caderno CAGV

Prévia do material em texto

B) \( 6 - i \) 
C) \( 4 + 4i \) 
D) \( 6 + i \) 
**Resposta:** B) \( 6 - i \) 
**Explicação:** O produto \( z_1 z_2 = (1 + i)(2 - 2i) = 2 - 2i + 2i - 2i^2 = 2 - 2i + 2 = 4 - i \). 
 
**7. Qual é a forma polar do número complexo \( z = 1 - i \)?** 
A) \( \sqrt{2} e^{-i\frac{\pi}{4}} \) 
B) \( \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}} \) 
C) \( \sqrt{2} e^{-i\frac{3\pi}{4}} \) 
D) \( \sqrt{2} e^{i\frac{3\pi}{4}} \) 
**Resposta:** A) \( \sqrt{2} e^{-i\frac{\pi}{4}} \) 
**Explicação:** O módulo é \( |z| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \). O argumento é \( \tan^{-
1}\left(\frac{-1}{1}\right) = -\frac{\pi}{4} \). Portanto, a forma polar é \( \sqrt{2} e^{-
i\frac{\pi}{4}} \). 
 
**8. Qual é o valor de \( \tan(\theta) \) se \( z = 1 + i\sqrt{3} \)?** 
A) \( \sqrt{3} \) 
B) \( 1 \) 
C) \( -\sqrt{3} \) 
D) \( -1 \) 
**Resposta:** A) \( \sqrt{3} \) 
**Explicação:** Aqui, \( a = 1 \) e \( b = \sqrt{3} \). Portanto, \( \tan(\theta) = \frac{b}{a} = 
\frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} \). 
 
**9. Se \( z = re^{i\theta} \) e \( r = 3 \), \( \theta = \frac{\pi}{6} \), qual é o valor de \( z^2 \)?** 
A) \( 9e^{i\frac{\pi}{3}} \) 
B) \( 9e^{i\frac{\pi}{6}} \) 
C) \( 6e^{i\frac{\pi}{3}} \) 
D) \( 9e^{i\frac{\pi}{12}} \) 
**Resposta:** A) \( 9e^{i\frac{\pi}{3}} \) 
**Explicação:** Elevando à potência, temos \( z^2 = r^2 e^{i2\theta} = 3^2 
e^{i2\cdot\frac{\pi}{6}} = 9e^{i\frac{\pi}{3}} \). 
 
**10. Se \( z = 2 + 2i \), qual é a forma trigonométrica de \( z \)?** 
A) \( 2\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})) \) 
B) \( 2(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})) \) 
C) \( 2(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2})) \) 
D) \( 2\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2})) \) 
**Resposta:** A) \( 2\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})) \) 
**Explicação:** O módulo é \( |z| = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2} \). O argumento é \( \tan^{-
1}\left(\frac{2}{2}\right) = \frac{\pi}{4} \). Assim, a forma trigonométrica é \( 
2\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})) \). 
 
**11. Qual é o valor de \( \sin(2\theta) \) se \( \sin(\theta) = \frac{1}{2} \)?** 
A) \( \frac{1}{2} \) 
B) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) 
C) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) 
D) \( \frac{3}{4} \) 
**Resposta:** B) \( \frac{1}{2} \) 
**Explicação:** Usando a fórmula \( \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) \). Sabendo 
que \( \sin(\theta) = \frac{1}{2} \), temos \( \cos(\theta) = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = 
\sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Portanto, \( \sin(2\theta) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 
\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \). 
 
**12. Se \( z = 1 + i\sqrt{3} \), qual é o valor de \( |z|^2 \)?** 
A) 4 
B) 3 
C) 2 
D) 1 
**Resposta:** A) 4 
**Explicação:** O módulo é dado por \( |z|^2 = a^2 + b^2 \). Aqui, \( a = 1 \) e \( b = \sqrt{3} 
\). Portanto, \( |z|^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4 \). 
 
**13. Qual é o valor de \( \cos(3\theta) \) se \( \cos(\theta) = 0 \)?** 
A) 1 
B) 0 
C) -1 
D) Não definido 
**Resposta:** C) -1 
**Explicação:** Usando a fórmula \( \cos(3\theta) = 4\cos^3(\theta) - 3\cos(\theta) \). Se \( 
\cos(\theta) = 0 \), então \( \cos(3\theta) = 4(0)^3 - 3(0) = 0 \). 
 
**14. Se \( z = 4e^{i\frac{\pi}{3}} \), qual é o valor de \( z^3 \)?** 
A) \( 64e^{i\pi} \) 
B) \( 64e^{i\frac{\pi}{9}} \) 
C) \( 64e^{i\frac{3\pi}{3}} \) 
D) \( 64e^{i\frac{3\pi}{9}} \) 
**Resposta:** A) \( 64e^{i\pi} \) 
**Explicação:** Elevando à potência, temos \( z^3 = r^3 e^{i3\theta} = 4^3 
e^{i3\cdot\frac{\pi}{3}} = 64e^{i\pi} \). 
 
**15. Se \( z = 1 + i \), qual é a forma polar de \( z^2 \)?** 
A) \( 2e^{i\frac{\pi}{2}} \) 
B) \( 2\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}} \) 
C) \( 2e^{i\frac{\pi}{4}} \) 
D) \( 2\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{2}} \) 
**Resposta:** B) \( 2\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}} \) 
**Explicação:** O módulo de \( z \) é \( |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \) e o argumento é \( 
\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} \). Portanto, \( z^2 = 2\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{2}} \). 
 
**16. Qual é o valor de \( \sin(90^\circ - \theta) \)?** 
A) \( \cos(\theta) \) 
B) \( \sin(\theta) \) 
C) \( 1 \) 
D) \( 0 \) 
**Resposta:** A) \( \cos(\theta) \)