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B) 1 
 C) \( \frac{1}{5} \) 
 D) \( \frac{1}{3} \) 
 **Resposta:** A) 0 
 **Explicação:** A integral resulta em \( \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{2x^4}{4} + \frac{x^3}{3} 
\right]_0^1 = \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) = 0 \). 
 
40. **Qual é a solução da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = 2y + x \)?** 
 A) \( y = Ce^{2x} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4} \) 
 B) \( y = Ce^{-2x} + \frac{x}{2} \) 
 C) \( y = Ce^{2x} + \frac{x}{2} \) 
 D) \( y = Ce^{2x} - \frac{x^2}{2} \) 
 **Resposta:** A) \( y = Ce^{2x} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4} \) 
 **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear. A solução geral é obtida usando 
o fator integrante. 
 
41. **Qual é o valor de \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3(x) \, dx \)?** 
 A) \( \frac{3}{8} \) 
 B) \( \frac{2}{3} \) 
 C) \( \frac{1}{3} \) 
 D) \( \frac{2}{5} \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{3}{8} \) 
 **Explicação:** Usando a identidade \( \sin^3(x) = \sin(x)(1 - \cos^2(x)) \), podemos 
integrar e obter \( \frac{3}{8} \). 
 
42. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{x} \)?** 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 2 
 D) Infinito 
 **Resposta:** C) 2 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, pois a forma é indeterminada \( \frac{0}{0} 
\). Derivando o numerador e o denominador, obtemos \( \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + 
2x}}{1} = 2 \). 
 
43. **Qual é a integral de \( \int \cos^2(x) \, dx \)?** 
 A) \( \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin(2x) + C \) 
 B) \( \sin(x) + C \) 
 C) \( \frac{1}{2} x + C \) 
 D) \( \cos(x) + C \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin(2x) + C \) 
 **Explicação:** Usando a identidade \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \), temos \( \int 
\cos^2(x) \, dx = \frac{1}{2} \int (1 + \cos(2x)) \, dx = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin(2x) + C \). 
 
44. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\tan(x)} \)?** 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 2 
 D) Infinito 
 **Resposta:** B) 1 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, pois a forma é indeterminada \( \frac{0}{0} 
\). Derivando o numerador e o denominador, obtemos \( \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\sec^2(x)} = 
1 \). 
 
45. **Qual é a derivada de \( f(x) = \sqrt{x} \)?** 
 A) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) 
 B) \( \frac{1}{\sqrt{x}} \) 
 C) \( \frac{1}{2}x^{-1} \) 
 D) \( \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \) 
 **Resposta:** D) \( \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \) 
 **Explicação:** A derivada de \( x^{\frac{1}{2}} \) é \( \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \). 
 
46. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (4x^3 - 3x^2 + 2) \, dx \)?** 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 2 
 D) 3 
 **Resposta:** B) 1 
 **Explicação:** A integral resulta em \( \left[ x^4 - x^3 + 2x \right]_0^1 = (1 - 1 + 2) - 0 = 2 
\). 
 
47. **Qual é a solução da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = y^3 \)?** 
 A) \( y = \frac{1}{C - x^2} \) 
 B) \( y = \frac{1}{C - 2x} \) 
 C) \( y = C e^{-x^2} \) 
 D) \( y = \frac{1}{C - 3x} \) 
 **Resposta:** A) \( y = \frac{1}{C - x^2} \) 
 **Explicação:** Separando as variáveis, temos \( \frac{dy}{y^3} = dx \). Integrando, 
obtemos \( -\frac{1}{2y^2} = x + C \), resultando em \( y = \frac{1}{C - 2x} \). 
 
48. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \)?** 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 3 
 D) Infinito 
 **Resposta:** C) 3 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, temos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\sin(kx)}{x} = k \). Assim, \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3 \cdot \lim_{x \to 0} 
\frac{\sin(3x)}{3x} = 3 \cdot 1 = 3 \). 
 
49. **Qual é a integral de \( \int e^{2x} \cos(3x) \, dx \)?** 
 A) \( \frac{e^{2x}}{13} (3 \cos(3x) + 2 \sin(3x)) + C \) 
 B) \( \frac{e^{2x}}{5} \sin(3x) + C \) 
 C) \( e^{2x} \sin(3x) + C \) 
 D) \( \frac{e^{2x}}{13} (2 \cos(3x) - 3 \sin(3x)) + C \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{e^{2x}}{13} (3 \cos(3x) + 2 \sin(3x)) + C \)