Lista de Exercicios Fisica Básica (38)

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SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 75
(a) Para a a=  , b b=

 e  = 60°, o produto escalar de 

a e 

b é
 
a b ab⋅ = = =cos ( ) ( , ) cos . 10 6 0 60 30
(b) Para os mesmos valores de a, b e φ do item anterior, o módulo do produto vetorial dos dois 
vetores é 
| | ( ) ( , ) .
 
a b ab× = = =sen sen 10 6 0 60 52
54. De acordo com a figura, 
  
a b c+ + = 0 e 
 
a b⊥ .
(a) 
 
a b⋅ = 0, já que o ângulo entre os dois vetores é 90º.
(b) 
     
a c a a b a⋅ = ⋅ − − = − = −( ) .
2
16
(c) 
     
b c b a b b⋅ = ⋅ − − = − = −( ) , .
2
9 0
55. Escolhemos o leste como semieixo x positivo e o norte como semieixo y positivo para medir 
todos os ângulos da forma “convencional” (ângulos positivos no sentido anti-horário a partir do 
semieixo x positivo). Nesse caso, 

d1 tem módulo d1 = 4,00 m e orientação θ1 = 225°, 

d2 tem 
módulo d2 = 5,00 m e orientação θ2 = 0° e 

d3 tem módulo d3 = 6,00 m e orientação θ3 = 60°.
(a) A componente x de 

d1 é d1x = d1 cos θ1 = –2,83 m.
(b) A componente y de 

d1 é d1y = d1 sen θ1 = –2,83 m.
(c) A componente x de 

d2 é d2x = d2 cos θ2 = 5,00 m.
(d) A componente y de 

d2 é d2y = d2 sen θ2 = 0.
(e) A componente x de 

d3 é d3x = d3 cos θ3 = 3,00 m.
(f) A componente y de 

d3 é d3y = d3 sen θ3 = 5,20 m.
(g) A soma das componentes x é 
dx = d1x + d2x + d3x = –2,83 m + 5,00 m + 3,00 m = 5,17 m.
(h) A soma das componentes y é 
dy = d1y + d2y + d3y = –2,83 m + 0 + 5,20 m = 2,37 m.
(i) O módulo do deslocamento resultante é
d d dx y= + = + =2 2 25 17( , )m (2,37m) 5,69m.2
(j) O ângulo do deslocamento resultante é
θ = tan–1 (2,37/5,17) = 24,6°,
o que significa (lembrando nossa escolha dos eixos de referência) uma direção aproximada-
mente 25° ao norte do leste.
(k) e (l) Para que a partícula volte ao ponto de partida, a soma vetorial do deslocamento anterior 
com o novo deslocamento deve ser nula. Assim, o novo deslocamento é o negativo do desloca-
mento anterior, o que significa um vetor com o mesmo módulo (5,69 m) apontando na direção 
oposta (25° ao sul do oeste).
76 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS
56. Para podermos aplicar diretamente a Eq. 3-5, notamos que os ângulos de 

Q, 

R e 

S com 
semieixo x positivo são, respectivamente, 100°, 250° e 310°.
(a) Na notação dos vetores unitários, com a unidade metro implícita, temos:


P
Q
= ( ) + ( )
=
10 0 25 0 10 0 25 0
12
, , ˆ , sen , ˆ
,
cos i j 
00 100 12 0 100
8 00 250
cos ˆ , sen ˆ
, cos
 

( ) + ( )
=
i j

R (( ) + ( )
= ( ) +
ˆ , sen ˆ
, cos ˆ ,
i j
i
8 00 250
9 00 310 9 0



S 00 310
10 0 1 63
sen ˆ
( , )ˆ ( ,
( )
+ + + = +
j
m i m
   
P Q R S )) ĵ
(b) O módulo da soma vetorial é ( , ) ( , ) ,10 0 1 63 10 22 2m m m.+ =
(c) O ângulo é tan–1 (1,63 m/10,0 m) ≈ 9,24° no sentido anti-horário a partir do semieixo x po-
sitivo.
57. De acordo com o enunciado do problema, temos:
 
 
A B
A B
+ = +
− = − +
( , )ˆ ( , )ˆ
( , )ˆ ( , )ˆ
6 0 1 0
4 0 7 0
i j
i j
Somando as equações acima e dividindo por 2, obtemos 

A = +( , )ˆ ( , )ˆ1 0 4 0i j . O módulo de 
A é 
A A A Ax y= = + = + =| | ( , ) ( , ) ,

2 2 2 21 0 4 0 4 1
Subtraindo uma das equações acima da outra e dividindo por 2, obtemos 

B = + −( , )ˆ ( , )ˆ5 0 3 0i j . 
O módulo de 

B é 
B B B Bx y= = + = + − =| | ( , ) ( , ) ,

2 2 2 25 0 3 0 5 8.
Os resultados são mostrados na figura a seguir.
58. O vetor pode ser escrito na forma 

d = ( , ˆ2 5 m)j, em que tomamos ĵ como um vetor unitário 
apontando para o norte.
(a) O módulo do vetor 
 
a d= 4,0 é (4,0)(2,5 m) = 10 m.
(b) A orientação do vetor 
 
a d= 4,0 é a mesma do vetor 

d (norte).