Análise de Circuitos Senoidais 2

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DESCRIÇÃO
Análise de circuitos senoidais no domínio da frequência. Emprego das Leis de Kirchhoff, Teorema Norton e de
Thevenin no domínio da frequência para a resolução de circuitos monofásicos e trifásicos.
PROPÓSITO
Resolver circuitos monofásicos e trifásicos no domínio da frequência, empregando as Leis de Kirchhoff, Teorema de
Norton e de Thevenin, como também apresentar os conceitos de potência média e valores eficazes.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos uma calculadora científica, a calculadora de seu
smartphone/computador ou um software matemático de sua escolha.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Aplicar as Leis de Kirchhoff, Teoremas de Norton e de Thevenin para a resolução de circuitos no domínio da
frequência
MÓDULO 2
Demonstrar os conceitos de potência média, valores eficazes e os circuitos trifásicos
ANÁLISE DE CIRCUITOS SENOIDAIS
MÓDULO 1
 Aplicar as Leis de Kirchhoff, Teoremas de Norton e de Thevenin para a resolução de circuitos no domínio
da frequência
LEIS DE KIRCHHOFF, TEOREMAS DE NORTON E DE
THEVENIN PARA A RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS NO
DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
INTRODUÇÃO
Neste tema estudaremos a resposta em regime permanente dos circuitos que são alimentados por fontes senoidais.
Da análise clássica de circuitos, sabe-se que a resposta de um circuito tem a mesma característica da função
forçante, ou seja, se a entrada de um circuito é senoidal, a sua reposta em regime permanente também será
senoidal. Contudo, para que seja possível resolver os circuitos no domínio da frequência, devemos primeiro
compreender o conceito de transformada fasorial.
TRANSFORMADA FASORIAL
Uma fonte de alimentação senoidal de um circuito é representada no domínio do tempo por uma função
trigonométrica, cuja forma é:
Para que possamos representar a função trigonométrica anterior na forma fasorial, devemos partir da identidade de
Euler, que é dada por:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, as funções cosseno e seno podem ser definidas como a parte real e imaginária de
, ou seja:
E
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E a função trigonométrica
poderá ser representada pela parte real de
, isto é:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, a representação da função senoidal por meio da transformada fasorial dá-se pela sua amplitude e fase,
representados pela parcela
ejθ = cos (θ) + jsen (θ)
ejθ
cos(θ) = Real{ejθ}
cos(θ) = Imaginaria{ejθ}
v (t) = Vmaxcos (ωt + ϕ)
ejθ
v (t) = Vmaxcos (ωt + ϕ) = Real(Vmax {ej(ωt+ϕ)})
v (t) = Real{Vmaxe
jωtejϕ}
Vmaxe
jϕ
e pela frequência angular da função trigonométrica, representada pela
. A representação do fasor girante no tempo é mostrada pela Figura 1.
Fonte: EnsineMe.
 Figura 1: Movimento do fasor ao longo do tempo.
Normalmente, utilizam-se apenas as informações de amplitude e fase para se representar um fasor, e essa
representação dá-se pela forma complexa polar ou retangular, usando-se a seguinte notação:
O diagrama fasorial correspondente a esse fasor é apresentado a seguir:
parcela ejωt
Fonte: EnsineMe.
 Figura 2: Diagrama fasorial correspondente.
EXEMPLO
Considere um circuito que possui uma fonte de tensão
pela qual circula uma corrente
. Faça a transformação fasorial dessas grandezas e represente-as em um diagrama fasorial.
RESOLUÇÃO
A tensão
é representada na forma fasorial por
, enquanto a corrente
é representada na forma fasorial por
.
A representação dessas grandezas no diagrama fasorial é:
v (t) = 4 cos (2t + 45o)V
i (t) = 2 cos (2t + 30o)A
v (t) = 4 cos (2t + 45o)V
→V = 4∠45oV
i (t) = 2 cos (2t + 30o)
→I = 2∠30oA
Fonte: EnsineMe.
ELEMENTOS PASSIVOS NO DOMÍNIO DA
FREQUÊNCIA
De modo a realizarmos a análise dos circuitos senoidais no domínio da frequência, além de sermos capazes de
representar as tensões e correntes dos circuitos da forma como vimos na seção anterior, devemos estar aptos a
representar os elementos passivos existentes nos circuitos, que são:
Resistores
Indutores
Capacitores
Em um circuito senoidal, a razão entre o fasor tensão e o fasor corrente é denominada impedância, sendo dada por:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESISTORES
Em um resistor, a corrente está em fase com a tensão. Logo, a tensão no resistor é dada por:
Z = = =  Ω
→V
→I
Vmax∠ϕ
Imax∠δ
Vmaxe
j(ωt+ϕ)
Imaxej(ωt+δ)
Passando corrente e tensão para o domínio da frequência:
Assim, a impedância do resistor,
, é dada por:
Podemos concluir que a impedância do resistor corresponde ao próprio valor de sua resistência
e que o seu valor independe da frequência angular do sistema.
INDUTORES
No indutor, sabemos que a corrente é defasada de 90° em relação à tensão e que a tensão no indutor é dada por:
Passando corrente e tensão para o domínio da frequência:
vR (t) = R i(t)
Vmaxe
j(ωt) = RImaxe
j(ωt)
 ZR
ZR = = R =
→V
→I
Vmaxe
j(ωt)
Imaxej(ωt)
R Ω
vL (t) = L i(t)
d
dt
Vmaxe
j(ωt) = L (Imaxe
j(ωt−90o))
d
dt
Concluímos que a impedância do indutor, também conhecida como reatância indutiva, é dada por
e que o seu valor depende da frequência angular do sistema.
CAPACITORES
No capacitor, sabemos que a corrente é adiantada de 90°? em relação à tensão e que a tensão no capacitor é dada
por:
Passando corrente e tensão para o domínio da frequência:
Concluímos que a impedância do capacitor, também conhecida como reatância capacitiva, é dada por
e que o seu valor depende da frequência angular do sistema.
Agora, a partir da transformação fasorial e dos cálculos das impedâncias, podemos transformar um circuito para o
domínio da frequência e realizar as mesmas operações realizadas em circuitos resistivos.
Vmaxe
j(ωt) = LImaxe
j(ωt−90o)jω
ZL = = jωL =
→V
→I
Vmaxe
j(ωt)
Imaxe
j(ωt−90o)
ZL = jωL Ω
vC (t) = ∫ ic (t) dt
1
C
Vmaxe
j(ωt) = ∫ (Imaxe
j(ωt+90o)) dt1
C
Vmaxe
j(ωt) = Imaxe
j(ωt+90o)1
C
1
jω
ZC = = =
→V
→I
1
jωC
Vmaxe
j(ωt)
Imaxe
j(ωt+90o)
ZC =  Ω
1
jωC
ASSOCIAÇÃO DE IMPEDÂNCIAS
A associação de impedâncias no circuito pode ser em série ou paralelo. A impedância equivalente de uma
associação série de impedâncias é:
Enquanto a impedância equivalente de uma associação paralelo de impedância é:
DIVISOR DE CORRENTE
Fonte: EnsineMe.
No circuito indicado na figura anterior, a corrente
será igual a:
Zeq = Z1 + Z2 + ⋯ + Zn,
Zeq =
1
+   +   ⋯   +  1
Z1
1
Z2
1
Zn
I1
I1 = Itotal
Z2
Z1 + Z2
DIVISOR DE TENSÃO
Fonte: EnsineMe.
No circuito indicado na figura anterior, a tensão
será igual a:
LEIS DE KIRCHHOFF
Da mesma forma que são aplicadas em circuitos resistivos, as Leis de Kirchhoff podem ser aplicadas em circuitos no
domínio da frequência.
LEI DE KIRCHHOFF PARA CORRENTES
V1
V1 = Vtotal
Z1
Z1 + Z2
"A SOMA ALGÉBRICA DAS CORRENTES QUE SAEM DE UM NÓ É
ZERO."
A fim de encontrar o número de equações para se resolver o circuito, devemos identificar a quantidade de nós do
circuito, e o número de equações nodais deverá ser:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
é o número de nós do circuito (considerando o nó de referência).
Considere o circuito no exemplo a seguir:
Fonte: EnsineMe.
Em que:
NúmeroEquações = N − 1
N
v (t) = 10 cos (2t)
R1 = 2 Ω
R2 = 2 Ω
R3 = 1 Ω
EXEMPLO
Determine, a tensão do nó B pelo método de Kirchhoff para as correntes.
Solução:
Inicialmente, identificamos a frequência angular do sistema:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, vamos fazer as transformadas fasoriais da tensão e dos elementos passivos do circuito.
A figura a seguir mostra o circuito a ser analisado no domínio da frequência.
C1 = 1/2F
L1 = 1 H
ω = 2
V = 10∠0V
R1 = 2 Ω
R2 = 2 Ω
R3 = 1 Ω
Xc1
= = −j Ω
1
jωC1
XL1 = jωL1 =  2 Ω
Fonte: EnsineMe.
Como no circuito anterior temos 3 nós, a saber: nós A, B e o de referência, o número de equaçãonodais é:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a Lei de Kirchhoff para as correntes, teremos:
Somatório das correntes que saem do nó A igual a zero:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Somatório das correntes que saem do nó B igual a zero:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir da equação anterior, montamos o sistema a seguir:
NúmeroEquações = N − 1 = 3 − 1 = 2
+ + + = 0
VA − 10∠0
2
VA − VB
2
VA − VB
j2
VA
−j
+ + = 0
VB − VA
j2
VB − VA
2
VB
1
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que resultará nos seguintes valores das tensões de nó:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a tensão do nó B,
Passando para o domínio do tempo, temos:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
LEI DE KIRCHHOFF PARA AS TENSÕES
"A SOMA ALGÉBRICA DAS TENSÕES AO LONGO DE UMA MALHA
É ZERO."
[
+ + − − −
− − + + 1
] [VA
VB
] = [ 5∠0
0
]
1
2
1
2
1
j2
1
j
1
2
1
j2
1
2
1
j2
1
j2
1
2
[VA
VB
] = [ 4, 15∠ − 41, 63
1, 85∠ − 68, 20
]
VB = 1, 85∠ − 68, 20V
vb (t) = 1, 85 cos (2t − 68, 20°) V
Para se determinar o número de equações necessárias para se resolver o circuito, devemos identificar primeiro o
número de ramos do circuito e seu número de nós. A partir daí, o número de equações será dado pela expressão a
seguir:
EXEMPLO
Para o mesmo circuito do exemplo anterior, determine a tensão do nó B usando a Lei de Kirchhoff para as tensões.
Solução:
Primeiro, devemos definir quantos ramos possui o nosso circuito.
Lembrando que o ramo é o caminho entre dois nós, a partir da análise do grafo do circuito, podemos concluir que ele
possui 5 ramos, identificados na figura a seguir:
Fonte: EnsineMe.
Sabendo que o circuito possui 3 nós, o número de equações necessárias para resolver o circuito é:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
NúmeroEquações = R − N + 1 = 5 − 3 + 1 = 3
Para se determinar as equações, primeiro temos que definir a árvore do grafo. Uma possível árvore para o grafo do
circuito é:
Fonte: EnsineMe.
Agora, um conjunto possível de correntes de malha é obtido fechando-se três caminhos, que podem ser:
Fonte: EnsineMe.
Então, fazendo o somatório das tensões das malhas iguais a zero, temos as seguintes equações:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir da equação anterior montamos o sistema a seguir:
10∠0 = 2 (Ia + Ic) − jIa
0 = 2Ib + j2Ib − j2Ic
10∠0 = 2 (Ia + Ic) + j2Ic − j2Ib + Ic
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que resultará nas seguintes correntes de malha:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A tensão do nó B será:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Passando para o domínio do tempo, temos:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como era de se esperar, chegamos ao mesmo resultado obtido no exemplo anterior.
TEOREMA DE THEVENIN
Resolver circuitos no domínio da frequência também é possível usando o Teorema de Thevenin. Para encontrar o
equivalente Thevenin entre os pontos A e B de um circuito, devemos:
⎡
⎢
⎣
2 − j 0 2
0 2 + j2 −j2
2 −j2 2 + j2 + 1
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
Ia
Ib
Ic
⎤
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎣
10
0
10∠0
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
Ia
Ib
Ic
⎤
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎣
4, 15∠48, 4
1, 31∠ − 23, 2
1, 86∠ − 68, 2
⎤
⎥
⎦
VB = 1Ic = 1, 86∠−68, 2°V
vb (t) = 1, 85 cos (2t − 68, 20°) V
01
Encontrar a impedância equivalente de Thevenin entre os pontos A e B. Para isso, devemos colocar em repouso
todas as fontes independentes (curto circuitar as fontes de tensão e deixar em aberto das fontes de corrente).
02
Encontrar a tensão de Thevenin, que vem a ser a tensão de circuito aberto entre os pontos A e B.
03
Fazer a associação série entre a fonte de tensão de Thevenin, a impedância de Thevenin e o ramo retirado
inicialmente entre os pontos A e B.
EXEMPLO
Para o circuito do problema anterior, encontre o valor
usando o teorema de Thevenin.
Solução:
Primeiro, vamos encontrar a impedância equivalente entre o ponto B e a referência, conforme mostrado na figura
adiante:
Fonte: EnsineMe.
A impedância equivalente de Thevenin para o circuito anterior será:
vb (t)
ZTH = + = 1, 41∠8, 13 
2j × 2
j2 + 2
2 × (−j)
2 − j
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para se determinar a tensão de Thevenin, devemos encontrar a tensão de circuito aberto entre B e a referência.
Porém, pela configuração do circuito, percebemos que a corrente
indicada na figura é zero e, portanto, a tensão de Thevenin,
, será igual à tensão do nó A, que será:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fonte: EnsineMe.
Encontradas a tensão e a impedância de Thevenin, para que possamos determinar a tensão do nó B, devemos
montar o circuito composto pela associação série da tensão de Thevenin, impedância de Thevenin e o ramo retirado
do circuito.
O circuito final é apresentado na figura a seguir:
Fonte: EnsineMe.
I
VTH
VA = VTH = − 10 = 4, 47∠ − 63, 45°
j
2 − j
O valor da tensão do nó B pode ser dado por divisor de tensão e será igual a:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Passando para o domínio do tempo, temos:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mais uma vez, chegamos ao mesmo valor de tensão no circuito, porém, nesse caso, utilizando o Teorema de
Thevenin.
TEOREMA DE NORTON
Para encontrar o equivalente Norton entre os pontos A e B de um circuito, devemos:
01
Encontrar a impedância equivalente de Norton entre os pontos A e B. Para isso, devemos colocar em repouso todas
as fontes independentes (curto-circuitar as fontes de tensão e deixar em aberto as fontes de corrente. Esse
procedimento é idêntico para encontrar a impedância equivalente de Thevenin.
02
Encontrar a corrente de Norton, que vem a ser a corrente de curto-circuito entre os pontos A e B do circuito.
03
Fazer a associação paralelo entre a corrente de Norton, a impedância de Norton e o ramo retirado inicialmente entre
os pontos A e B.
EXEMPLO
VB = VTH = 1, 86∠ − 68, 2
1
1 + ZTH
vb (t) = 1, 86 cos (2t − 68, 20°) V
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Para o circuito do problema anterior, encontre o valor
utilizando o teorema de Thevenin.
Solução:
O valor da impedância de Norton é igual ao valor da impedância de Thevenin, portanto:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A fim de determinarmos o valor da corrente de Norton, devemos calcular a corrente que fluirá pelo curto-circuito
entre o nó B e a referência, conforme indicado na figura a seguir:
Fonte: EnsineMe.
Para encontrarmos a corrente de Norton, podemos achar a tensão do nó A, e depois calcular a corrente de Norton,
sabendo que:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a lei dos nós, a tensão do nó A pode ser obtida por meio da seguinte equação:
vb (t)
ZN = ZTH = + = 1, 41∠8, 13° 
2j × 2
j2 + 2
2 × (−j)
2 − j
IN = I1 + I2
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a equação anterior para
, temos:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a corrente de Norton será:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Conhecidos os valores da impedância de Norton e da corrente de Norton, podemos montar o circuito com
associação paralela da fonte de corrente, da impedância de Norton e o ramo retirado do circuito original, conforme
mostra a figura a seguir:Fonte: EnsineMe.
Para determinarmos o valor da tensão do nó B, basta encontramos a corrente
e depois multiplicá-la pela resistência.
+ + + = 0
VA − 10
2
VA
−j
VA
2
VA
j2
VA
VA = 4, 472∠ − 26, 56°
IN = + = 3, 16∠ − 71, 56°
VA
2
VA
j2
I1
Para determinarmos o valor de
, usarmos o divisor de corrente, conforme mostrado a seguir:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Finalmente:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Passando para o domínio do tempo, temos:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mais uma vez, chegamos ao mesmo valor de tensão no circuito, porém, nesse caso, utilizando o Teorema de Norton.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
I1
I1 = IN = 1, 86∠ − 68, 20°
ZN
1 + ZN
VB = 1I1 = 1, 86∠ − 68, 20° 
vb (t) = 1, 86 cos (2t − 68, 20°) V
CONSIDERE O CIRCUITO A SEGUIR PARA EXECUTAR AS DUAS ATIVIDADES:
FONTE: ENSINEME.
EM QUE:
1. PARA O CIRCUITO APRESENTADO NA FIGURA ANTERIOR O VALOR DA TENSÃO DO
NÓ A, EM V, É APROXIMADAMENTE:
A)
i (t) = cos (5t − 30°)A
v (t) = 2 cos (5t)V
C = F
1
10
L = 1H
R1 = 2 Ω
R2 = 2 Ω
0, 41cos(5t − 116, 13°)
B)
C)
D)
E)
2. O VALOR DA CORRENTE
, NO CIRCUITO, EM A, É APROXIMADAMENTE:
A)
B)
C)
D)
E)
GABARITO
Considere o circuito a seguir para executar as duas atividades:
0, 31cos(5t + 82, 43°)
1, 3cos(5t + 62, 73°)
1, 5cos(5t + 32, 22°)
0, 72cos(5t − 92, 43°)
i1(t)
0, 95cos(5t − 162, 7°)
1, 21cos(5t − 29, 33°)
0, 65cos(5t − 56, 13°)
0, 75cos(5t − 16, 13°)
0, 42 cos (5t − 11, 50°)
Fonte: EnsineMe.
Em que:
1. Para o circuito apresentado na figura anterior o valor da tensão do nó A, em V, é aproximadamente:
A alternativa "A " está correta.
Para resolver este problema, primeiro devemos passar todas as grandezas para o domínio da frequência. Sabendo
que
rad/s, a transformação fasorial das grandezas do circuito resultará nos valores mostrados a seguir:
i (t) = cos (5t − 30°)A
v (t) = 2 cos (5t)V
C = F
1
10
L = 1H
R1 = 2 Ω
R2 = 2 Ω
ω = 5
O que resultará no seguinte circuito:
Fonte: EnsineMe.
A melhor forma de resolver esse circuito é adotar como nó de referência o nó anterior da fonte de corrente, o que
resultará no circuito mostrado a seguir:
V = 2∠0V
I = 1∠ − 30
R1 = 2 Ω
R2 = 2 Ω
XC = = −2j Ω
1
jωC
XL = jωL = j5 Ω
Fonte: EnsineMe.
Assim, para resolver o circuito, podemos aplicar a Lei de Kirchhoff para as correntes nos nós A e B, o que resultará
no seguinte conjunto de equações:
Resolvendo esse sistema, encontraremos
e
Passando para a função senoidal, temos:
Portanto, a opção correta é a letra A.
2. O valor da corrente
+ + = 0
VA − 2∠0
j5
VA
−j2
VA − VB
2
1∠ − 30 + + = 0
VB − VA
2
VB − 2
2
VA = 0, 421∠ − 116, 13
VB = 0, 314∠82, 432
vA (t) = 0, 421 cos (5t − 116, 13°)V
i1(t)
, no circuito, em A, é aproximadamente:
A alternativa "B " está correta.
Conhecidos os valores das tensões nos nós A e B, a partir da solução da atividade anterior, podemos aplicar a Lei de
Kirchhoff dos nós no nó X, conforme indicado na figura a seguir, de modo a determinarmos o valor da corrente que
circula pela fonte de luz.
Fonte: EnsineMe.
Porém:
e
Da atividade anterior vimos que:
e
Portanto:
I1 = I2 + I3
I2 =
2 − VA
j5
I3 =
2 − VB
2
VA = 0, 421∠ − 116, 13
VB = 0, 314∠82, 432
Passando para a função senoidal, temos:
Sendo assim, a opção correta é a Letra B.
MÓDULO 2
 Demonstrar os conceitos de potência média, valores eficazes e os circuitos trifásicos
OS CONCEITOS DE POTÊNCIA MÉDIA, VALORES
EFICAZES E OS CIRCUITOS TRIFÁSICOS
I1 = + = 1, 21∠ − 29, 32
2 − 0, 421∠ − 116, 13 
j5
2 − 0, 314∠82, 432
2
vA (t) = 1, 21 cos (5t − 29, 32°)A
INTRODUÇÃO
Neste módulo, estão presentes os conceitos de potência média e valores eficazes necessários à análise de circuitos
senoidais, bem como o circuito trifásico, suas configurações e métodos para a sua resolução.
POTÊNCIA MÉDIA
A potência instantânea
aplicada em um elemento é dada pela expressão:
Uma vez que estamos trabalhando grandezas no regime permanente senoidal, podemons considerar que a tensão e
a corrente aplicadas ao elemento podem ser dadas por:
E
p (t)
v (t) = Vmax cos (ωt + ϕv)
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a potência fornecida ao elemento será:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Contudo, a expressão anterior pode ser reescrita da seguinte forma:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação anterior pode ser reescrita da seguinte forma:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A potência média
será dada por:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
i (t) = Imax cos (ωt + ϕi)
p (t) = v (t) i (t) =  Vmax cos (ωt + ϕv)Imax cos (ωt + ϕi)
p (t) = v (t) i (t) =  VmaxImax cos (ωt + ϕv) cos (ωt + ϕi)
p (t) =  VmaxImax [cos (ϕv − ϕi) + cos (2ωt + ϕv + ϕi)]
1
2
P
P = ∫
T
0
 VmaxImax [cos (ϕv − ϕi) + cos (2ωt + ϕv + ϕi)] dt
1
T
1
2
Cujo valor será:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO
Considere uma carga hipotética que possui as seguintes formas de tensão e corrente aplicadas a seus terminais:
Qual a potência média, em W, aplicada na carga?
Solução:
A potência média é dada por:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a potência média aplicada à carga é 2,60 kW.
VALORES EFICAZES
O valor eficaz de uma corrente senoidal é igual ao valor de corrente contínua que circularia por uma carga e
produziria a mesma potência média.
Considerando a definição anterior, vamos passar ao cálculo da corrente eficaz.
A potência média dissipada em uma resistência R, percorrida por uma corrente senoidal é:
P =  VmaxImax cos (ϕv − ϕi)
1
2
v (t) = 120 cos(3t + 30°)V
i (t) = 50 cos(3t + 60°)A
P =  120 × 50 cos (30 − 60) = 2598 W
1
2
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
é período da função senoidal.
Agora, a potência fornecida pela corrente contínua é:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Igualando as duas potências, temos:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a expressão anterior para o valor eficaz da corrente, teremos:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sabendo que a corrente aplicada ao sistema é uma função senoidal:
P = ∫
T
0
i(t)2
Rdt
1
T
T
P = Ief
2R
∫
T
0
i(t)2
Rdt = Ief
2R
1
T
Ief = √ ∫
T
0
i(t)2
dt
1
T
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, analisando-se a expressão a seguir, que nos dá o valor da potência média:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ela pode ser reescrita em termos de valores eficazes de tensão e corrente:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 RESUMINDO
A expressão da potência média fornecida a uma carga pode ser obtida pelo produto da tensão e da corrente
eficazes, aplicadas aos terminais de um elemento e cosseno da diferença entre as fases da tensão e da corrente.
EXEMPLO
Um resistor de
e percorrido por uma corrente cuja função senoidal é dada pela equação a seguir:
Ief = √ ∫
T
0
[Im cos(ωt)]2dt =
1
T
Im
√2
P =  VmaxImax cos (ϕv − ϕi)
1
2
P =  VmaxImax cos (ϕv − ϕi) = cos (ϕv − ϕi)
1
2
Vmax
√2
Imax
√2
P = VefIef cos (ϕv − ϕi)
10Ω
Diante do exposto, determine a potência média dissipada no resistor.
SOLUÇÃO
SOLUÇÃO
Primeiro, vamos encontrar o valor eficaz da corrente.
A potência média dissipada no resistor será:
Logo, a potência média dissipada no resistor é 12,5 kW.
CIRCUITOS TRIFÁSICOS
A transmissão de grandes blocos de energia é feita de maneira mais eficienteempregando-se circuitos trifásicos.
 DICA
Circuitos trifásicos são obtidos a partir de geradores trifásicos, que produzem 3 tensões de mesma amplitude,
mesma frequência e defasadas entre si de 120°.
SEQUÊNCIA DIRETA OU POSITIVA
Quando as tensões induzidas no gerador são:
Essas tensões são ditas de sequência direta ou positiva.
i (t) = 50 cos(3t + 60°)A
Ief = =
Imax
√2
50
√2
P = RI 2
ef = 10 × ( )
2
= 12500
50
√2
ea (t) = Emax cos (ωt)
eb (t) = Emax cos(ωt − 120°)
ec (t) = Emax cos(ωt − 240°)
javascript:void(0)

SEQUÊNCIA INVERSA OU NEGATIVA
Quando as tensões induzidas apresentam-se da seguinte forma:
As tensões são ditas de sequência inversa ou negativa.
A figura a seguir mostra o diagrama fasorial das tensões.
EnsineMe.
Sequência positiva (direta)

ea (t) = Emax cos (ωt)
ec (t) = Emax cos(ωt − 120°)
eb (t) = Emax cos(ωt − 240°)
EnsineMe.
Sequência negativa (reversa)
TENSÕES DE FASE
As tensões induzidas são denominadas “tensões de fase”.

TENSÕES TERMINAIS
As tensões terminais do gerador são denominadas “tensões de linha”.
A relação entre as tensões de fase e de linha dependem da forma como o gerador está ligado.
Quando o gerador está conectado na configuração Y, com neutro acessível ou não, o gerador apresenta a seguinte
configuração:
Fonte: EnsineMe.
Nesse tipo de ligação, temos:
Tensão induzidas de fase :
,
e
Tensões terminais:
,
e
Tensões de linha:
,
e
Ea
Eb
Ec
VA
VB
VC
VAB
VBC
Correntes de armadura (ou de fase):
,
e
Correntes de linha:
,
e
As relações entre os módulos das tensões de linha
e tensões de fase
são mostradas a seguir:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As relações entre os módulos das correntes de linha
e correntes de fase
são mostradas adiante:
VCA
Ia
Ib
Ic
IA
IB
IC
VL
Eϕ
|VL| = √3  ∣∣Eϕ∣∣
IL
Iϕ
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O diagrama fasorial do gerador conectado em Y é indicado a seguir:
EnsineMe.
Diagrama fasorial das tensões no gerador ligado em Y

EnsineMe.
Diagrama fasorial das correntes no gerador ligado em Y
Quando conectado em
, o gerador apresenta a seguinte configuração:
IL =  Iϕ
△
Fonte: EnsineMe.
As relações entre os módulos das tensões de linha
e tensões de fase
são mostradas a seguir:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As relações entre os módulos das correntes de linha
e correntes de fase
são mostradas a seguir:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VL
Eϕ
|VL| = ∣∣Eϕ∣∣
IL
Iϕ
IL =  √3 Iϕ
O diagrama fasorial do gerador
é indicado a seguir:
EnsineMe.
Diagrama fasorial das tensões no gerador ligado em

EnsineMe.
Diagrama fasorial das correntes no gerador ligado em
As cargas em um circuito trifásico são ligadas em Y ou
.
CARGA EQUILIBRADA
△
△
△
△
Se as impedâncias em cada uma das fases forem iguais, a carga é dita equilibrada.

CARGA DESEQUILIBRADA
Se as impedâncias forem diferentes, a carga é dita desiquilibrada.
Considere um circuito com cargas desiquilibradas:
Fonte: EnsineMe.
Em que:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando que as tensões de linha sejam iguais a:
Za = 5 Ω
Za = 3 − j4 Ω
Za = 3 + j4 Ω
Vab = 100∠00
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As correntes de fase serão:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As correntes de linha serão:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A potência real do sistema será:
Vbc = 100∠−120°
Vca = 100∠−240°
Ia = = 20
100
5
Ib = = 20∠ − 66, 87°
100∠−120°
3 − j4
Ib = = 10∠66, 87°
100∠−120°
6 + j8
IA = Ia − Ic = 18, 52∠−29, 78°
IB = Ib − Ia = 22, 04∠−123, 44°
IC = Ic − Ib = 27, 87∠98, 10°
Pa = 5|Ia|
2
= 2000
Pb = 3|Ib|
2 = 1200
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a potência ativa total será:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A potência reativa será:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a potência reativa total será:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A potência aparente total da carga será:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pc = 3|Ic|
2 = 600
PTotal = Pa + Pb + Pc = 3800W
Qa = 0|Ia|2 = 0
Qb = −4|Ib|
2 = −1600
Qc = 8|Ic|
2 = 800
QTotal = Qa + Qb + Qc = −800V ar
S2
total
= P 2
total
+ Q2
total
Logo, a potência ativa total será:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Percebemos que as correntes de fase e de linha são desequilibradas, conforme mostra o diagrama fasorial a seguir,
no qual as tensões de linha estão representadas pelos fasores em preto, a corrente de fase pelos fasores em azul, e
as correntes de linhas pelos fasores em vermelho.
Fonte: EnsineMe.
Considere a carga equilibrada ligada em Y, alimentada por um gerador trifásica ligado em Y, conforme a figura a
seguir:
Fonte: EnsineMe.
STotal = √P 2
total
+ Q2
total
= 3883 VA
Em que:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Suponha que essa tensão de linha é obtida a partir das seguintes tensões de fase:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o sistema é equilibrado, não há circulação de corrente no neutro, então a mesma tensão do gerador será
aplicada à carga.
As correntes de linha serão:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando que as cargas sejam indutivas, as correntes de fase estarão defasadas de suas tensões de fase de
um ângulo
Z = 3 + j4 Ω
Ea = 200∠00
Eb = 200∠−120°
Ec = 200∠−240°
IA = = 20∠−53, 13°
Ea
Z
IB = = 20∠−173, 13°
Eb
Z
IC = = 20∠66, 87°
Ec
Z
θ
, conforme a figura a seguir, onde os fasores das tensões estão representados em preto e as correntes de linha
estão representadas em vermelho.
Como o sistema é equilibrado, a defasagem entre as tensões é 120° e a defasagem entre as correntes de linha é
120°.
Fonte: EnsineMe.
 ATENÇÃO
Observe atentamente o diagrama fasorial anterior. Quando o circuito trifásico é equilibrado, não precisamos calcular
todas as correntes de linha ou de fase. Basta calcular a corrente em uma das fases e aplicar o defasamento de 120°
nas demais fases.
EXEMPLO
Considere o circuito do problema anterior.
Sabendo-se que as tensões de fase são:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A corrente da fase a será:
Ea = 200∠00
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando-se a defasagem de 120° para as demais correntes, chegamos aos valores das demais correntes de fase,
que serão:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para circuitos trifásicos, a potência real de cada uma das fases é dada por:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
é a potência da i-ésima fase.
é a tensão eficaz da i-ésima fase.
é a defasagem angular entre a tensão é a corrente de cada fase.
Quando tratamos de circuitos trifásicos equilibrados, como as correntes e tensões na carga têm o mesmo módulo e
a defasagem entre elas é a mesma, a potência real do circuito trifásico é dada por:
Ia = = 20∠−53, 13°
200
3 + j4
Ib = 20∠(−53, 13° − 120°) = 20∠−173, 13°
Ic = 20∠(−53, 13° − 240°) = 20∠66, 87°
Pi = EiIicos(ϕi)
Pi
Ei
ϕi
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
é a potência trifásica.
é a tensão de fase.
é a corrente de fase.
Porém, se o sistema for ligado em Y, temos:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalEntão, a equação da potência trifásica pode ser reescrita como:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
P3ϕ = 3 EϕIϕ cos(θ)
P3ϕ
Eϕ
Iϕ
Efase =
Elinha
√3
Ifase = Ilinha
P3ϕ = 3  Ilinha cos (θ) = √3ElinhaIlinha cos (θ)
Elinha
√3
 RESUMINDO
A potência real trifásica, fornecida a um sistema ligado em Y, pode ser determinada usando-se valores de linha,
conforme mostra a equação anterior.
Se o sistema for ligado em
, temos:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, a equação da potência trifásica pode ser reescrita como:
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Comparando-se as expressões de potência do sistema trifásico, tanto para o sistema ligado em Y quanto para o
sistema ligado em
, a expressão que fornece a potência trifásica pode ser obtida usando-se os valores de linha da instalação.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
CONSIDERE O CIRCUITO DA FIGURA A SEGUIR PARA A RESOLUÇÃO DAS ATIVIDADES 1
E 2.
△
Efase = Elinha
Ifase =
Ilinha
√3
P3ϕ = 3 Elinha cos (θ) = √3ElinhaIlinha cos (θ)
Ilinha
√3
△
FONTE: ENSINEME.
EM QUE:
OBSERVAÇÃO: OS VALORES DAS TENSÕES SÃO DADOS EM VALORES EFICAZES.
1. O VALOR EFICAZ DA CORRENTE DE LINHA
, EM A, É APROXIMADAMENTE:
A) 32
B) 42
C) 52
D) 62
E) 72
Ea = 220∠00
Eb = 220∠−120°
Ec = 220∠−240°
ZY = 3 − j4 Ω
ZΔ = 12 + j9 Ω
IA
2. A POTÊNCIA TRIFÁSICA DO SISTEMA, EM KW, É APROXIMADAMENTE:
A) 5,8
B) 10,6
C) 13,5
D) 27,0
E) 40,6
GABARITO
Considere o circuito da figura a seguir para a resolução das atividades 1 e 2.
Fonte: EnsineMe.
Em que:
Observação: Os valores das tensões são dados em valores eficazes.
1. O valor eficaz da corrente de linha
Ea = 220∠00
Eb = 220∠−120°
Ec = 220∠−240°
ZY = 3 − j4 Ω
ZΔ = 12 + j9 Ω
, em A, é aproximadamente:
A alternativa "D " está correta.
Para resolver este problema, precisamos fazer a conversar
para Y da carga ligada em
.
A figura anterior mostra o equivalente monofásico do circuito:
Fonte: EnsineMe.
Agora, a corrente de linha
será dada por:
Como as tensões trifásicas foram dadas em valores eficazes, a corrente encontrada também está em valor eficaz.
IA
△
△
ZY = = = 4 + j3
ZΔ
3
12 + j9
3
IA
IA = = = 62, 2∠8, 13°
Ea
Zeq
220
(4+j3)(3−j4)
(4+j3)+(3−j4)
Portanto, a opção correta é a letra D.
2. A potência trifásica do sistema, em kW, é aproximadamente:
A alternativa "E " está correta.
A potência trifásica é:
Portanto, a opção correta é a letra E.
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao longo destes módulos, estudamos a análise dos circuitos senoidais, iniciando pela transformação fasorial.
Observamos que, após essa transformação, as mesmas leis e teoremas vistos em circuitos resistivos podem ser
empregadas na resolução de circuitos.
No Módulo 2, vimos os conceitos de potência média e valores eficazes, além de conhecermos os circuitos trifásicos,
com as configurações
e Y. Analisamos os circuitos trifásicos com cargas equilibradas e desiquilibradas e o cálculo da potência nesses
circuitos.
P3ϕ = 3EaIAcos(ϕv − ϕi) = 3 × 220 × 62, 2cos(0 − 8, 13) = 40, 64kW
△
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
CLOSE, C. M. Circuitos Lineares. Rio de Janeiro: LTC, 1966.
NAHVI, M.; EDMINISTER, J. A. Circuitos Elétricos. 5 ed. Porto Alegre: Bookman, 2014 (Coleção Schaum).
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, resolva os exercícios dos livros constantes nas referências.
CONTEUDISTA
Sandro Santos de Lima
 CURRÍCULO LATTES
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