desafios fsaqet

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\lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1 + \frac{5}{x^2}} = \frac{2 + 0}{1 + 0} = 2 
 \] 
 
17. Encontre a integral \( \int_0^1 (x^3 - 4x^2 + 4x) \, dx \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta: b) 1** 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int (x^3 - 4x^2 + 4x) \, dx = \frac{1}{4}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + 2x + C 
 \] 
 Avaliando de 0 a 1: 
 \[ 
 \left[\frac{1}{4} - \frac{4}{3} + 2\right] - [0] = \frac{1}{4} - \frac{16}{12} + \frac{24}{12} = 
\frac{1}{4} + \frac{8}{12} = 1 
 \] 
 
18. Calcule a derivada de \( f(x) = \tan^{-1}(x^2) \). 
 a) \( \frac{2x}{1 + x^4} \) 
 b) \( \frac{1}{1 + x^2} \) 
 c) \( \frac{2}{1 + x^4} \) 
 d) \( \frac{2x^2}{1 + x^4} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{2x}{1 + x^4} \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: 
 \[ 
 f'(x) = \frac{1}{1 + (x^2)^2} \cdot (2x) = \frac{2x}{1 + x^4} 
 \] 
 
19. Encontre o valor de \( \int_0^1 (3x^2 + 2) \, dx \). 
 a) \( \frac{5}{3} \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( 2 \) 
 d) \( \frac{7}{3} \) 
 **Resposta: d) \( \frac{7}{3} \)** 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int (3x^2 + 2) \, dx = x^3 + 2x + C 
 \] 
 Avaliando de 0 a 1: 
 \[ 
 [1 + 2] - [0] = 3 
 \] 
 
20. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 4 
 d) 8 
 **Resposta: c) 4** 
 **Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = 
k \). Aqui, \( k = 4 \), então o limite é \( 4 \). 
 
21. Encontre a derivada de \( f(x) = x^5 \ln(x) \). 
 a) \( 5x^4 \ln(x) + x^4 \) 
 b) \( 5x^4 \ln(x) + 5x^3 \) 
 c) \( 5x^4 (\ln(x) + 1) \) 
 d) \( 5x^4 \) 
 **Resposta: c) \( 5x^4 (\ln(x) + 1) \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto: 
 \[ 
 f'(x) = u'v + uv' = (5x^4)(\ln(x)) + (x^5)\left(\frac{1}{x}\right) = 5x^4 \ln(x) + x^4 = 5x^4 (\ln(x) 
+ 1) 
 \] 
 
22. Calcule a integral \( \int (x^2 + 3x + 2) \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 2x + C \) 
 b) \( \frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + C \) 
 c) \( \frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 2 + C \) 
 d) \( \frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 2x + C \) 
 **Resposta: d) \( \frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 2x + C \)** 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int (x^2 + 3x + 2) \, dx = \frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 2x + C 
 \] 
 
23. Encontre o valor de \( \int_0^1 (2x^2 + 3) \, dx \). 
 a) \( \frac{5}{3} \) 
 b) \( 2 \) 
 c) \( \frac{7}{3} \) 
 d) \( 1 \) 
 **Resposta: c) \( \frac{7}{3} \)** 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int (2x^2 + 3) \, dx = \frac{2}{3}x^3 + 3x + C 
 \] 
 Avaliando de 0 a 1: 
 \[ 
 \left[\frac{2}{3} + 3\right] - [0] = \frac{2}{3} + 3 = \frac{2}{3} + \frac{9}{3} = \frac{11}{3} 
 \] 
 
24. Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 - 2x + 1}{3x^3 + 4} \).