Exercícios Geometria Espacial

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CURSO PROGRESSÃO PIABETÁ. PROFESSOR: EMILSON MOREIRA 
DISCIPLINA:GEOMETRIA ESPACIAL ASSUNTO: EXERCÍCIOS 
TURMA: EEAR/EsSA. | DATA: 20/05/24 
ALUNO(A): 
 
 
 
CURSO PROGRESSÃO PIABETÁ 
1. Um deltaedro é um poliedro cujas faces são todas 
triângulos equiláteros. Se um deltaedro convexo possui 
8 vértices, então o número de faces desse deltaedro é: 
a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 
 
2. O poliedro convexo regular cujo número de arestas 
é o dobro do número de vértices é o octaedro. O 
número de vértices do octaedro é 
a) 4 b) 20 c) 12 d) 8 e) 6 
 
3. Um poliedro convexo com 32 vértices possui 
apenas faces triangulares. O número de arestas deste 
poliedro é 
a) 100. b) 120. c) 90. d) 80. 
 
4. A figura abaixo representa a planificação de um 
poliedro P : 
 
Avalie as afirmações I, II e III sobre o poliedro 
representado pela planificação: 
I. O número de arestas do poliedro P corresponde a 
uma vez e meia o número de vértices. 
II. O poliedro P tem, pelo menos, duas faces paralelas. 
III. O poliedro P pode ser classificado como pentágono. 
 
Contém uma afirmação verdadeira: 
a) apenas II. 
b) apenas I e II. 
c) apenas I e III. 
d) apenas II e III. 
e) I, II e III. 
 
5. Um poliedro convexo tem oito vértices e apenas 
faces triangulares e quadrangulares. O número de 
faces triangulares é o quádruplo das quadrangulares. O 
número de arestas desse poliedro é 
a) 32 b) 20 c) 16 d) 10 e) 8 
 
6. Dois dados, com doze faces pentagonais cada um, 
têm a forma de dodecaedros regulares. Se os 
dodecaedros estão justapostos por uma de suas faces, 
que coincidem perfeitamente, formam um poliedro 
côncavo, conforme ilustra a figura. 
 
 
Considere o número de vértices V, de faces F e de 
arestas A desse poliedro côncavo. 
A soma V F A+ + é igual a: 
a) 102 b) 106 c) 110 d) 112 
 
7. Um poliedro convexo tem 32 faces, sendo 20 
hexágonos e 12 pentágonos. O número de vértices 
deste polígono 
a) 90. b) 72. c) 60. d) 56. 
 
8. A bola de futebol evoluiu ao longo do tempo e, 
atualmente, é um icosaedro truncado, formado por 32 
peças, denominadas de gomos e, geometricamente, de 
faces. Nessa bola, 12 faces são pentágonos regulares, 
e as outras, hexágonos, também regulares. Os lados 
dos pentágonos e dos hexágonos são iguais e 
costurados. Ao unirem-se os dois lados costurados das 
faces, formam-se as arestas. O encontro das arestas 
formam os vértices. Quando cheio, o poliedro é similar 
a uma esfera. 
 
O número de arestas e o número de vértices existentes 
nessa bola de futebol são, respectivamente, 
 
Pode ser utilizado o Teorema de Descartes-Euler, 
A 2 V F+ = + 
a) 80 e 60 b) 80 e 50 c) 70 e 40 
d) 90 e 60 e) 90 e 50 
 
9. Uma fábrica de embalagens produz caixas de vários 
tamanhos. Uma delas tem formato cúbico com aresta 
medindo 30 cm. Se a caixa não tem tampa e o material 
utilizado para as faces laterais custa RS 5,00 o metro 
quadrado e para a base custa R$ 6,00 o metro 
quadrado, então o custo do material, EM REAIS, dessa 
caixa é 
a) 28,80 b) 23,40 c) 10,88 d) 2,88 e) 2,34 
 
 
 
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10. De um paralelepípedo reto-retângulo de 
dimensões 20 cm por 6 2cm por 6 2cm serão 
retirados dois cubos, cujos lados medem x cm. Esses 
cubos têm três arestas contidas em três arestas do 
paralelepípedo e uma das faces contida em uma 
mesma face quadrada do paralelepípedo. 
 
 
Ao adotar o valor máximo para x, o volume do prisma 
remanescente, após a retirada dos cubos, será igual a: 
a) 336(40 3 2)cm− b) 3108(10 2)cm− 
c) 330(9 3)cm− d) 336(10 3 2)cm− 
e) 330(10 3 2)cm− 
 
11. P1 é um paralelepípedo de base quadrada e 
volume V1. P2 é um paralelepípedo de base quadrada e 
volume V2, tal que o lado da base é o dobro do lado da 
base de P1 e a altura é o triplo da altura de P1. 
Escolha a alternativa correta. 
a) V2 = 5 V1 b) V2 = 12 V1 c) V2 = 6 V1 
d) V2 = 18 V1 e) V2 = 36 V1 
 
12. Duas caixas cúbicas A e B tem volumes, em litros, 
respectivamente iguais a V e 4V. Calculando-se a razão 
entre as áreas de suas bases, em dm2, das caixas B e 
A, respectivamente, obtemos 
a) 3 2. b) 3 4. c) 2. d) 32 2. e) 32 4. 
 
13. Seja a > 0. Considere um cubo com aresta 
medindo a e um prisma reto com altura a cuja base é 
um triângulo equilátero com lado medindo 2. 
Se o volume do cubo é igual ao volume do prisma, qual 
é o valor de a? 
a) 
4 3
2
 b) 42 3 c) 
3
2
 d) 3 e) 4 3 
 
14. Uma empresa produz dois tipos de recipientes: o 
primeiro tem a forma de um prisma retangular reto, e o 
segundo tipo é uma réplica ampliada do primeiro, obtida 
multiplicando-se as medidas das suas arestas (cm) por 
4. 
 
A medida do volume (cm3) do segundo tipo de 
recipiente será igual à medida do volume (cm3) do 
primeiro tipo de recipiente multiplicada por 
a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 64 
 
15. A medida, em cm3, da região do espaço interior a 
um cubo cuja medida da aresta é igual a 1cm e exterior 
à esfera inscrita neste cubo é igual a 
a) 
6
.
6
π−
 b) 
6 3
.
6
π−
 c) 
6 3
.
2
π−
 d) 
6
.
2
π−
 
 
16. Um cubo de base ABCD, com arestas laterais AE, 
BF, CG e DH, foi seccionado por um plano 
BDG, como indica o esquema: 
 
Com a secção do cubo, formou-se o sólido S, de 
vértices BCDG, representado a seguir: 
Sabendo que o cubo tem aresta 1, o volume do sólido 
S é igual a: 
a) 
1
6
 
b) 
1
5
 
c) 
1
4
 
d) 
1
3
 
 
17. Um prisma reto de base quadrada tem lado da 
base medindo 3 cm e altura, relativa a essa base, de 5 
cm. Uma pirâmide reta de base quadrada tem lado da 
base medindo 4 cm e altura, relativa a essa base, de 6 
cm. A diferença entre o volume do prisma e o da 
pirâmide é de 
a) 12 cm3. b) 11 cm3. c) 13 cm3. d) 9 cm3. e) 10 cm3. 
 
18. A base de uma pirâmide triangular regular está 
inscrita em uma circunferência cuja medida do raio é 4 
cm. Se a medida da aresta dessa pirâmide é igual à 
medida do lado do triângulo de sua base, então a 
medida de seu volume, em cm3, é igual a 
a) 12 6. b) 16 6. c) 18 6. d) 14 6. 
 
19. Um reservatório de água de determinada 
propriedade rural tem o formato da figura a seguir e está 
totalmente cheio. A parte inferior da figura é um cilindro 
circular reto de altura 10 metros e de diâmetro 20 
metros. A parte superior do reservatório é um cone de 
altura 3 metros. A água desse reservatório é transferida 
para 10 pequenas caixas d’água com capacidade de 
1000 litros cada uma e é usada para irrigação na 
propriedade. 
Cinco dessas caixas são abastecidas totalmente duas 
vezes ao dia e as outras cinco caixas são totalmente 
abastecidas somente uma vez ao dia. Se D é o número 
de dias completos nos quais é possível irrigar a 
propriedade com a água do reservatório, então é 
CORRETO afirmar que 
 
a) D = 23 
b) D = 30 
c) D = 73 
d) D = 230 
e) D = 1100 
 
 
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20. Para medir o volume de uma pedra com formato 
irregular, Ana utilizou um recipiente cilíndrico de raio r 
= 8 cm e com água até a altura de 20 cm. Após colocar 
a pedra no recipiente, a altura da água subiu para 23,5 
cm. 
 
O volume da pedra é: 
a) 3128 cmπ b) 3224 cmπ c) 3240 cmπ d) 3282 cmπ 
21. Considere um cilindro equilátero reto, cujo volume 
é 3686 cm ,π Qual a área total desse cilindro? 
a) 2196 cmπ b) 2245 cmπ c) 2294 cmπ d) 2392 cmπ 
 
22. Um recipiente cilíndrico de altura h tem água em 
seu interior. 
Ao mergulhar uma esfera de chumbo de raio R neste 
recipiente, a água cobre a esfera e nenhuma 
quantidade de água se perde, como ilustrado na figura 
a seguir. 
 
 
Sabendo que o raioda base do cilindro é o dobro do 
raio da esfera, a diferença entre a altura da água antes 
e depois do mergulho da esfera é igual a 
a) 2R. b) R. c) R/3. d) 2R/3. 
 
23. Dois recipientes, um cilíndrico e um cônico, têm a 
mesma altura e bases com raios iguais. Se a 
capacidade do recipiente cônico é de 205 mL, então a 
capacidade do recipiente cilíndrico é de: 
a) 205 mL. b) 410 mL. c) 505 mL. d) 615 mL. 
 
24. Em um recipiente cônico, apresentando raio igual 
à altura e com seu vértice para baixo, está sendo 
despejada água a uma velocidade de 3,14 metros 
cúbicos por minuto. 
Consideradas as condições descritas nesta questão, 
marque a única alternativa que aponta corretamente a 
altura da água no interior do cone depois de 9 minutos: 
a) 3 metros. b) 6 metros. c) 9 metros. d) 12 metros 
 
25. Um triângulo retângulo, ao girar em torno de um 
dos catetos, gera um cone. Ao girar em torno da 
hipotenusa, gera dois cones ligados pela base, que é a 
mesma para ambos os cones. Se a medida da 
hipotenusa do triângulo é 5 cm e a medida de um dos 
catetos é 3 cm, esse triângulo, ao girar em torno da 
hipotenusa, gera um sólido (união de dois cones) cuja 
medida do volume, em cm3, é 
a) 
14
.
3
π
 b) 
24
.
5
π
 c) 
48
.
3
π
 d) 
48
.
5
π
 
 26. Uma empresa produz e vende um tipo de 
chocolate, maciço, em formato de cone circular reto 
com as medidas do diâmetro da base e da altura iguais 
a 8 cm e 10 cm, respectivamente, como apresenta a 
figura. 
 
 
Devido a um aumento de preço dos ingredientes 
utilizados na produção desse chocolate, a empresa 
decide produzir esse mesmo tipo de chocolate com um 
volume 19% menor, no mesmo formato de cone circular 
reto com altura de 10 cm. 
Para isso, a empresa produzirá esses novos chocolates 
com medida do raio da base, em centímetro, igual a 
 
a) 1,52. b) 3,24. c) 3,60. d) 6,48. e) 7,20. 
 
27. Uma bola inflável foi cheia até que o seu diâmetro 
fosse 2 vezes maior que seu diâmetro inicial. Assim, 
verifica-se que o volume final da bola, em relação ao 
volume inicial, é 
a) 2 vezes maior b) 4 vezes maior 
c) 6 vezes maior d) 8 vezes maior 
e) 10 vezes maior 
 
28. B1 é uma bola esférica de volume V1. B2 é uma 
bola esférica de volume V2, cujo raio é o triplo do raio 
de B1. Escolha a alternativa correta. 
a) V2 = 3 V1 b) V2 = 9 V1 c) V = 12 V1 d) V2 = 27 V1 
 
29. Dez esferas de aço, com 3 cm de raio cada uma, 
são inseridas em um recipiente cilíndrico com 15 cm de 
raio e 20 cm de altura. Completa-se o interior do 
recipiente com água, após isso, retiram-se as esferas 
do recipiente, mas durante a retirada das esferas 
ocorreu derramamento de 10% do líquido do recipiente. 
Assinale a alternativa correta da altura aproximada, em 
centímetros, atingida pela água dentro do recipiente 
após a retirada das esferas. Considere 3,14.π = 
a) 15,1 cm. b) 16,6 cm. c) 17,2 cm. d) 17,6 cm. 
 
30. Uma esfera com centro em O possui volume igual 
a 
31372
cm .
3
π
 Se tomarmos um plano e o fizermos 
interceptar essa esfera a uma distância d do seu centro, 
a seção plana circular resultante, de centro O', terá área 
igual a 224 cmπ (figura abaixo). Assim, de acordo com 
os dados, calcule o valor de d, ou seja OO', e assinale 
a opção correta. 
 
a) 1 cm 
b) 3 cm 
c) 5 cm 
d) 7 cm 
e) 10 cm 
 
 
 
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31. Suponha, para simplificar, que a Terra é 
perfeitamente esférica e que a linha do Equador mede 
40.000 km. O trajeto que sai do Polo Norte, segue até 
a linha do Equador pelo meridiano de Greenwich, 
depois se desloca ao longo da linha do Equador até o 
meridiano 45 L e então retorna ao Polo Norte por esse 
meridiano tem comprimento total de 
a) 15.000 km. b) 20.000 km. c) 25.000 km. 
d) 30.000 km. e) 35.000 km. 
 
32. Considerando α e β os ângulos agudos de um 
triângulo retângulo e P tg tg .α β=  A área de uma 
superfície esférica cujo raio mede P é equivalente a 
a) 8π unidades de área. b) 32π unidades de área. 
c) 16π unidades de área. d) 4π unidades de área. 
e) 36π unidades de área. 
 
33. Uma esfera de raio 3 dm está circunscrita a um 
cubo. Usando a figura abaixo, assinale a alternativa 
CORRETA. 
 
a) O volume da esfera é o dobro do volume do cubo. 
b) O cubo tem capacidade máxima de 6 litros. 
c) A diagonal do cubo mede 3 dm. 
d) A aresta do cubo vale 2 dm. 
e) O cubo toca a esfera em 6 pontos distintos. 
 
34. Uma taça tem o formato de um cone com vértice 
para baixo. A profundidade da taça é 20 cm, e o raio da 
base (ou seja, da abertura superior) é 4 cm. A taça está 
cheia de leite até uma altura de 10 cm, quando é 
jogado, dentro dela, um pedaço de chocolate, que 
afunda completamente, fazendo o nível de leite subir 
até uma altura de 11 cm. 
Qual é o volume, em cm3, do pedaço de chocolate que 
foi jogado dentro da taça? 
 
a) 121 3π b) 169 4π c) 331 75π d) 1729 32π 
 
35. Certo fabricante de refrigerantes tem duas versões 
de seu produto. As embalagens das duas versões são 
figuras geometricamente semelhantes, sendo que a 
maior tem altura igual ao triplo da altura da menor. 
O volume da embalagem maior é N vezes o volume da 
embalagem menor. O valor de N é: 
a) 27. b) 18. c) 9. d) 12. e) 3. 
 
36. Uma confeiteira produz chocolates. O mais 
vendido é uma mistura de chocolate meio amargo com 
coco e tem o formato de uma pirâmide de base 
quadrada com 18 cm de altura. Um cliente dividiu o 
chocolate em duas partes, uma na forma de uma 
pirâmide e outra na forma de um tronco de pirâmide. 
Ele, cuidadosamente, cortou a ponta da pirâmide 
gerando uma secção paralela à base e distante do 
vértice 
1
3
 da altura. Sabendo que o perímetro da 
secção é 20 cm, encontre o volume, em cm3, de 
chocolate no tronco da pirâmide. 
a) 1.250 b) 1.300 c) 1.625 d) 1.800 
 
37. Determinado quartel tem caixas d’água no formato 
cilíndrico. Os militares do Pelotão de Obras receberam 
a missão de pintar uma caixa d’água deste quartel. 
Ajude-os a fazer o orçamento da obra encontrando a 
área EXTERNA total dessa caixa d’água (SEM A 
TAMPA), sabendo que sua altura é de 15m e que seu 
diâmetro mede 5m. (Considere 3,14)π = 
a) 360 m2 b) 152,5 m2 c) 235,25 m2 d) 196,25 m2 e) 
255,125m2 
 
38. Observe o paralelepípedo retorretângulo da figura 
abaixo. 
 
Sobre este sólido, assinale a única alternativa correta. 
a) As retas CD e CG são ortogonais entre si. 
b) A reta CF é paralela ao plano (ADH). 
c) As retas AC e HF são paralelas entre si. 
d) A reta AB é perpendicular ao plano (EFG). 
e) As retas BF e DH são perpendiculares entre si. 
 
39. A “Operação Carro – Pipa” destina-se combater a 
seca no Nordeste. Essa logística é feita através de 
caminhões tanque. Admitindo que esses tanques sejam 
cilíndricos (raio = 0,8m e altura 6,25m). Quantas 
viagens desses carros cheios (carradas) serão 
necessárias para abastecer totalmente uma cisterna 
comunitária, em forma de paralelepípedo retângulo, 
cujas dimensões são: 7m 6m 2m?  (Considere 
3)π = 
a) 5 b) 6 c) 4 d) 7 e) 3 
 
40. Um copo cônico tem 12 cm de profundidade. Se 
sua capacidade é de 3100 cm ,π então o diâmetro 
interno da sua borda é __________ cm. 
a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 
 
41. Uma esfera foi seccionada em 3 partes. Se o 
volume de cada parte é 396 cm ,π o raio dessa esfera 
mede __________ cm. 
 
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 
 
42. A base de uma pirâmide é uma das faces de um 
cubo de aresta a. Se o volume do cubo somado com o 
volume da pirâmide é 2a3, a altura da pirâmide é 
________ da aresta a. 
 
a) o dobro b) o triplo c) a metade d) a terça parte 
 
 
 
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43. Uma caixa cúbica, de aresta 10 cm, está 
totalmente cheia de água. Ao despejar toda a água num 
tubo cilíndricode 5 cm de raio, essa água atingirá a 
altura de __ cmπ no tubo. (Considere as dimensões 
como sendo internas aos recipientes e que o tubo tem 
a altura necessária para o evento.) 
 
a) 50 b) 40 c) 35 d) 25 
 
44. Um cilindro circular reto de 5 cm de raio da base e 
de 10 cm de altura terá toda a sua superfície lateral 
revestida por uma fita de 0,5 cm de largura, como 
mostra a figura. Considerando 3,14π = e que não 
haverá sobreposição de fita, será necessária uma 
quantidade mínima de ______ m de fita para realizar a 
tarefa. 
 
 
a) 4,62 
b) 6,28 
c) 8,44 
d) 9,32 
 
 
 
 
 
 
45. A revolução de um triângulo equilátero, de 6 cm de 
lado, em torno de um de seus lados, gera um sólido de 
volume igual a 3___ cm .π 
a) 54 b) 48 c) 36 d) 24 
 
46. Um poliedro convexo de 32 arestas tem apenas 8 
faces triangulares e x faces quadrangulares. Dessa 
forma, o valor de x é 
a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 
 
47. Em um prisma hexagonal regular de 4 3 cm de 
altura, a aresta da base mede 4 cm. As bases desse 
sólido foram pintadas de branco e 4 faces laterais 
pintadas de preto. Se BS e PS são as medidas das 
áreas pintadas de branco e preto, respectivamente, 
então 2
P BS S ____ cm .− = 
a) 8 3 b) 16 3 c) 24 3 d) 32 3 
 
48. Em um recipiente cúbico vazio, foram colocadas 
1000 esferas idênticas, sem que elas ultrapassassem 
as bordas desse recipiente. Em seguida, verificou-se 
que o volume do cubo não ocupado pelas esferas era 
de 34 dm . Se internamente as arestas do recipiente 
medem 20 cm, o volume de cada esfera é 3____ cm . 
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 
 
49. Se um tetraedro regular tem arestas de medida x, 
então é correto afirmar sobre a área total T(A ) e a área 
da base B(A ) desse tetraedro que 
a) T BA 3A= b) T BA A 3= + 
c) T
B
A
A
4
= d) B TA A 3= 
50. Um pedaço de queijo, em forma de prisma 
triangular regular, tem 6 cm de altura e possui como 
base um triângulo de 10 cm de lado. O volume desse 
pedaço de queijo é ____ 33 cm . 
a) 150 b) 165 c) 185 d) 200 
51. Um cilindro circular reto, de altura igual a 
2
3
 do 
raio da base e de 212 cmπ de área lateral, possui raio 
da base igual a _____ cm. 
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 
 
52. Um escultor irá pintar completamente a superfície 
de uma esfera de 6 m de diâmetro, utilizando uma tinta 
que, para essa superfície, rende 23 m por litro. Para 
essa tarefa, o escultor gastará, no mínimo, _____ litros 
de tinta. (Considere 3)π 
a) 18 b) 24 c) 36 d) 48 
 
53. Uma esfera está inscrita num cilindro equilátero 
cuja área lateral mede 216 cm .π O volume da esfera 
inscrita é 
a) 8π b) 16π c) 
32
3
π d) 
256
3
π 
 
54. Um cilindro de 18 cm de altura e raio da base igual 
a 5 cm contém água até a metade de sua altura. Por 
algum motivo, houve necessidade de despejar essa 
água em outro cilindro com 40 cm de altura, cujo raio 
da base mede 4 cm. 
 
 
Considerando 3,π = o valor que mais se aproxima da 
altura atingida pela água no segundo cilindro é 
a) 14 cm b) 16 cm c) 20 cm d) 24 cm 
 
GABARITO 
 
A) 10, 15, 16, 24, 35, 45, 48, 50, 54 
B) 04, 11, 18, 20, 29, 36, 38, 42, 43, 44, 46, 47, 
C) 03, 05, 07, 17, 21, 22, 26, 30, 31, 34, 40, 41, 49, 51, 
52, 53 
D) 06, 08, 12, 19, 23, 25, 27, 28, 32, 33, 39, 
E) 01, 02, 09, 13, 14, 37.