ (3, K, K+1) E V→ (1, 2, −1) SEJAM ORTOGONAIS:</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) −1</p><p>D) −2</p><p>4. DETERMINE O MÓDULO DA PROJEÇÃO DO VETOR U→ (4, 0, 2) SOBRE O VETOR V→ (2, 1, −1):</p><p>A) √5</p><p>B) √3</p><p>C) √6</p><p>D) √8</p><p>5. DOIS VETORES, K→ E H→ , SÃO ORTOGONAIS ENTRE SI. SABE QUE K→ (2, 1, 2) E QUE |K→ − H→ VALE 5.</p><p>DETERMINE O VALOR DA CONSTANTE A, SABENDO QUE H→ (A, 0, B), COM A E B REAIS.</p><p>A) ±2√3</p><p>B) ±√2</p><p>C) ±2√2</p><p>D) ±√3</p><p>6. O ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES U→ E V→ VALE 45O. O MÓDULO DO VETOR U→ VALE √2. QUANTO VALE O</p><p>PRODUTO ESCALAR ENTRE U→ E O VERSOR DO VETOR V→ ?</p><p>A) 2</p><p>B) 1</p><p>C) 0</p><p>D) −1</p><p>GABARITO</p><p>1. Determine o ângulo formado pelos vetores u→ (1, 1, 1) e v→ (½, ½, 0):</p><p>A alternativa "C " está correta.</p><p>No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.</p><p>2. Determine k + p para que os vetores u→ (3, k, p+1) e v→ (1, 2, −2) sejam paralelos:</p><p>A alternativa "C " está correta.</p><p>Se u e v são paralelos, então xv/xu</p><p>= yv/yu</p><p>= zv/zu</p><p>→ 1/3 = 2/k = −2/p+1</p><p>Assim, k = 2&tmes;3 = 6 e p + 1 = (−2)×3 = −6 → p = −7</p><p>Então, k + p = 6 − 7 = −1</p><p>3. Determine k para que os vetores u→ (3, k, k+1) e v→ (1, 2, −1) sejam ortogonais:</p><p>A alternativa "D " está correta.</p><p>No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.</p><p>4. Determine o módulo da projeção do vetor u→ (4, 0, 2) sobre o vetor v→ (2, 1, −1):</p><p>A alternativa "C " está correta.</p><p>Parabéns! Você entendeu o conceito de ângulo entre vetores.</p><p>Primeiramente precisamos calcular o módulo do vetor v→ , sendo assim:</p><p>Agora, vamos determinar o versor v̂ :</p><p>Feito isso, agora precisamos do produto escalar entre os vetores u→ e v→ :</p><p>u→ × v→ = 4×2 + 0×1 + 2×(−1) = 6</p><p>Agora que temos todas as informações, podemos calcular a projeção de u→ sobre v→ , da seguinte maneira</p><p>O módulo dessa projeção então, tem valor de:</p><p>5. Dois vetores, k→ e h→ , são ortogonais entre si. Sabe que k→ (2, 1, 2) e que |k→ − h→ vale 5. Determine o valor da constante a, sabendo</p><p>que h→ (a, 0, b), com a e b reais.</p><p>A alternativa "C " está correta.</p><p>Parabéns! Você entendeu o conceito de ortogonalidade entre os vetores.</p><p>Se os vetores são ortogonais então k→ × h→ = 0</p><p>Assim, 2×a + 1×0 + 2×b = 0 → 2a + 2b = 0 → a = −b</p><p>|k→ | = √(2² + 1² + 2²) = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3</p><p>Se os vetores são ortogonais, usando o teorema de Pitágoras |h→ | = √(5² − ²) = 4</p><p>Fonte: Autor</p><p>Assim, |h→ | = √(a² + 0 + b²) = 4 → a² + b² = 16 → a² &plus (−a)² = 16 → a² = 8 → a = ±2√2</p><p>Se não fosse observado o triângulo retângulo, poderia ser achado o vetor k→ − h→ = (2−a, 1, 2−b)</p><p>Assim, |k→ − h→ | = √((2−a)² + 1 + (2−b)²) = 5 → (2−a)² + 1 plus; (2−b)² = 25</p><p>(2−a)² + (2−b)² = 24 → (2−a)² + (2−(−a))² = 24</p><p>4 − 4a + a² + 4 + 4a + a² = 24 → 8 + 2a² = 24 → 2a² = 16 → a = ±2√2</p><p>Dando o mesmo resultado.</p><p>6. O ângulo entre dois vetores u→ e v→ vale 45o. O módulo do vetor u→ vale √2. Quanto vale o produto escalar entre u→ e o versor do</p><p>vetor v→ ?</p><p>A alternativa "B " está correta.</p><p>Parabéns! Você entendeu o conceito de ângulo entre vetores.</p><p>VERIFICANDO O APRENDIZADO</p><p>1. DETERMINE O COSSENO DO ÂNGULO FORMADO PELOS VETORES U→ (1, 3, −2) E V→ (2, 0, 2).</p><p>A) −√7/14</p><p>B) √7/14</p><p>C) √3/14</p><p>D) √37/14</p><p>2. DETERMINE O VALOR DA CONSTANTE K PARA QUE OS VETORES U→ (1, K, −2) E V→ ( 1, 1, 1) SEJAM</p><p>ORTOGONAIS.</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 2</p><p>D) 3</p><p>GABARITO</p><p>1. Determine o cosseno do ângulo formado pelos vetores u→ (1, 3, −2) e v→ (2, 0, 2).</p><p>A alternativa "A " está correta.</p><p>Parabéns! Você entendeu o conceito de ângulo entre vetores.</p><p>2. Determine o valor da constante k para que os vetores u→ (1, k, −2) e v→ ( 1, 1, 1) sejam ortogonais.</p><p>A alternativa "B " está correta.</p><p>Parabéns! Você entendeu a condição de ortogonalidade .</p><p>u→ ×v→ = 1×1 + k×1 + (−2)×1 = 1 + k − 2 = k − 1</p><p>Para serem ortogonais</p><p>u→ ×v→ = 0 → k − 1 = 0 → k = 1</p><p>CONCLUSÃO</p><p>AVALIAÇÃO DO TEMA:</p><p>CONTEUDISTA</p><p>Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira</p><p> CURRÍCULO LATTES</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012. p. 119-180.</p><p>APOSTOL, T. M. Cálculo, Volume 1. Espanha: Editorial Reverte SA, 1985. p. 519-536.</p><p>HOFFMAN, K.; KUNZE, R. Linear Algebra. 2. ed. Nova Jersey: Prentice-Hall, 1971. p. 28-39.</p><p>PEREIRA, Paulo. Cálculo é fácil - Cálculo 1: aulas 2 a 15, In: Equaciona com Paulo Pereira, Youtube. Publicado em: 8 mar. 2019</p><p>SANTOS, R. J. Um Curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear. Belo Horizonte: Imprensa Universitária da UFMJ, 2012. p. 132-208.</p><p>EXPLORE+</p><p>Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, pesquise na internet.</p><p>javascript:void(0);</p><p>javascript:void(0);</p>