20MV0 algoritmo da math

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59. **Problema 59:** 
 Determine a solução da equação diferencial \( y' + 2y = 5 \). 
 a) \( y = Ce^{-2x} + \frac{5}{2} \) 
 b) \( y = Ce^{2x} + \frac{5}{2} \) 
 c) \( y = Ce^{-2x} + \frac{5}{3} \) 
 d) \( y = Ce^{2x} + \frac{5}{3} \) 
 **Resposta:** a) \( y = Ce^{-2x} + \frac{5}{2} \) 
 **Explicação:** Usamos o fator integrante \( e^{\int 2 \, dx} = e^{2x} \). Multiplicando a 
equação por \( e^{2x} \) e resolvendo, obtemos a solução geral. 
 
60. **Problema 60:** 
 Calcule \( \int_0^1 x^4 (1 - x^2)^{\frac{3}{2}} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{30} \) 
 b) \( \frac{1}{20} \) 
 c) \( \frac{1}{15} \) 
 d) \( \frac{1}{10} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{30} \) 
 **Explicação:** Usando a substituição \( u = 1 - x^2 \), a integral se transforma em uma 
forma que pode ser resolvida. 
 
61. **Problema 61:** 
 Determine o limite: \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, obtemos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{e^x - 1}{x} = 1 \). 
 
62. **Problema 62:** 
 Calcule a integral \( \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \). 
 a) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
 b) \( -\tan^{-1}(x) + C \) 
 c) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C \) 
 d) \( \frac{1}{3} \tan^{-1}(x) + C \) 
 **Resposta:** a) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
 **Explicação:** A integral é \( \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \tan^{-1}(x) + C \). 
 
63. **Problema 63:** 
 Encontre a solução da equação diferencial \( y' + 3y = 4 \). 
 a) \( y = Ce^{-3x} + \frac{4}{3} \) 
 b) \( y = Ce^{-3x} + \frac{4}{2} \) 
 c) \( y = Ce^{3x} + \frac{4}{3} \) 
 d) \( y = Ce^{3x} + \frac{4}{2} \) 
 **Resposta:** a) \( y = Ce^{-3x} + \frac{4}{3} \) 
 **Explicação:** Usamos o fator integrante \( e^{\int 3 \, dx} = e^{3x} \). Multiplicando a 
equação por \( e^{3x} \) e resolvendo, obtemos a solução geral. 
 
64. **Problema 64:** 
 Calcule \( \int_0^1 (1 - x^3)^{\frac{1}{2}} \, dx \). 
 a) \( \frac{2}{3} \) 
 b) \( \frac{3}{4} \) 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( \frac{1}{3} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{2}{3} \) 
 **Explicação:** Usando a substituição \( x = \sin^{1/3}(\theta) \), a integral se 
transforma em uma forma que pode ser resolvida. 
 
65. **Problema 65:** 
 Determine o limite: \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 3x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta:** c) 3 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, obtemos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\ln(1 + kx)}{x} = k \), onde \( k = 3 \). 
 
66. **Problema 66:** 
 Calcule a integral \( \int_0^1 (1 - x^2)^{\frac{5}{2}} \, dx \). 
 a) \( \frac{8}{15} \) 
 b) \( \frac{2}{5} \) 
 c) \( \frac{4}{15} \) 
 d) \( \frac{1}{5} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{8}{15} \) 
 **Explicação:** Usando a substituição \( x = \sin(\theta) \), a integral se transforma em \( 
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^5(\theta) \, d\theta = \frac{8}{15} \). 
 
67. **Problema 67:** 
 Encontre a solução da equação diferencial \( y' + 4y = 8 \). 
 a) \( y = Ce^{-4x} + 2 \) 
 b) \( y = Ce^{4x} + 2 \) 
 c) \( y = Ce^{-4x} + 4 \) 
 d) \( y = Ce^{4x} + 4 \) 
 **Resposta:** a) \( y = Ce^{-4x} + 2 \) 
 **Explicação:** Usamos o fator integrante \( e^{\int 4 \, dx} = e^{4x} \). Multiplicando a 
equação por \( e^{4x} \) e resolvendo, obtemos a solução geral. 
 
68. **Problema 68:** 
 Calcule \( \int_0^1 (1 - x^4)^{\frac{1}{2}} \, dx \). 
 a) \( \frac{\pi}{8} \) 
 b) \( \frac{\pi}{4} \) 
 c) \( \frac{3\pi}{8} \) 
 d) \( \frac{\pi}{6} \)