410 exercicios e etc

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a) \( -2 \) 
 b) \( 2 \) 
 c) \( 2i \) 
 d) \( -2i \) 
 **Resposta:** a) \( -2 \) 
 **Explicação:** A equação \( z^3 = -8 \) pode ser reescrita como \( z = 2e^{i\pi} = -2 \). 
 
18. **Qual é a equação resultante ao somar \( (z - 1) + (z + 2) = 0 \)?** 
 a) \( 2z + 1 = 0 \) 
 b) \( z + 1 = 0 \) 
 c) \( z - 1 = 0 \) 
 d) \( z + 1 = 2 \) 
 **Resposta:** b) \( z + 1 = 0 \) 
 **Explicação:** Somando \( (z - 1) + (z + 2) = 2z + 1 = 0 \) resulta em \( z = -1 \). 
 
19. **Qual é a forma exponencial do número complexo \( z = -1 \)?** 
 a) \( e^{i\pi} \) 
 b) \( e^{-i\pi} \) 
 c) \( e^{i\frac{3\pi}{2}} \) 
 d) \( e^{i\frac{\pi}{2}} \) 
 **Resposta:** a) \( e^{i\pi} \) 
 **Explicação:** A forma exponencial é dada por \( z = re^{i\theta} \). Aqui, \( r = 1 \) e \( 
\theta = \pi \), logo \( z = e^{i\pi} \). 
 
20. **Qual é a solução da equação \( z^2 + 3z + 2 = 0 \)?** 
 a) \( -1, -2 \) 
 b) \( -2, -1 \) 
 c) \( 1, 2 \) 
 d) \( 0, 2 \) 
 **Resposta:** a) \( -1, -2 \) 
 **Explicação:** Para resolver a equação \( z^2 + 3z + 2 = 0 \), fatoramos como \( (z + 1)(z 
+ 2) = 0 \), resultando em \( z = -1 \) e \( z = -2 \). 
 
21. **Qual é o valor de \( z^4 \) se \( z = 1 + i \)?** 
 a) \( 4 + 4i \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( 4i \) 
 d) \( -4 + 4i \) 
 **Resposta:** a) \( 4 + 4i \) 
 **Explicação:** Calculando \( z^4 = (1 + i)^4 = (1 + 2i - 1) = 4 + 4i \). 
 
22. **Qual é a forma polar do número complexo \( z = -2 - 2i \)?** 
 a) \( 2\sqrt{2}(\cos(\frac{5\pi}{4}) + i\sin(\frac{5\pi}{4})) \) 
 b) \( 2(\cos(\frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{3\pi}{4})) \) 
 c) \( 2(\cos(\frac{5\pi}{4}) + i\sin(\frac{5\pi}{4})) \) 
 d) \( 2\sqrt{2}(\cos(\frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{3\pi}{4})) \) 
 **Resposta:** a) \( 2\sqrt{2}(\cos(\frac{5\pi}{4}) + i\sin(\frac{5\pi}{4})) \) 
 **Explicação:** O módulo é \( r = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = 2\sqrt{2} \) e o argumento é \( 
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{-2}{-2}\right) = \frac{5\pi}{4} \). 
 
23. **Qual é a soma das raízes da equação \( z^2 + 6z + 9 = 0 \)?** 
 a) 6 
 b) 9 
 c) 0 
 d) -6 
 **Resposta:** d) -6 
 **Explicação:** A soma das raízes de uma equação quadrática \( az^2 + bz + c = 0 \) é 
dada por \( -\frac{b}{a} \). Aqui, \( b = 6 \) e \( a = 1 \), então a soma é \( -\frac{6}{1} = -6 \). 
 
24. **Qual é o produto das raízes da equação \( z^2 + 5z + 6 = 0 \)?** 
 a) 6 
 b) 5 
 c) 1 
 d) 0 
 **Resposta:** a) 6 
 **Explicação:** O produto das raízes é dado por \( \frac{c}{a} \). Aqui, \( c = 6 \) e \( a = 1 
\), então o produto é \( \frac{6}{1} = 6 \). 
 
25. **Qual é a forma retangular do número complexo \( z = 1 + \sqrt{3}i \) em forma 
polar?** 
 a) \( 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3})) \) 
 b) \( 2(\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6})) \) 
 c) \( 2(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})) \) 
 d) \( 2(\cos(\frac{5\pi}{6}) + i\sin(\frac{5\pi}{6})) \) 
 **Resposta:** a) \( 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3})) \) 
 **Explicação:** O módulo é \( r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2 \) e o argumento é \( \theta 
= \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3} \). 
 
26. **Qual é a solução da equação \( z^3 + 8 = 0 \)?** 
 a) \( -2 \) 
 b) \( 2 \) 
 c) \( -1 + i\sqrt{3} \) 
 d) \( 1 - i\sqrt{3} \) 
 **Resposta:** a) \( -2 \) 
 **Explicação:** A equação \( z^3 + 8 = 0 \) pode ser reescrita como \( z^3 = -8 \). A 
solução é \( z = -2 \). 
 
27. **Qual é a forma polar do número complexo \( z = 1 - i \)?** 
 a) \( \sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4})) \) 
 b) \( \sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})) \) 
 c) \( \sqrt{2}(\cos(-\frac{3\pi}{4}) + i\sin(-\frac{3\pi}{4})) \) 
 d) \( \sqrt{2}(\cos(\frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{3\pi}{4})) \) 
 **Resposta:** a) \( \sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4})) \) 
 **Explicação:** O módulo é \( r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \) e o argumento é \( \theta 
= \tan^{-1}\left(\frac{-1}{1}\right) = -\frac{\pi}{4} \). 
 
28. **Qual é o valor de \( z^2 + 1 \) se \( z = 2i \)?**