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- B) \( \frac{\pi}{2} \) 
 - C) \( \frac{1}{2} \) 
 - D) \( 1 \) 
 **Resposta**: A) \( \frac{\pi}{4} \) 
 **Explicação**: Usamos a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \). A integral se 
torna \( \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi}{4} \). 
 
9. **Problema 9**: Encontre \( \frac{d}{dx} \left( \ln(x^2 + 1) \right) \). 
 - A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 - B) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 - C) \( \frac{2}{x} \) 
 - D) \( \frac{1}{2x} \) 
 **Resposta**: A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 **Explicação**: Usamos a regra da cadeia: \( \frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{1}{u} \cdot 
\frac{du}{dx} \), onde \( u = x^2 + 1 \) e \( \frac{du}{dx} = 2x \). 
 
10. **Problema 10**: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1 - 2x}{x^2} \). 
 - A) 1 
 - B) 2 
 - C) 0 
 - D) Infinito 
 **Resposta**: B) 2 
 **Explicação**: Usamos a série de Taylor para \( e^{2x} \): \( e^{2x} = 1 + 2x + 2x^2 + 
O(x^3) \). Substituindo, temos \( \frac{2x^2 + O(x^3)}{x^2} = 2 + O(x) \). O limite é 2. 
 
11. **Problema 11**: Determine o valor de \( \int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) \, dx \). 
 - A) 0 
 - B) \( \frac{1}{4} \) 
 - C) \( \frac{1}{3} \) 
 - D) 1 
 **Resposta**: A) 0 
 **Explicação**: A função é um polinômio cúbico que passa pelos pontos \( (0, -1) \) e \( 
(1, 0) \). A integral de uma função que se anula em seus extremos é 0. 
 
12. **Problema 12**: Calcule \( \int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx \). 
 - A) \( \ln(\ln(x)) + C \) 
 - B) \( \frac{1}{\ln(x)} + C \) 
 - C) \( \ln(x) + C \) 
 - D) \( \frac{1}{x \ln(x)} + C \) 
 **Resposta**: A) \( \ln(\ln(x)) + C \) 
 **Explicação**: Usamos a substituição \( u = \ln(x) \), então \( du = \frac{1}{x} dx \). A 
integral se torna \( \int \frac{1}{u} du = \ln(u) + C = \ln(\ln(x)) + C \). 
 
13. **Problema 13**: Determine o valor de \( \int_0^1 (x^4 - 2x^3 + x^2) \, dx \). 
 - A) \( \frac{1}{5} \) 
 - B) \( \frac{1}{6} \) 
 - C) \( \frac{1}{12} \) 
 - D) 0 
 **Resposta**: B) \( \frac{1}{6} \) 
 **Explicação**: A antiderivada é \( \frac{x^5}{5} - \frac{2x^4}{4} + \frac{x^3}{3} \). 
Avaliando de 0 a 1, temos \( \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) = \frac{6 - 15 + 
10}{30} = \frac{1}{6} \). 
 
14. **Problema 14**: Encontre o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} \). 
 - A) 0 
 - B) 1 
 - C) 5 
 - D) Infinito 
 **Resposta**: C) 5 
 **Explicação**: Usamos a regra do limite fundamental: \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} 
= k \). Aqui, \( k = 5 \). 
 
15. **Problema 15**: Calcule a integral \( \int \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \). 
 - A) \( -\sqrt{1 - x^2} + C \) 
 - B) \( \frac{1}{3} (1 - x^2)^{3/2} + C \) 
 - C) \( \frac{1}{2} (1 - x^2)^{1/2} + C \) 
 - D) \( -\frac{1}{3} (1 - x^2)^{3/2} + C \) 
 **Resposta**: D) \( -\frac{1}{3} (1 - x^2)^{3/2} + C \) 
 **Explicação**: Usamos a substituição \( u = 1 - x^2 \), então \( du = -2x \, dx \). A integral 
se torna \( -\frac{1}{3} (1 - x^2)^{3/2} + C \). 
 
16. **Problema 16**: Determine \( \int_0^1 (2x^3 + 3x^2) \, dx \). 
 - A) \( \frac{5}{4} \) 
 - B) \( \frac{1}{2} \) 
 - C) \( \frac{7}{12} \) 
 - D) \( \frac{1}{4} \) 
 **Resposta**: A) \( \frac{5}{4} \) 
 **Explicação**: A antiderivada é \( \frac{x^4}{2} + x^3 \). Avaliando de 0 a 1, temos \( 
\frac{1}{2} + 1 = \frac{5}{4} \). 
 
17. **Problema 17**: Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{4x^2 + 5} \). 
 - A) 0 
 - B) \( \frac{3}{4} \) 
 - C) \( \frac{5}{4} \) 
 - D) 1 
 **Resposta**: B) \( \frac{3}{4} \) 
 **Explicação**: Dividimos o numerador e o denominador pelo maior termo \( x^2 \), 
resultando em \( \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{4 + \frac{5}{x^2}} \). O limite é \( 
\frac{3}{4} \). 
 
18. **Problema 18**: Calcule a integral \( \int e^{3x} \sin(2e^{3x}) \, dx \). 
 - A) \( -\frac{1}{13} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C \) 
 - B) \( \frac{1}{13} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C \) 
 - C) \( \frac{1}{5} e^{3x} \cos(2e^{3x}) + C \) 
 - D) \( -\frac{1}{5} e^{3x} \cos(2e^{3x}) + C \) 
 **Resposta**: A) \( -\frac{1}{13} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C \)