invu LLOJ

Prévia do material em texto

**Explicação:** Usando a fórmula da integral beta: 
 \[ 
 \int_0^1 x^m (1-x)^n \, dx = \frac{m! n!}{(m+n+1)!} 
 \] 
 Aqui, \( m = 4 \) e \( n = 1 \): 
 \[ 
 \frac{4! \cdot 1!}{(4+1+1)!} = \frac{24 \cdot 1}{6!} = \frac{24}{720} = \frac{1}{30} 
 \] 
 
47. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \)?** 
 - A) 0 
 - B) 1 
 - C) 2 
 - D) Não existe 
 
 **Resposta:** C) 2 
 **Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental: 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = k \quad \text{onde } k = 2 \implies 2 
 \] 
 
48. **Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)?** 
 - A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 - B) \( \frac{x}{x^2 + 1} \) 
 - C) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 - D) \( \frac{1}{x} \) 
 
 **Resposta:** A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 **Explicação:** A derivada da função logarítmica é dada por: 
 \[ 
 f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (2x) = \frac{2x}{x^2 + 1} 
 \] 
 
49. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (1 - x^2) \, dx \)?** 
 - A) \( \frac{1}{2} \) 
 - B) \( \frac{1}{3} \) 
 - C) \( \frac{1}{4} \) 
 - D) \( \frac{1}{5} \) 
 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{2} \) 
 **Explicação:** Calculando a integral: 
 \[ 
 \int (1 - x^2) \, dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) = 
\frac{2}{3} 
 \] 
 
50. **Qual é o valor de \( \int_0^1 x^3 (1 - x^2) \, dx \)?** 
 - A) \( \frac{1}{5} \) 
 - B) \( \frac{1}{6} \) 
 - C) \( \frac{1}{4} \) 
 - D) \( \frac{1}{10} \) 
 
 **Resposta:** B) \( \frac{1}{6} \) 
 **Explicação:** Usamos a fórmula da integral beta: 
 \[ 
 \int_0^1 x^m (1-x)^n \, dx = \frac{m! n!}{(m+n+1)!} 
 \] 
 Aqui, \( m = 3 \) e \( n = 2 \): 
 \[ 
 \frac{3! \cdot 2!}{(3+2+1)!} = \frac{6 \cdot 2}{6!} = \frac{12}{720} = \frac{1}{60} 
 \] 
 
51. **Qual é a solução da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = 2y + 2 \)?** 
 - A) \( y = Ce^{2x} - 1 \) 
 - B) \( y = Ce^{-2x} + 1 \) 
 - C) \( y = Ce^{2x} + 1 \) 
 - D) \( y = Ce^{-2x} - 1 \) 
 
 **Resposta:** C) \( y = Ce^{2x} + 1 \) 
 **Explicação:** A equação é linear. A solução geral é: 
 \[ 
 y = Ce^{2x} - 1 
 \] 
 
52. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (1 - x^2) \sqrt{x} \, dx \)?** 
 - A) \( \frac{2}{5} \) 
 - B) \( \frac{1}{5} \) 
 - C) \( \frac{1}{4} \) 
 - D) \( \frac{1}{3} \) 
 
 **Resposta:** A) \( \frac{2}{5} \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^{3/2} \): 
 \[ 
 \int_0^1 (1 - x^2) \sqrt{x} \, dx = \int_0^1 (1 - u^{4/3}) \, du = \frac{1}{5} 
 \] 
 
53. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} \)?** 
 - A) 0 
 - B) 1 
 - C) 5 
 - D) Não existe 
 
 **Resposta:** C) 5