Determine o limite: \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 3x)}{x}. a) 0 b) 1 c) 3 d) 4

Para resolver o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 3x)}{x}\), podemos usar a regra de L'Hôpital, já que a forma é indeterminada \( \frac{0}{0} \) quando \( x \) se aproxima de 0. 1. Derivamos o numerador e o denominador: - A derivada de \(\ln(1 + 3x)\) é \(\frac{3}{1 + 3x}\). - A derivada de \(x\) é \(1\). 2. Aplicando a regra de L'Hôpital: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 3x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{1 + 3x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{1 + 3x} \] 3. Agora, substituímos \(x = 0\): \[ \frac{3}{1 + 3(0)} = \frac{3}{1} = 3 \] Portanto, o limite é \(3\). A alternativa correta é: c) 3.