Determine o valor de \\int_0^1 (1 - x^2)^{\\frac{11}{2}} \, dx. a) \\frac{12}{13} b) \\frac{6}{11} c) \\frac{4}{15} d) \\frac{8}{15}

Para resolver a integral \(\int_0^1 (1 - x^2)^{\frac{11}{2}} \, dx\), podemos usar a substituição trigonométrica. Vamos fazer a substituição \(x = \sin(\theta)\), o que implica que \(dx = \cos(\theta) \, d\theta\). Os limites de integração mudam de \(x = 0\) para \(\theta = 0\) e de \(x = 1\) para \(\theta = \frac{\pi}{2}\). Assim, a integral se torna: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin^2(\theta))^{\frac{11}{2}} \cos(\theta) \, d\theta \] Sabemos que \(1 - \sin^2(\theta) = \cos^2(\theta)\), então a integral se transforma em: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos^2(\theta))^{\frac{11}{2}} \cos(\theta) \, d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^{12}(\theta) \, d\theta \] A integral \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2n}(\theta) \, d\theta\) é dada pela fórmula: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2n}(\theta) \, d\theta = \frac{(2n)!}{2^{2n} (n!)^2} \] Para \(n = 6\): \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^{12}(\theta) \, d\theta = \frac{12!}{2^{12} (6!)^2} \] Calculando: - \(12! = 479001600\) - \(2^{12} = 4096\) - \(6! = 720\), então \((6!)^2 = 518400\) Portanto: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^{12}(\theta) \, d\theta = \frac{479001600}{4096 \times 518400} = \frac{479001600}{2123366400} = \frac{12}{13} \] Assim, a resposta correta é: a) \(\frac{12}{13}\)