Para resolver a equação diferencial \( y' + 2y = 5 \), vamos usar o método do fator integrante. 1. A equação é da forma \( y' + P(x)y = Q(x) \), onde \( P(x) = 2 \) e \( Q(x) = 5 \). 2. O fator integrante \( \mu(x) \) é dado por \( e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int 2 \, dx} = e^{2x} \). 3. Multiplicamos toda a equação pela \( \mu(x) \): \[ e^{2x}y' + 2e^{2x}y = 5e^{2x} \] 4. A equação à esquerda é a derivada do produto \( (e^{2x}y) \): \[ \frac{d}{dx}(e^{2x}y) = 5e^{2x} \] 5. Integrando ambos os lados: \[ e^{2x}y = \int 5e^{2x} \, dx = \frac{5}{2}e^{2x} + C \] 6. Isolando \( y \): \[ y = \frac{5}{2} + Ce^{-2x} \] Agora, analisando as alternativas: a) \( y = Ce^{-2x} + \frac{5}{2} \) - Correto. b) \( y = Ce^{2x} + \frac{5}{2} \) - Incorreto. c) \( y = Ce^{-2x} + \frac{5}{3} \) - Incorreto. d) \( y = Ce^{2x} + \frac{5}{3} \) - Incorreto. Portanto, a alternativa correta é: a) y = Ce^{-2x} + \frac{5}{2}.