HSVU9 mecanica HSVU9

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d) \(\tan(2x)\) 
 **Resposta:** a) \(2\sec^2(2x)\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = 2\sec^2(2x)\). 
 
48. **Qual é a integral \(\int (7x^6 - 5x^4 + 3) \, dx\)?** 
 a) \(\frac{7}{7}x^7 - \frac{5}{5}x^5 + 3x + C\) 
 b) \(\frac{7}{7}x^7 - \frac{5}{5}x^5 + 3 + C\) 
 c) \(7x^7 - 5x^5 + 3x + C\) 
 d) \(7x^7 - \frac{5}{5}x^5 + 3 + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{7}{7}x^7 - \frac{5}{5}x^5 + 3x + C\) 
 **Explicação:** A integral é calculada como \(\int 7x^6 \, dx = x^7\), \(\int -5x^4 \, dx = -
x^5\), e \(\int 3 \, dx = 3x\). Assim, a integral total é \(x^7 - x^5 + 3x + C\). 
 
49. **Qual é o valor da integral definida \(\int_{0}^{1} (3x^3 - 2x^2 + 1) \, dx\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** A antiderivada é \(\frac{3x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + x\). Avaliando de 0 a 1: 
\(\left(\frac{3}{4} - \frac{2}{3} + 1\right) - 0 = 2\). 
 
50. **Qual é o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital: \(\lim_{x \to 0} \frac{2\sec^2(2x)}{1} = 2\). 
 
51. **Qual é a derivada de \(f(x) = \sin(x^3)\)?** 
 a) \(3x^2\cos(x^3)\) 
 b) \(3\cos(x^3)\) 
 c) \(3x^2\sin(x^3)\) 
 d) \(\cos(x^3)\) 
 **Resposta:** a) \(3x^2\cos(x^3)\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = \cos(x^3) \cdot (3x^2) = 
3x^2\cos(x^3)\). 
 
52. **Qual é a integral definida \(\int_{0}^{1} (5x^4 - 3x^2 + 2) \, dx\)?** 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta:** d) 4 
 **Explicação:** A antiderivada é \(\frac{5x^5}{5} - \frac{3x^3}{3} + 2x\). Avaliando de 0 a 
1: \(1 - 1 + 2 = 2\). 
 
53. **Qual é o valor do limite \(\lim_{x \to 1} \frac{x^4 - 1}{x - 1}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** c) 3 
 **Explicação:** Usamos a fatoração: \(x^4 - 1 = (x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1)\). Portanto, o 
limite se torna \(\lim_{x \to 1} (x^3 + x^2 + x + 1) = 4\). 
 
54. **Qual é a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 2x + 1)\)?** 
 a) \(\frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 1}\) 
 b) \(\frac{2x + 2}{(x + 1)^2}\) 
 c) \(\frac{2}{x + 1}\) 
 d) \(\frac{1}{x^2 + 2x + 1}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 1}\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = \frac{1}{x^2 + 2x + 1} \cdot (2x + 2) = 
\frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 1}\). 
 
55. **Qual é a integral \(\int (8x^3 - 4x + 1) \, dx\)?** 
 a) \(2x^4 - 2x^2 + x + C\) 
 b) \(2x^4 - 2x^2 + x + C\) 
 c) \(2x^4 - 2x^2 + 2x + C\) 
 d) \(2x^4 - 2x^2 + 2 + C\) 
 **Resposta:** a) \(2x^4 - 2x^2 + x + C\) 
 **Explicação:** A integral é calculada como \(\int 8x^3 \, dx = 2x^4\), \(\int -4x \, dx = -
2x^2\), e \(\int 1 \, dx = x\). Assim, a integral total é \(2x^4 - 2x^2 + x + C\). 
 
56. **Qual é o valor da integral definida \(\int_{0}^{1} (2x^2 + 4) \, dx\)?** 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta:** d) 4 
 **Explicação:** A antiderivada é \(\frac{2}{3}x^3 + 4x\). Avaliando de 0 a 1: 
\(\left(\frac{2}{3} + 4\right) - 0 = \frac{2}{3} + 4 = \frac{14}{3}\). 
 
57. **Qual é o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(2x)}{x^2}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital: \(\lim_{x \to 0} \frac{2\sin(2x)}{2x} = 2\). 
 
58. **Qual é a derivada de \(f(x) = \sqrt{x^5 + 1}\)?** 
 a) \(\frac{5x^4}{2\sqrt{x^5 + 1}}\) 
 b) \(\frac{5x^4}{\sqrt{x^5 + 1}}\)