desafios gbtmux

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**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: 
 \[ 
 f'(x) = \frac{1}{x^3 + x} \cdot (3x^2 + 1) = \frac{3x^2 + 1}{x^3 + x} 
 \] 
 
40. Calcule a integral \( \int (4x^3 - 2x^2 + x) \, dx \). 
 a) \( x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C \) 
 b) \( x^4 - \frac{2}{3}x^3 + x + C \) 
 c) \( x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + C \) 
 d) \( x^4 - x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C \) 
 **Resposta: a) \( x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C \)** 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int (4x^3 - 2x^2 + x) \, dx = x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C 
 \] 
 
41. Encontre o valor de \( \int_0^1 (6x^5 - 5x^4 + 4) \, dx \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( 2 \) 
 c) \( 3 \) 
 d) \( 4 \) 
 **Resposta: b) \( 2 \)** 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int (6x^5 - 5x^4 + 4) \, dx = x^6 - x^5 + 4x + C 
 \] 
 Avaliando de 0 a 1: 
 \[ 
 [1 - 1 + 4] - [0] = 4 
 \] 
 
42. Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 3x}{2x^2 + 1} \). 
 a) \( 2 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta: a) \( 2 \)** 
 **Explicação:** Dividindo o numerador e o denominador pelo maior grau de \( x^2 \): 
 \[ 
 \lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{2 + \frac{1}{x^2}} = \frac{4 + 0}{2 + 0} = 2 
 \] 
 
43. Encontre a derivada de \( f(x) = 5x^4 - 3x^2 + 2 \). 
 a) \( 20x^3 - 6x \) 
 b) \( 20x^4 - 6x^2 \) 
 c) \( 20x^3 + 6x \) 
 d) \( 20x^4 - 6 \) 
 **Resposta: a) \( 20x^3 - 6x \)** 
 **Explicação:** A derivada é: 
 \[ 
 f'(x) = 20x^3 - 6x 
 \] 
 
44. Calcule a integral \( \int (2x^2 + 3x + 1) \, dx \). 
 a) \( \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x + C \) 
 b) \( \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 1 + C \) 
 c) \( \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + C \) 
 d) \( \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 2 + C \) 
 **Resposta: a) \( \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x + C \)** 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int (2x^2 + 3x + 1) \, dx = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x + C 
 \] 
 
45. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(6x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 6 
 d) 12 
 **Resposta: c) 6** 
 **Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = 
k \). Aqui, \( k = 6 \), então o limite é \( 6 \). 
 
46. Encontre a derivada de \( f(x) = \cos(x^3) \). 
 a) \( -3x^2 \sin(x^3) \) 
 b) \( -\sin(x^3) \) 
 c) \( -3x^2 \cos(x^3) \) 
 d) \( 3x^2 \sin(x^3) \) 
 **Resposta: a) \( -3x^2 \sin(x^3) \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: 
 \[ 
 f'(x) = -\sin(x^3) \cdot (3x^2) = -3x^2 \sin(x^3) 
 \] 
 
47. Calcule a integral \( \int (x^2 + 4) \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{3}x^3 + 4x + C \) 
 b) \( \frac{1}{3}x^3 + 4 + C \) 
 c) \( \frac{1}{3}x^3 + 4x^2 + C \) 
 d) \( \frac{1}{3}x^3 + 4x + 2 + C \) 
 **Resposta: a) \( \frac{1}{3}x^3 + 4x + C \)** 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int (x^2 + 4) \, dx = \frac{1}{3}x^3 + 4x + C