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53. **Problema 53:** Calcule a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\). 
 a) \(\tan^{-1}(x) + C\) 
 b) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C\) 
 c) \(\frac{1}{x} + C\) 
 d) \(\ln(x) + C\) 
 **Resposta:** a) \(\tan^{-1}(x) + C\) 
 **Explicação:** A integral de \(\frac{1}{x^2 + 1}\) é \(\tan^{-1}(x) + C\). 
 
54. **Problema 54:** Determine a derivada de \(f(x) = e^{x^2}\). 
 a) \(2xe^{x^2}\) 
 b) \(e^{x^2}\) 
 c) \(x^2 e^{x^2}\) 
 d) \(2x^2 e^{x^2}\) 
 **Resposta:** a) \(2xe^{x^2}\) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = e^{x^2} \cdot 2x\). 
 
55. **Problema 55:** Calcule a integral \(\int_0^1 (1 + x^3)^{1/3} \, dx\). 
 a) \(\frac{3}{4}\) 
 b) \(\frac{1}{2}\) 
 c) \(\frac{2}{5}\) 
 d) \(\frac{4}{15}\) 
 **Resposta:** b) \(\frac{1}{2}\) 
 **Explicação:** Usando a substituição, a integral se torna \(\int_0^1 u^{1/3} \, du\). 
 
56. **Problema 56:** Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 4 
 d) Não existe 
 **Resposta:** c) 4 
 **Explicação:** Usando a propriedade do limite, temos \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = 
k\), onde \(k=4\). 
 
57. **Problema 57:** Calcule a integral \(\int_0^1 (1 - x^2)^{1/2} \, dx\). 
 a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 b) \(\frac{1}{2}\) 
 c) \(\frac{1}{3}\) 
 d) \(\frac{1}{4}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 **Explicação:** Esta integral representa a área de um quarto de círculo de raio 1. 
 
58. **Problema 58:** Determine a derivada de \(f(x) = \cos^2(x)\). 
 a) \(-2\sin(x)\cos(x)\) 
 b) \(-\sin^2(x)\) 
 c) \(2\sin(x)\cos(x)\) 
 d) \(-\cos^2(x)\) 
 **Resposta:** a) \(-2\sin(x)\cos(x)\) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = -2\sin(x)\cos(x) = -\sin(2x)\). 
 
59. **Problema 59:** Calcule a integral \(\int_0^1 x^3 (1 - x^2) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{5}\) 
 b) \(\frac{1}{6}\) 
 c) \(\frac{1}{4}\) 
 d) \(\frac{1}{3}\) 
 **Resposta:** b) \(\frac{1}{6}\) 
 **Explicação:** Integrando, temos \(\int_0^1 (x^3 - x^5) \, dx = \left[\frac{x^4}{4} - 
\frac{x^6}{6}\right]_0^1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{1}{12}\). 
 
60. **Problema 60:** Determine o limite \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Não existe 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** Usando a fatoração, temos \(\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x 
\to 1} (x + 1) = 2\). 
 
61. **Problema 61:** Calcule a integral \(\int_0^1 (1 - x^4)^{1/4} \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{5}\) 
 b) \(\frac{4}{5}\) 
 c) \(\frac{2}{5}\) 
 d) \(\frac{3}{5}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{5}\) 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = 1 - x^4\), a integral se torna \(\int_0^1 
u^{1/4} \, du\). 
 
62. **Problema 62:** Determine a derivada de \(f(x) = x^4 \ln(x)\). 
 a) \(4x^3 \ln(x) + x^3\) 
 b) \(x^3 \ln(x) + 4x^3\) 
 c) \(4x^2 \ln(x)\) 
 d) \(4x^3\) 
 **Resposta:** a) \(4x^3 \ln(x) + x^3\) 
 **Explicação:** Usando a regra do produto, temos \(f'(x) = 4x^3 \ln(x) + x^3\). 
 
63. **Problema 63:** Calcule a integral \(\int_0^1 x^2 e^{x^3} \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{3}(e - 1)\) 
 b) \(\frac{1}{4}(e^4 - 1)\) 
 c) \(\frac{1}{2}(e^2 - e)\) 
 d) \(\frac{1}{4}(e - 1)\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{3}(e - 1)\) 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = x^3\), temos \(\frac{1}{3}\int e^u \, du = 
\frac{1}{3}(e - 1)\). 
 
64. **Problema 64:** Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x}\).