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**Explicação:** Dividindo o numerador e o denominador por \( x^4 \), temos \( \lim_{x 
\to \infty} \frac{5 + \frac{3}{x} - \frac{7}{x^4}}{2 - \frac{4}{x^2} + \frac{1}{x^4}} = \frac{5}{2} \). 
 
22. **Problema 22:** Calcule a integral \( \int_0^1 x e^{x^2} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2}(e - 1) \) 
 b) \( \frac{1}{2}(e^2 - 1) \) 
 c) \( \frac{e^2}{2} \) 
 d) \( \frac{1}{2} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2}(e - 1) \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^2 \), então \( du = 2x \, dx \). A integral se 
transforma em \( \frac{1}{2} \int_0^1 e^u \, du = \frac{1}{2}(e - 1) \). 
 
23. **Problema 23:** Qual é a derivada de \( f(x) = e^{\sin(x)} \)? 
 a) \( e^{\sin(x)} \cos(x) \) 
 b) \( e^{\sin(x)} \sin(x) \) 
 c) \( e^{\sin(x)} \) 
 d) \( \sin(x) e^{\sin(x)} \) 
 **Resposta:** a) \( e^{\sin(x)} \cos(x) \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = e^{\sin(x)} \cos(x) \). 
 
24. **Problema 24:** Calcule a integral \( \int_0^{\pi/2} \sin^3(x) \, dx \). 
 a) \( \frac{2}{3} \) 
 b) \( \frac{1}{2} \) 
 c) \( \frac{1}{4} \) 
 d) \( \frac{3}{8} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{2}{3} \) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \sin^3(x) = \sin(x)(1 - \cos^2(x)) \) e integramos, 
resultando em \( \frac{2}{3} \). 
 
25. **Problema 25:** Determine \( \int_1^2 \frac{1}{x \ln(x)} \, dx \). 
 a) \( \ln(\ln(2)) - \ln(\ln(1)) \) 
 b) \( \ln(2) \) 
 c) \( \ln(3) - \ln(2) \) 
 d) \( 0 \) 
 **Resposta:** a) \( \ln(\ln(2)) - \ln(\ln(1)) \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = \ln(x) \), resultando em \( \int \frac{1}{u} \, 
du \). 
 
26. **Problema 26:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( \infty \) 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Usando a definição de derivada, temos \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x) - 
\ln(1)}{x - 0} = 1 \). 
 
27. **Problema 27:** Qual é a integral \( \int_0^{\infty} e^{-x^2} \, dx \)? 
 a) \( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \) 
 b) \( \frac{\sqrt{\pi}}{4} \) 
 c) \( \frac{\sqrt{\pi}}{8} \) 
 d) \( \sqrt{\pi} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \) 
 **Explicação:** A integral é conhecida e o resultado é obtido a partir da integral dupla. 
 
28. **Problema 28:** Calcule a derivada de \( f(x) = \sqrt{x^2 + 4} \). 
 a) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \) 
 b) \( \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 4}} \) 
 c) \( \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4}} \) 
 d) \( \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 4}} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 4}} \cdot 
(2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \). 
 
29. **Problema 29:** Qual é o valor de \( \int_0^1 (1 - x^2)^{5/2} \, dx \)? 
 a) \( \frac{2}{5} \) 
 b) \( \frac{2}{7} \) 
 c) \( \frac{2}{9} \) 
 d) \( \frac{2}{11} \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{2}{7} \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = 1 - x^2 \), resultando em \( \int_0^1 u^{5/2} 
\, du \). 
 
30. **Problema 30:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 3 
 d) Não existe 
 **Resposta:** c) 3 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, temos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\sin(3x)}{x} = 3 \). 
 
31. **Problema 31:** Determine a integral \( \int_0^1 x^2 \ln(x) \, dx \). 
 a) \( -\frac{1}{9} \) 
 b) \( -\frac{1}{3} \) 
 c) \( -\frac{1}{6} \) 
 d) \( -\frac{1}{4} \) 
 **Resposta:** a) \( -\frac{1}{9} \) 
 **Explicação:** Usamos integração por partes, onde \( u = \ln(x) \) e \( dv = x^2 dx \). 
 
32. **Problema 32:** Calcule a integral \( \int_0^1 \sqrt{x} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{3} \) 
 b) \( \frac{1}{2} \) 
 c) \( \frac{2}{3} \) 
 d) \( \frac{1}{4} \) 
 **Resposta:** c) \( \frac{2}{3} \)